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第3講導數及其應用 專題二函數與導數 高考真題體驗 熱點分類突破 高考押題精練 欄目索引 高考真題體驗 1 2 3 4 1 2015 湖南 設函數f x ln 1 x ln 1 x 則f x 是 A 奇函數 且在 0 1 上是增函數B 奇函數 且在 0 1 上是減函數C 偶函數 且在 0 1 上是增函數D 偶函數 且在 0 1 上是減函數 1 2 3 4 解析易知函數定義域為 1 1 又f x ln 1 x ln 1 x f x 故函數f x 為奇函數 由復合函數單調性判斷方法知 f x 在 0 1 上是增函數 故選A 答案A 1 2 3 4 2 2014 課標全國 已知函數f x ax3 3x2 1 若f x 存在唯一的零點x0 且x0 0 則a的取值范圍是 A 2 B 2 C 1 D 1 解析f x 3ax2 6x 當a 3時 f x 9x2 6x 3x 3x 2 則當x 0 時 f x 0 1 2 3 4 則f x 的大致圖象如圖1所示 不符合題意 排除A C 圖1 1 2 3 4 圖2 答案B 1 2 3 4 3 2014 遼寧 當x 2 1 時 不等式ax3 x2 4x 3 0恒成立 則實數a的取值范圍是 解析當x 0時 ax3 x2 4x 3 0變?yōu)? 0恒成立 即a R 1 2 3 4 1 2 3 4 x 在 0 1 上遞增 x max 1 6 a 6 1 2 3 4 當x 2 1 時 x 0 當x 1時 x 有極小值 即為最小值 綜上知 6 a 2 答案C 1 2 3 4 4 2013 安徽 已知函數f x x3 ax2 bx c有兩個極值點x1 x2 若f x1 x1 x2 則關于x的方程3 f x 2 2af x b 0的不同實根個數為 A 3B 4C 5D 6 解析f x 3x2 2ax b 由已知x1 x2是方程3x2 2ax b 0的不同兩根 當f x1 x1 x2時 作y x1 y x2與f x x3 ax2 bx c有三個不同交點 即方程3 f x 2 2af x b 0有三個不同實根 A 考情考向分析 1 導數的意義和運算是導數應用的基礎 是高考的一個熱點 2 利用導數解決函數的單調性與極值 最值 是高考的常見題型 熱點一導數的幾何意義 熱點分類突破 1 函數f x 在x0處的導數是曲線f x 在點P x0 f x0 處的切線的斜率 曲線f x 在點P處的切線的斜率k f x0 相應的切線方程為y f x0 f x0 x x0 2 求曲線的切線要注意 過點P的切線 與 在點P處的切線 的不同 例1 1 2015 課標全國 已知函數f x ax3 x 1的圖象在點 1 f 1 處的切線過點 2 7 則a 解析f x 3ax2 1 f 1 1 3a f 1 a 2 1 f 1 處的切線方程為y a 2 1 3a x 1 將 2 7 代入切線方程 得7 a 2 1 3a 解得a 1 1 2 設函數f x ax3 3x 其圖象在點 1 f 1 處的切線l與直線x 6y 7 0垂直 則直線l與坐標軸圍成的三角形的面積為 A 1B 3C 9D 12 解析f x 3ax2 3 由題設得f 1 6 所以3a 3 6 a 3 所以f x 3x3 3x f 1 0 切線l的方程為y 0 6 x 1 即y 6x 6 選B B 思維升華 1 求曲線的切線要注意 過點P的切線 與 在點P處的切線 的差異 過點P的切線中 點P不一定是切點 點P也不一定在已知曲線上 而在點P處的切線 必以點P為切點 2 利用導數的幾何意義解題 主要是利用導數 切點坐標 切線斜率之間的關系來進行轉化 以平行 垂直直線斜率間的關系為載體求參數的值 則要求掌握平行 垂直與斜率之間的關系 進而和導數聯系起來求解 又C1在A處的切線與C2在A處的切線互相垂直 答案4 熱點二利用導數研究函數的單調性 1 f x 0是f x 為增函數的充分不必要條件 如函數f x x3在 上單調遞增 但f x 0 2 f x 0是f x 為增函數的必要不充分條件 當函數在某個區(qū)間內恒有f x 0時 則f x 為常函數 函數不具有單調性 1 若f x 在x 0處取得極值 確定a的值 并求此時曲線y f x 在點 1 f 1 處的切線方程 因為f x 在x 0處取得極值 所以f 0 0 即a 0 2 若f x 在 3 上為減函數 求a的取值范圍 令g x 3x2 6 a x a 當x x1時 g x 0 即f x 0 故f x 為減函數 當x1 x x2時 g x 0 即f x 0 故f x 為增函數 當x x2時 g x 0 即f x 0 故f x 為減函數 思維升華 利用導數研究函數單調性的一般步驟 1 確定函數的定義域 2 求導函數f x 3 若求單調區(qū)間 或證明單調性 只要在函數定義域內解 或證明 不等式f x 0或f x 0 若已知函數的單調性 則轉化為不等式f x 0或f x 0在單調區(qū)間上恒成立問題來求解 A 1 1 B 0 1 C 1 D 0 解析由題意知 函數的定義域為 0 所以函數f x 的單調遞減區(qū)間為 0 1 B 熱點三利用導數求函數的極值 最值 1 若在x0附近左側f x 0 右側f x 0 則f x0 為函數f x 的極小值 2 設函數y f x 在 a b 上連續(xù) 在 a b 內可導 則f x 在 a b 上必有最大值和最小值且在極值點或端點處取得 1 若f x 在其定義域內是單調增函數 求實數p的取值范圍 解f x 的定義域為 0 由條件知f x 0在 0 內恒成立 所以p 1 即實數p的取值范圍是 1 2 若在 1 e 上存在點x0 使得f x0 g x0 成立 求實數p的取值范圍 解設h x f x g x 則已知等價于h x 0在 1 e 上有解 即等價于h x 在 1 e 上的最大值大于0 所以h x 在 1 e 上是增函數 3 若在 1 e 上存在點x1 x2 使得f x1 g x2 成立 求實數p的取值范圍 解已知條件等價于f x max g x min 當p 1時 由 1 知f x 在 1 e 上是增函數 若f x max f 1 0 由于g x min 2 所以此時無解 思維升華 1 求函數f x 的極值 則先求方程f x 0的根 再檢查f x 在方程根的左右函數值的符號 2 若已知極值大小或存在情況 則轉化為已知方程f x 0根的大小或存在情況來求解 3 求函數f x 在閉區(qū)間 a b 的最值時 在得到極值的基礎上 結合區(qū)間端點的函數值f a f b 與f x 的各極值進行比較得到函數的最值 跟蹤演練3已知函數f x lnx ax a2x2 a 0 1 若x 1是函數y f x 的極值點 求a的值 解函數的定義域為 0 因為x 1是函數y f x 的極值點 所以f 1 1 a 2a2 0 經檢驗 當a 1時 x 1是函數y f x 的極值點 所以a 1 2 若f x 0在定義域內恒成立 求實數a的取值范圍 解當a 0時 f x lnx 顯然在定義域內不滿足f x 0 所以f x f x 的變化情況如下表 綜上可得a的取值范圍是 1 高考押題精練 1 2 3 4 1 已知曲線y lnx的切線過原點 則此切線的斜率為 押題依據曲線的切線問題是導數幾何意義的應用 是高考考查的熱點 對于 過某一點的切線 問題 也是易錯易混點 1 2 3 4 解析y f x lnx的定義域為 0 又切線過點 0 0 代入切線方程得y0 1 則x0 e 答案C 1 2 3 4 1 2 3 4 押題依據函數的極值是單調性與最值的 橋梁 理解極值概念是學好導數的關鍵 極值點 極值的求法是高考的熱點 解析由題意知f x 3x2 2ax b f 1 0 f 1 10 答案A 1 2 3 4 3 已知函數f x x2 ax 3在 0 1 上為減函數 函數g x x2 alnx在 1 2 上為增函數 則a的值等于 押題依據函數單調性問題是導數最重要的應用 體現了 以直代曲 思想 要在審題中搞清 在 0 1 上為減函數 與 函數的減區(qū)間為 0 1 的區(qū)別 1 2 3 4 解析 函數f x x2 ax 3在 0 1 上為減函數 得2x2 a在x 1 2 上恒成立 有a 2 a 2 答案2 1 2 3 4 押題依據不等式恒成立或有解問題可以轉化為函數的值域解決 考查了轉化與化歸思想 是高考的一個熱點 1 2 3 4 因此函數f x 在 0 1 上單調遞增 所以x 0 1 時 f x min f 0 1 根據題意可知存在x 1 2 使得g x x2 2ax 4 1 1 2 3 4 則要使a h x 在x 1 2 能成立 只需使a h x min