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高考大題專項(xiàng)突破五直線與圓錐曲線壓軸大題 考情分析 必備知識(shí) 從近五年的高考試題來(lái)看 圓錐曲線問(wèn)題在高考中屬于必考內(nèi)容 并且常常在同一份試卷上多題型考查 對(duì)圓錐曲線的考查在解答題部分主要體現(xiàn)以下考法 第一問(wèn)一般是先求圓錐曲線的方程或離心率等較基礎(chǔ)的知識(shí) 第二問(wèn)往往涉及定點(diǎn) 定值 最值 取值范圍等探究性問(wèn)題 解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是通過(guò)聯(lián)立方程來(lái)解決 考情分析 必備知識(shí) 1 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 1 從幾何角度看 可分為三類 無(wú)公共點(diǎn) 僅有一個(gè)公共點(diǎn)及有兩個(gè)相異的公共點(diǎn) 2 從代數(shù)角度看 可通過(guò)將表示直線的方程代入二次曲線的方程消元后所得一元二次方程解的情況來(lái)判斷 設(shè)直線l的方程為Ax By C 0 圓錐曲線方程為f x y 0 若a 0 當(dāng)圓錐曲線是雙曲線時(shí) 直線l與雙曲線的漸近線平行 當(dāng)圓錐曲線是拋物線時(shí) 直線l與拋物線的對(duì)稱軸平行 或重合 若a 0 設(shè) b2 4ac 當(dāng) 0時(shí) 直線和圓錐曲線相交于不同兩點(diǎn) 當(dāng) 0時(shí) 直線和圓錐曲線相切于一點(diǎn) 當(dāng) 0時(shí) 直線和圓錐曲線沒(méi)有公共點(diǎn) 考情分析 必備知識(shí) 考情分析 必備知識(shí) 4 求解圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的方法是 先定型 后計(jì)算 1 定型 就是指定類型 也就是確定圓錐曲線的焦點(diǎn)位置 從而設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程 2 計(jì)算 就是利用待定系數(shù)法求出方程中的a2 b2或p 另外 當(dāng)焦點(diǎn)位置無(wú)法確定時(shí) 橢圓常設(shè)為mx2 ny2 1 m 0 n 0 雙曲線常設(shè)為mx2 ny2 1 mn 0 拋物線常設(shè)為y2 2ax或x2 2ay a 0 3 橢圓與雙曲線的方程形式上可統(tǒng)一為Ax2 By2 1 其中A B是不相等的常數(shù) 當(dāng)A B 0時(shí) 表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓 當(dāng)B A 0時(shí) 表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓 當(dāng)AB 0時(shí) 表示雙曲線 考情分析 必備知識(shí) 5 通徑 過(guò)橢圓 雙曲線 拋物線的焦點(diǎn)垂直于焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸的弦稱為通徑 橢圓與雙曲線的通徑長(zhǎng)為 過(guò)橢圓焦點(diǎn)的弦中通徑最短 拋物線通徑長(zhǎng)是2p 過(guò)拋物線焦點(diǎn)的弦中通徑最短 橢圓上點(diǎn)到焦點(diǎn)的最長(zhǎng)距離為a c 最短距離為a c 6 定值 定點(diǎn)問(wèn)題必然是在變化中所表現(xiàn)出來(lái)的不變的量 那么就可以用變化的量表示問(wèn)題中的直線方程 數(shù)量積 比例關(guān)系等 這些直線方程 數(shù)量積 比例關(guān)系不受變化的量所影響的一個(gè)點(diǎn) 就是要求的定點(diǎn) 解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵就是引進(jìn)參數(shù)表示直線方程 數(shù)量積 比例關(guān)系等 根據(jù)等式的恒成立 數(shù)式變換等尋找不受參數(shù)影響的量 考情分析 必備知識(shí) 題型一 題型二 題型三 題型一求軌跡方程突破策略一直接法例1 2017湖南長(zhǎng)沙一模 文20 已知過(guò)點(diǎn)A 0 2 的動(dòng)圓恒與x軸相切 設(shè)切點(diǎn)為B AC是該圓的直徑 1 求點(diǎn)C軌跡E的方程 2 當(dāng)AC不在坐標(biāo)軸上時(shí) 設(shè)直線AC與曲線E交于另一點(diǎn)P 該曲線在點(diǎn)P處的切線與直線BC交于Q點(diǎn) 求證 PQC恒為直角三角形 思路導(dǎo)引 1 利用AC是直徑 所以BA BC 或C B均在坐標(biāo)原點(diǎn) 由此求點(diǎn)C軌跡E的方程 突破1直線與圓及圓錐曲線 題型一 題型二 題型三 題型一 題型二 題型三 題型一 題型二 題型三 解題心得若動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的條件就是一些幾何量的等量關(guān)系 則設(shè)出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo) 直接利用等量關(guān)系建立x y之間的關(guān)系F x y 0 就得到軌跡方程 題型一 題型二 題型三 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1已知點(diǎn)P 2 2 圓C x2 y2 8y 0 過(guò)點(diǎn)P的動(dòng)直線l與圓C交于A B兩點(diǎn) 線段AB的中點(diǎn)為M O為坐標(biāo)原點(diǎn) 1 求點(diǎn)M的軌跡方程 2 當(dāng) OP OM 時(shí) 求l的方程及 POM的面積 題型一 題型二 題型三 題型一 題型二 題型三 突破策略二相關(guān)點(diǎn)法 1 求曲線C的方程 2 若動(dòng)直線l2 y kx m與曲線C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn) 過(guò)F1 1 0 F2 1 0 兩點(diǎn)分別作F1P l2 F2Q l2 垂足分別為P Q 且記d1為點(diǎn)F1到直線l2的距離 d2為點(diǎn)F2到直線l2的距離 d3為點(diǎn)P到點(diǎn)Q的距離 試探索 d1 d2 d3是否存在最值 若存在 請(qǐng)求出最值 題型一 題型二 題型三 思路導(dǎo)引 1 設(shè)圓C1 x2 y2 R2 根據(jù)圓C1與直線l1相切 求出圓的方程為x2 y2 12 由此利用相關(guān)點(diǎn)法能求出曲線C的方程 2 將直線l2 y kx m代入曲線C的方程3x2 4y2 12中 得 4k2 3 x2 8kmx 4m2 12 0 由此利用根的判別式 根與系數(shù)的關(guān)系 直線方程 橢圓性質(zhì) 弦長(zhǎng)公式 結(jié)合已知條件能求出 d1 d2 d3存在最大值 并能求出最大值 題型一 題型二 題型三 題型一 題型二 題型三 題型一 題型二 題型三 題型一 題型二 題型三 解題心得若動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)是由另外某一點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)引發(fā)的 而該點(diǎn)坐標(biāo)滿足某已知曲線方程 則可以設(shè)出P x y 用 x y 表示出相關(guān)點(diǎn)Q的坐標(biāo) 然后把點(diǎn)Q的坐標(biāo)代入已知曲線方程 即可得到動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程 題型一 題型二 題型三 1 求曲線C的方程 2 直線l與直線l1垂直且與曲線C交于P Q兩點(diǎn) 求 OPQ面積的最大值 題型一 題型二 題型三 題型一 題型二 題型三 題型一 題型二 題型三 題型一 題型二 題型三 突破策略三定義法例3已知圓M x 1 2 y2 1 圓N x 1 2 y2 9 動(dòng)圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切 圓心P的軌跡為曲線C 1 求C的方程 2 l是與圓P 圓M都相切的一條直線 l與曲線C交于A B兩點(diǎn) 當(dāng)圓P的半徑最長(zhǎng)時(shí) 求 AB 思路導(dǎo)引 1 將圓的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為圓心連線的關(guān)系 從而利用橢圓的定義求出軌跡方程 2 在三個(gè)圓心構(gòu)成的三角形中 由兩邊之差小于第三邊得動(dòng)圓的最大半徑為2 此時(shí)動(dòng)圓圓心在x軸上 由直線l與圓P 圓M都相切構(gòu)成相似三角形 由相似比得直線l在x軸上的截距 利用直線l與圓M相切得l的斜率 聯(lián)立直線與曲線C的方程 由弦長(zhǎng)公式求出 AB 題型一 題型二 題型三 解由已知得圓M的圓心為M 1 0 半徑r1 1 圓N的圓心為N 1 0 半徑r2 3 設(shè)圓P的圓心為P x y 半徑為R 1 因?yàn)閳AP與圓M外切并且與圓N內(nèi)切 所以 PM PN R r1 r2 R r1 r2 4 題型一 題型二 題型三 題型一 題型二 題型三 解題心得1 若動(dòng)點(diǎn)的軌跡符合某已知曲線的定義 可直接設(shè)出相應(yīng)的曲線方程 用待定系數(shù)法或題中所給幾何條件確定相應(yīng)系數(shù) 從而求出軌跡方程 2 涉及直線與圓的位置關(guān)系時(shí) 應(yīng)多考慮圓的幾何性質(zhì) 利用幾何法進(jìn)行運(yùn)算求解往往會(huì)減少運(yùn)算量 題型一 題型二 題型三 1 求軌跡E的方程 2 設(shè)點(diǎn)A B C在E上運(yùn)動(dòng) A與B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 且 AC BC 當(dāng) ABC的面積最小時(shí) 求直線AB的方程 題型一 題型二 題型三 題型一 題型二 題型三 題型一 題型二 題型三 題型二直線和圓的綜合突破策略幾何法例4已知拋物線C y2 2x 過(guò)點(diǎn) 2 0 的直線l交C于A B兩點(diǎn) 圓M是以線段AB為直徑的圓 1 證明 坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上 2 設(shè)圓M過(guò)點(diǎn)P 4 2 求直線l與圓M的方程 思路導(dǎo)引 1 因?yàn)閳AM是以AB為直徑的圓 所以要證原點(diǎn)O在圓M上只需證OA OB kOA kOB 1 2 聯(lián)立直線與拋物線的方程 線段AB中點(diǎn)坐標(biāo) 圓心M的坐標(biāo) 含參數(shù) r OM 圓M過(guò)點(diǎn)P 4 2 0 參數(shù)的值 直線l與圓M的方程 題型一 題型二 題型三 題型一 題型二 題型三 題型一 題型二 題型三 解題心得處理直線與圓的綜合問(wèn)題 要特別注意圓心 半徑及平面幾何知識(shí)的應(yīng)用 如經(jīng)常用到弦心距 半徑 弦長(zhǎng)的一半構(gòu)成的直角三角形 利用圓的一些特殊幾何性質(zhì)解題 往往使問(wèn)題簡(jiǎn)化 題型一 題型二 題型三 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4已知圓O x2 y2 4 點(diǎn) 以線段AB為直徑的圓內(nèi)切于圓O 記點(diǎn)B的軌跡為 1 求曲線 的方程 2 直線AB交圓O于C D兩點(diǎn) 當(dāng)B為CD的中點(diǎn)時(shí) 求直線AB的方程 題型一 題型二 題型三 題型一 題型二 題型三 題型一 題型二 題型三 題型三直線與圓錐曲線的綜合突破策略判別式法例5在平面直角坐標(biāo)系xOy中 已知橢圓C1 a b 0 的左焦點(diǎn)為F1 1 0 且點(diǎn)P 0 1 在C1上 1 求橢圓C1的方程 2 設(shè)直線l同時(shí)與橢圓C1和拋物線C2 y2 4x相切 求直線l的方程 思路導(dǎo)引 1 由焦點(diǎn)坐標(biāo)知c 1 由點(diǎn)P在橢圓上知b 從而求得橢圓方程 2 求直線方程即求直線方程中的斜率k 截距m 由l同時(shí)與橢圓C1和拋物線C2相切 聯(lián)立兩個(gè)方程組 由判別式等于0得出關(guān)于k m的兩個(gè)方程 解之得直線方程 題型一 題型二 題型三 題型一 題型二 題型三 題型一 題型二 題型三 解題心得1 判斷直線與圓錐曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí) 可利用消元后的一元二次方程的判別式來(lái)確定 需注意利用判別式的前提是二次項(xiàng)系數(shù)不為0 2 依據(jù)直線與圓錐曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)時(shí) 聯(lián)立方程組并消元轉(zhuǎn)化為一元方程 若二次項(xiàng)系數(shù)為0 則方程為一次方程 若二次項(xiàng)系數(shù)不為0 則將方程解的個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為判別式與0的大小關(guān)系求解 題型一 題型二 題型三 1 求橢圓C的方程 2 如圖 若斜率為k k 0 的直線l與x軸 橢圓C相交于A M N A點(diǎn)在橢圓右頂點(diǎn)的右側(cè) 且 NF2F1 MF2A 求證 直線l恒過(guò)定點(diǎn) 并求出斜率k的取值范圍 題型一 題型二 題型三 題型一 題型二 題型三 題型一 題型二 題型三 突破2圓錐曲線中的最值 范圍 證明問(wèn)題題型一圓錐曲線中的最值問(wèn)題突破策略函數(shù)最值法 1 求直線AP斜率的取值范圍 2 求 PA PQ 的最大值 題型一 題型二 題型三 2 以AP斜率k為自變量 表示出 PA 聯(lián)立直線AP與BQ的方程用k表示出點(diǎn)Q的橫坐標(biāo) 從而用k表示出 PQ 得到 PA PQ 是關(guān)于k的函數(shù) 用函數(shù)求最值的方法求出最大值 題型一 題型二 題型三 題型一 題型二 題型三 題型一 題型二 題型三 解題心得圓錐曲線中的有關(guān)平面幾何圖形面積的最值問(wèn)題 通過(guò)某一變量表示出圖形的面積的函數(shù)表達(dá)式 轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題 然后求導(dǎo)確定函數(shù)單調(diào)性求最值 或利用基本不等式 或利用式子的幾何意義求最值 題型一 題型二 題型三 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1 2017山西臨汾三模 文20 已知拋物線y2 8x與垂直x軸的直線l相交于A B兩點(diǎn) 圓C x2 y2 1分別與x軸正 負(fù)半軸相交于點(diǎn)P N 且直線AP與BN交于點(diǎn)M 1 求證 點(diǎn)M恒在拋物線上 2 求 AMN面積的最小值 題型一 題型二 題型三 題型一 題型二 題型三 題型二圓錐曲線中的范圍問(wèn)題 多維探究 突破策略一條件轉(zhuǎn)化法 1 求橢圓E的方程 2 設(shè)過(guò)點(diǎn)P的動(dòng)直線l與E相交于M N兩點(diǎn) 當(dāng)坐標(biāo)原點(diǎn)O位于以MN為直徑的圓外時(shí) 求直線l斜率的取值范圍 題型一 題型二 題型三 題型一 題型二 題型三 題型一 題型二 題型三 題型一 題型二 題型三 解題心得求某一量的取值范圍 要看清與這個(gè)量有關(guān)的條件有幾個(gè) 有幾個(gè)條件就可轉(zhuǎn)化為幾個(gè)關(guān)于這個(gè)量的不等式 解不等式取交集得結(jié)論 題型一 題型二 題型三 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2如圖 動(dòng)點(diǎn)M與兩定點(diǎn)A 1 0 B 2 0 構(gòu)成 MAB 且 MBA 2 MAB 設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為C 1 求軌跡C的方程 2 設(shè)直線y 2x m與y軸相交于點(diǎn)P 與軌跡C相交于點(diǎn)Q R 且 PQ PR 求的取值范圍 題型一 題型二 題型三 題型一 題型二 題型三 題型一 題型二 題型三 題型一 題型二 題型三 突破策略二構(gòu)造函數(shù)法 題型一 題型二 題型三 題型一 題型二 題型三 解題心得在求直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題中 求與直線或與圓錐曲線有關(guān)的某個(gè)量d的取值范圍問(wèn)題 依據(jù)已知條件建立關(guān)于d的函數(shù)表達(dá)式 轉(zhuǎn)化為求函數(shù)值的取值范圍問(wèn)題 然后利用函數(shù)的方法或解不等式的方法求出d的取值范圍 題型一 題型二 題型三 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3如圖 設(shè)拋物線y2 2px p 0 的焦點(diǎn)為F 拋物線上的點(diǎn)A到y(tǒng)軸的距離等于 AF 1 1 求p的值 2 若直線AF交拋物線于另一點(diǎn)B 過(guò)點(diǎn)B與x軸平行的直線和過(guò)點(diǎn)F與AB垂直的直線交于點(diǎn)N AN與x軸交于點(diǎn)M 求點(diǎn)M的橫坐標(biāo)的取值范圍 題型一 題型二 題型三 題型一 題型二 題型三 所以m2 經(jīng)檢驗(yàn) m2滿足題意 綜上 點(diǎn)M的橫坐標(biāo)的取值范圍是 0 2 題型一 題型二 題型三 題型三圓錐曲線中的證明問(wèn)題突破策略轉(zhuǎn)化法 思路導(dǎo)引 1 A是橢圓的左頂點(diǎn)及MA NA AM的傾斜角為 AM的方程再代入橢圓方程 yM AMN的面積 2 MA NA kMA kNA 1 用k表示出兩條直線方程 分別與橢圓聯(lián)立 用k表示出 AM 與 AN 2 AM AN f k 0 k是函數(shù)f t 的零點(diǎn) 對(duì)f t 求導(dǎo)確定f t 在 0 內(nèi)單調(diào)遞增 再由零點(diǎn)存在性定理求出k的取值范圍 題型一 題型二 題型三 題型一 題型二 題型三 題型一 題型二 題型三 解題心得圓錐曲線中的證明問(wèn)題涉及證明的范圍比較廣 但無(wú)論證明什么 其常用方法有直接法和轉(zhuǎn)化法 對(duì)于轉(zhuǎn)化法 先是對(duì)已知條件進(jìn)行化簡(jiǎn) 根據(jù)化簡(jiǎn)后的情況 將證明的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為另一問(wèn)題 題型一 題型二 題型三 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4 2017貴州貴陽(yáng)二模 文20 已知橢圓C a 0 的焦點(diǎn)在x軸上 且橢圓C的焦距為2 1 求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程 2 過(guò)點(diǎn)R 4 0 的直線l與橢圓C交于兩點(diǎn)P Q 過(guò)點(diǎn)P作PN x軸且與橢圓C交于另一點(diǎn)N F為橢圓C的右焦點(diǎn) 求證 三點(diǎn)N F Q在同一條直線上 題型一 題型二 題型三 題型一 題型二 題型三 題型一 題型二 題型三 突破3圓錐曲線中的定點(diǎn) 定值與存在性問(wèn)題題型一圓錐曲線中的定點(diǎn)問(wèn)題 多維探究 突破策略一直接法 1 求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程 2 過(guò)點(diǎn)F 1 0 作互相垂直的兩條直線交軌跡C于點(diǎn)G H M N 且E1 E2分別是GH MN的中點(diǎn) 求證 直線E1E2恒過(guò)定點(diǎn) 題型一 題型二 題型三 題型一 題型二 題型三 題型一 題型二 題型三 題型一 題型二 題型三 1 求橢圓E的方程 2 設(shè)橢圓E的右頂點(diǎn)為A 不過(guò)點(diǎn)A的直線l與橢圓E相交于P Q兩點(diǎn) 若以PQ為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)A 求證 直線l過(guò)定點(diǎn) 并求出該定點(diǎn)坐標(biāo) 題型一 題型二 題型三 題型一 題型二 題型三 題型一 題型二 題型三 題型一 題型二 題型三 題型一 題型二 題型三 解題心得證明直線或曲線過(guò)某一定點(diǎn) 定點(diǎn)坐標(biāo)已知 可把要證明的結(jié)論當(dāng)條件 逆推上去 若得到使已知條件成立的結(jié)論 則證明了直線或曲線過(guò)定點(diǎn) 題型一 題型二 題型三 題型一 題型二 題型三 題型一 題型二 題型三 題型一 題型二 題型三 題型二圓錐曲線中的定值問(wèn)題突破策略直接法例3 2017全國(guó) 文20 在直角坐標(biāo)系xOy中 曲線y x2 mx 2與x軸交于A B兩點(diǎn) 點(diǎn)C的坐標(biāo)為 0 1 當(dāng)m變化時(shí) 解答下列問(wèn)題 1 能否出現(xiàn)AC BC的情況 說(shuō)明理由 2 證明過(guò)A B C三點(diǎn)的圓在y軸上截得的弦長(zhǎng)為定值 思路導(dǎo)引 1 先假設(shè)能出現(xiàn)AC BC 然后驗(yàn)證直線AC BC的斜率之積是否為 1 從而得結(jié)論 2 設(shè)A x1 0 B x2 0 點(diǎn)C的坐標(biāo)已知 由A B C三點(diǎn) AB BC的中垂線方程 圓心坐標(biāo)及圓半徑 圓在y軸上的弦長(zhǎng) 題型一 題型二 題型三 題型一 題型二 題型三 解題心得證明某一量為定值 一般方法是用一個(gè)參數(shù)表示出這個(gè)量 通過(guò)化簡(jiǎn)消去參數(shù) 得出定值 從而得證 題型一 題型二 題型三 題型一 題型二 題型三 1 解由已知A B在橢圓上 可得 AF1 AF2 BF1 BF2 2a 又 ABF1的周長(zhǎng)為8 所以 AF1 AF2 BF1 BF2 4a 8 即a 2 由橢圓的對(duì)稱性可得 AF1F2為正三角形當(dāng)且僅當(dāng)A為橢圓短軸頂點(diǎn) 則a 2c 即c 1 b2 a2 c2 3 題型一 題型二 題型三 題型一 題型二 題型三 題型三圓錐曲線中的存在性問(wèn)題突破策略肯定順推法 1 求橢圓的方程 2 橢圓左 右焦點(diǎn)分別為F1 F2 過(guò)F2的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A B 則 F1AB的內(nèi)切圓的面積是否存在最大值 若存在 求出這個(gè)最大值及此時(shí)的直線方程 若不存在 請(qǐng)說(shuō)明理由 題型一 題型二 題型三 題型一 題型二 題型三 題型一 題型二 題型三 題型一 題型二 題型三 解題心得存在性問(wèn)題通常用 肯定順推法 將不確定性問(wèn)題明朗化 其步驟為假設(shè)滿足條件的元素 點(diǎn) 直線 曲線或參數(shù) 存在 用待定系數(shù)法設(shè)出 列出關(guān)于待定系數(shù)的方程 組 若方程 組 有實(shí)數(shù)解 則元素 點(diǎn) 直線 曲線或參數(shù) 存在 否則 元素 點(diǎn) 直線 曲線或參數(shù) 不存在 題型一 題型二 題型三 題型一 題型二 題型三 題型一 題型二 題型三