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立體幾何 高考定位高考對本內(nèi)容的考查主要有 1 空間概念 空間想象能力 點線面位置關(guān)系判斷 表面積與體積計算等 A級要求 2 線線 線面 面面平行與垂直的證明 B級要求 證明或探究空間中線線 線面 面面平行與垂直的位置關(guān)系 一要熟練掌握所有判定定理與性質(zhì)定理 梳理好幾種位置關(guān)系的常見證明方法 如證明線面平行 既可以構(gòu)造線線平行 也可以構(gòu)造面面平行 而證明線線平行常用的是三角形中位線性質(zhì) 或構(gòu)造平行四邊形 二要用分析與綜合相結(jié)合的方法來尋找證明的思路 三要注意表述規(guī)范 推理嚴(yán)謹(jǐn) 避免使用一些雖然正確但不能作為推理依據(jù)的結(jié)論 真題感悟 1 2015 江蘇卷 現(xiàn)有橡皮泥制作的底面半徑為5 高為4的圓錐和底面半徑為2 高為8的圓柱各一個 若將它們重新制作成總體積與高均保持不變 但底面半徑相同的新的圓錐和圓柱各一個 則新的底面半徑為 2 2015 江蘇卷 如圖 在直三棱柱ABCA1B1C1中 已知AC BC BC CC1 設(shè)AB1的中點為D B1C BC1 E 求證 1 DE 平面AA1C1C 2 BC1 AB1 考點整合1 四棱柱 直四棱柱 正四棱柱 正方體 平行六面體 直平行六面體 長方體之間的關(guān)系 3 直線 平面平行的判定及其性質(zhì) 1 線面平行的判定定理 a b a b a 2 線面平行的性質(zhì)定理 a a b a b 3 面面平行的判定定理 a b a b P a b 4 面面平行的性質(zhì)定理 a b a b 4 直線 平面垂直的判定及其性質(zhì) 1 線面垂直的判定定理 m n m n P l m l n l 2 線面垂直的性質(zhì)定理 a b a b 3 面面垂直的判定定理 a a 4 面面垂直的性質(zhì)定理 l a a l a 探究提高涉及柱 錐 臺 球及其簡單組合體的側(cè)面積和體積的計算問題 要在正確理解概念的基礎(chǔ)上 畫出符合題意的圖形或輔助線 面 分析幾何體的結(jié)構(gòu)特征 選擇合適的公式 進行計算 另外要重視空間問題平面化的思想和割補法 等積轉(zhuǎn)換法的運用 訓(xùn)練1 1 2015 蘇 錫 常 鎮(zhèn)調(diào)研 如圖 正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1 E F分別為線段AA1 B1C上的點 則三棱錐D1EDF的體積為 2 2013 江蘇卷 如圖 在三棱柱A1B1C1 ABC中 D E F分別是AB AC AA1的中點 設(shè)三棱錐F ADE的體積為V1 三棱柱A1B1C1 ABC的體積為V2 則V1 V2 熱點二空間中點線面位置關(guān)系的判斷問題 例2 2015 安徽卷改編 已知m n是兩條不同直線 是兩個不同平面 給出以下命題 若 垂直于同一平面 則 與 平行 若m n平行于同一平面 則m與n平行 若 不平行 則在 內(nèi)不存在與 平行的直線 若m n不平行 則m與n不可能垂直于同一平面 則上述命題錯誤的是 填序號 解析對于 垂直于同一平面 關(guān)系不確定 錯 對于 m n平行于同一平面 m n關(guān)系不確定 可平行 相交 異面 故 錯 對于 不平行 但 內(nèi)能找出平行于 的直線 如 中平行于 交線的直線平行于 故 錯 對于 若假設(shè)m n垂直于同一平面 則m n 其逆否命題即為 選項 故 正確 答案 探究提高長方體 或正方體 是一類特殊的幾何體 其中蘊含著豐富的空間位置關(guān)系 因此 對于某些研究空間直線與直線 直線與平面 平面與平面之間的平行 垂直關(guān)系問題 常構(gòu)造長方體 或正方體 把點 線 面的位置關(guān)系轉(zhuǎn)移到長方體 或正方體 中 對各條件進行檢驗或推理 根據(jù)條件在某一特殊情況下不真 則它在一般情況下也不真的原理 判斷條件的真?zhèn)?可使此類問題迅速獲解 訓(xùn)練2 設(shè)l是直線 是兩個不同的平面 若l l 則 若l l 則 若 l 則l 若 l 則l 則上述命題中正確的是 解析利用線與面 面與面的關(guān)系定理判定 用特例法 設(shè) a 若直線l a 且l l 則l l 因此 不一定平行于 故 錯誤 由于l 故在 內(nèi)存在直線l l 又因為l 所以l 故 所以 正確 若 在 內(nèi)作交線的垂線l 則l 此時l在平面 內(nèi) 因此 錯誤 已知 若 a l a 且l不在平面 內(nèi) 則l 且l 因此 錯誤 答案 熱點三線線 線面 面面平行與垂直的證明問題 例3 2014 江蘇卷 如圖 在三棱錐P ABC中 D E F分別為棱PC AC AB的中點 已知PA AC PA 6 BC 8 DF 5 求證 1 直線PA 平面DEF 2 平面BDE 平面ABC 探究提高垂直 平行關(guān)系證明中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見類型 1 證明線面 面面平行 需轉(zhuǎn)化為證明線線平行 2 證明線面垂直 需轉(zhuǎn)化為證明線線垂直 3 證明線線垂直 需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直 4 證明面面垂直 需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直 進而轉(zhuǎn)化為證明線線垂直 訓(xùn)練3 2013 江蘇卷 如圖 在三棱錐SABC中 平面SAB 平面SBC AB BC AS AB 過點A作AF SB 垂足為F 點E G分別是棱SA SC的中點 求證 1 平面EFG 平面ABC 2 BC SA 證明 1 因為AS AB AF SB 垂足為F 所以F是SB的中點 又因為E是SA的中點 所以EF AB 因為EF 平面ABC AB 平面ABC 所以EF 平面ABC 同理EG 平面ABC 又EF EG E 所以平面EFG 平面ABC 2 因為平面SAB 平面SBC 且交線為SB 又AF 平面SAB AF SB 所以AF 平面SBC 因為BC 平面SBC 所以AF BC 又因為AB BC AF AB A AF 平面SAB AB 平面SAB 所以BC 平面SAB 因為SA 平面SAB 所以BC SA 1 求解幾何體的表面積或體積 1 對于規(guī)則幾何體 可直接利用公式計算 2 對于不規(guī)則幾何體 可采用割補法求解 對于某些三棱錐 有時可采用等體積轉(zhuǎn)換法求解 3 求解旋轉(zhuǎn)體的表面積和體積時 注意圓柱的軸截面是矩形 圓錐的軸截面是等腰三角形 圓臺的軸截面是等腰梯形的應(yīng)用 4 注意幾何體的表面積與側(cè)面積的區(qū)別 側(cè)面積只是表面積的一部分 不包括底面積 而表面積包括底面積和側(cè)面積 5 垂直 平行關(guān)系的基礎(chǔ)是線線垂直和線線平行 常用方法如下 1 證明線線平行常用的方法 一是利用平行公理 即證兩直線同時和第三條直線平行 二是利用平行四邊形進行平行轉(zhuǎn)換 三是利用三角形的中位線定理證線線平行 四是利用線面平行 面面平行的性質(zhì)定理進行平行轉(zhuǎn)換 2 證明線線垂直常用的方法 利用等腰三角形底邊中線即高線的性質(zhì) 勾股定理 線面垂直的性質(zhì) 即要證兩線垂直 只需證明一線垂直于另一線所在的平面即可 l a l a 6 在應(yīng)用直線和平面平行的性質(zhì)定理時 要防止出現(xiàn) 一條直線平行于一個平面就平行于這個平面內(nèi)的所有直線 的錯誤