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第四節(jié)解三角形 正弦 余弦定理 1 正弦定理 余弦定理 b2 c2 2bccosA a2 c2 2accosB a2 b2 2abcosC 2RsinA 2RsinB 2RsinC sinA sinB sinC 1 仰角和俯角在視線和水平線所成的角中 視線在水平線上方的角叫仰角 在水平線下方的角叫俯角 如圖 解三角形應(yīng)用舉例 2 方位角從正北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的角 如圖 B點(diǎn)的方位角為 3 方向角相對(duì)于某一正方向的角 如圖 4 解三角形的一般步驟 1 分析題意 準(zhǔn)確理解題意 分清已知與所求 尤其要理解應(yīng)用題中的有關(guān)名詞 術(shù)語 如坡角 仰角 俯角 方位角等 2 根據(jù)題意畫出示意圖 3 將需求解的問題歸結(jié)到一個(gè)或幾個(gè)三角形中 通過合理運(yùn)用正弦定理 余弦定理等有關(guān)知識(shí)正確求解 演算過程中 要求算法簡練 計(jì)算正確 并作答 4 檢驗(yàn)解出的答案是否具有實(shí)際意義 對(duì)解進(jìn)行取舍 名師助學(xué) 1 本部分知識(shí)可以歸納為 正 余弦定理的應(yīng)用 1 解三角形問題的兩重性 作為三角形問題 要注意運(yùn)用三角形的內(nèi)角和定理 正弦 余弦定理及其有關(guān)三角形的性質(zhì) 及時(shí)進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化 發(fā)現(xiàn)解題的思路 作為三角變換 只是角的范圍受到了限制 因此常見的三角變換方法和原則都是適用的 注意 三統(tǒng)一 即 統(tǒng)一角 統(tǒng)一函數(shù) 統(tǒng)一結(jié)構(gòu) 是解決問題的突破口 2 正弦定理是一個(gè)連比等式 在運(yùn)用此定理時(shí) 只要知道其比值或等量關(guān)系就可以通過約分達(dá)到解決問題的目的 在解題時(shí)要學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用 運(yùn)用余弦定理時(shí) 要注意整體思想的運(yùn)用 解題指導(dǎo) 1 已知 已知 ABC中的邊角關(guān)系 2 分析 本題可先由三角形內(nèi)角和定理將B進(jìn)行轉(zhuǎn)化 再設(shè)法求tanC的值 由已知條件求出c sinB后利用面積公式求面積 點(diǎn)評(píng) 正弦定理和余弦定理并不是孤立的 解題時(shí)要根據(jù)具體題目合理選用 有時(shí)還需要交替使用 此類問題在備考時(shí)需要注意以下幾點(diǎn) 1 對(duì)于涉及解三角形的問題 要分清條件和所求的結(jié)論 然后選擇是用正弦定理 還是用余弦定理 2 對(duì)于求值的問題 要熟練地利用三角形中三角的關(guān)系 將所給式子轉(zhuǎn)化為只含有一個(gè)角的形式 通過三角變換使其變?yōu)閥 Asin x 的形式 然后求解即可 解題時(shí)不要忽視三角形內(nèi)角的限制條件 三角形中的三角函數(shù)問題 點(diǎn)評(píng) 解 1 時(shí)的關(guān)鍵是利用正弦定理將邊角關(guān)系轉(zhuǎn)化為角角關(guān)系求解 解 2 時(shí)需要用角C的大小轉(zhuǎn)化為一個(gè)角的三角函數(shù)關(guān)系求解 解三角形應(yīng)用題的常見情況及方法 1 實(shí)際問題經(jīng)抽象概括后 已知量與未知量全部集中在一個(gè)三角形中 可用正弦定理或余弦定理求解 2 實(shí)際問題經(jīng)抽象概括后 已知量與未知量涉及兩個(gè)或兩個(gè)以上的三角形 這時(shí)需作出這些三角形 先解夠條件的三角形 然后逐步求解其他三角形 有時(shí)需設(shè)出未知量 從幾個(gè)三角形中列出方程 組 解方程 組 得出所要求的解 正 余弦定理在實(shí)際問題中的應(yīng)用 解題指導(dǎo) 1 分清已知條件和未知條件 待求 2 將問題集中到一個(gè)三角形中 如 ABC和 BCD 3 利用正弦定理或余弦定理求解