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第3講運動圖像追及相遇問題 知識點1勻變速直線運動的圖像 思維激活1 2014 普陀區(qū)模擬 甲 乙兩位同學進行百米賽跑 假如把他們的運動近似為勻速直線運動來處理 他們同時從起跑線起跑 經(jīng)過一段時間后他們的位置如圖所示 分別作出在這段時間內(nèi)兩人運動的位移s 速度v與時間t的關系圖像 正確的是 解析 選B 由題圖及題干可知 甲 乙均做勻速直線運動且乙的速度比甲大 在s t圖像中 斜率表示速度 則乙的斜率大于甲的斜率 A錯 B正確 在v t圖像中 表示甲 乙兩同學運動的圖線水平且乙在上 甲在下 故C D均錯誤 知識梳理 1 直線運動的s t圖像 1 物理意義 反映了物體做直線運動的 隨 變化的規(guī)律 2 斜率的意義 圖線上某點切線斜率的大小表示物體速度的 切線斜率的正負表示物體速度的 位移 時間 大小 方向 2 直線運動的v t圖像 1 物理意義 反映了物體做直線運動的 隨 變化的規(guī)律 2 斜率的意義 圖線上某點切線斜率的大小表示物體加速度的 圖線上某點切線斜率的正負表示物體加速度的 3 面積 的意義 圖線與時間軸圍成的面積表示相應時間內(nèi) 的大小 a 若面積在時間軸上方 表示位移方向為 b 若面積在時間軸下方 表示位移方向為 速度 時間 大小 方向 位移 正方向 負方向 知識點2追及和相遇問題 思維激活2 多選 2014 自貢模擬 兩輛游戲賽車a b在兩條平行的直車道上行駛 t 0時兩車都在同一計時處 此時比賽開始 它們在四次比賽中的v t圖像如圖所示 其中哪些圖對應的比賽中 有一輛賽車追上了另一輛 解析 選A C v t圖線與t軸所圍圖形的面積的數(shù)值表示位移的大小 A C兩圖中在t 20s時a b兩車的位移大小都相等 故在20s時b車追上a車 B圖中b車一直領先 間距越來越大 D圖中a車在前7 5s一直落后 在7 5 12 5s間盡管a車速度大于b車 但由于前7 5s落后太多未能追上b車 12 5s后va vb 故a車不能追上b車 知識梳理 1 追及問題的兩類情況 1 若后者能追上前者 追上時 兩者處于 位置 且后者速度一定大于前者速度 2 若追不上前者 則當后者速度與前者速度 時 兩者相距最近 2 相遇問題的兩類情況 1 同向運動的兩物體追及并相遇 2 相向運動的物體 當各自發(fā)生的位移大小之和 開始時兩物體間的距離時即相遇 同一 相等 等于 微點撥 1 對運動圖像的三點認識 1 勻速直線運動的v t圖像的斜率為零 表示其加速度等于零 2 無論是s t圖像還是v t圖像都只能描述直線運動 3 s t圖像和v t圖像不表示物體運動的軌跡 2 解決追及 相遇問題的兩個關鍵點 1 在解決追及 相遇類問題時 要緊抓 一圖三式 即運動過程示意圖 時間關系式 速度關系式和位移關系式 最后還要注意對結果的討論分析 2 分析追及 相遇類問題時 要注意抓住題目中的關鍵字眼 充分挖掘題目中的隱含條件 如 剛好 恰好 最多 至少 等 往往對應一個臨界狀態(tài) 滿足相應的臨界條件 考點1運動圖像的應用兩種圖像的比較 深化理解 題組通關方案 典題1 多選 2013 新課標全國卷 如圖 直線a和曲線b分別是在平直公路上行駛的汽車a和b的位置 時間 x t 圖線 由圖可知 A 在時刻t1 a車追上b車B 在時刻t2 a b兩車運動方向相反C 在t1到t2這段時間內(nèi) b車的速率先減少后增加D 在t1到t2這段時間內(nèi) b車的速率一直比a車的大 解題探究 1 試由圖像分析汽車b的運動情況 b車速率先 后 b車速度方向先 后 2 試分析t1 t2兩個時刻a b兩車的運動情況 t1時刻 a車速度 b車速度 兩車速度方向 t2時刻 a b兩車速度方向 減小 增大 正方向 負方向 小于 相同 相反 典題解析 選B C 由x t圖像中直線a和曲線b的斜率及變化可知汽車a一直沿正方向做勻速直線運動 汽車b先沿正方向做速度越來越小的變速直線運動 速度為零以后再向負方向做速度越來越大的變速直線運動 其中t1 t2時刻a b兩車處于同一位置 且在t1時刻 b車追上a車 所以選項A錯 選項B對 t1到t2時間內(nèi)汽車a一直做勻速運動 汽車b先減速后加速 故選項C對 選項D錯 通關1 1 1 多選 2013 四川高考 甲 乙兩物體在t 0時刻經(jīng)過同一位置沿x軸運動 其v t圖像如圖所示 則 A 甲 乙在t 0到t 1s之間沿同一方向運動B 乙在t 0到t 7s之間的位移為零C 甲在t 0到t 4s之間做往復運動D 甲 乙在t 6s時的加速度方向相同 解析 選B D 在t 0到t 1s之間 甲沿正方向運動 而乙先沿負方向運動 再沿正方向運動 故選項A錯誤 在t 0到t 7s之間 乙在t上方所圍面積與下方所圍面積相等 則t 0到t 7s之間的位移為零 故選項B正確 甲在t 0到t 4s之間速度是正值 則甲沿正方向運動 故選項C錯誤 甲 乙在t 6s時的加速度方向與正方向相反 故選項D正確 2 多選 2014 臺州模擬 下列給出的四組圖像中 能夠反映同一直線運動的是 解析 選B C A B選項中的左圖表明0 3s內(nèi)物體勻速運動 位移正比于時間 加速度為零 3 5s內(nèi)物體勻加速運動 加速度大小a 2m s2 A錯 B對 C D選項中左圖0 3s位移不變 表示物體靜止 速度為零 加速度為零 3 5s內(nèi)位移與時間成正比 表示物體勻速 v 2m s a 0 C對 D錯 加固訓練 1 2014 奉賢區(qū)模擬 一物體運動的速度隨時間變化的關系如圖所示 根據(jù)圖像可知 A 4s內(nèi)物體在做曲線運動B 4s內(nèi)物體的速度一直在減小C 物體的加速度在2 5s時方向改變D 4s內(nèi)物體速度的變化量的大小為8m s 解析 選D v t圖像只能描述直線運動 A錯誤 4s內(nèi)由圖像知物體的速度先減小后反向增大 B錯誤 2 5s時 物體速度改變方向 加速度方向不變 C錯誤 4s內(nèi)速度變化量大小為 v 8m s D正確 2 多選 某物體的位移圖像如圖所示 則下列敘述正確的是 A 物體運動的軌跡是拋物線B 物體運動的時間為8sC 物體運動所能達到的最大位移為80mD 在t 4s時刻 物體的瞬時速度為零 解析 選B C D 位移隨時間的變化關系曲線并非物體運動的軌跡 由圖像可知 在0 4s內(nèi)物體沿正方向前進80m 非勻速 4 8s內(nèi)物體沿與原來相反的方向運動至原點 在t 4s時 圖線上該點處切線的斜率為零 故此時速度為零 由以上分析知A錯 B C D均正確 學科素養(yǎng)升華 可從v t圖像中讀出的四個物理量 1 運動速度 從速度軸上直接讀出 2 運動時間 從時間軸上直接讀出時刻 取差得到運動時間 3 運動加速度 從圖線的斜率得到加速度 斜率的大小表示加速度的大小 斜率的正負反映了加速度的方向 4 運動的位移 從圖線與時間軸圍成的面積得到位移 圖線與時間軸圍成的面積表示位移的大小 第一象限的面積表示與規(guī)定的正方向相同 第四象限的面積表示與規(guī)定的正方向相反 考點2追及和相遇問題1 追及相遇問題中的兩個關系和一個條件 1 兩個關系 即時間關系和位移關系 這兩個關系可通過畫運動示意圖得到 2 一個條件 即兩者速度相等 它往往是物體間能否追上 追不上或 兩者 距離最大 最小的臨界條件 也是分析判斷的切入點 解題技巧 2 追及相遇問題常見的情況 假設物體A追物體B 開始時 兩個物體相距s0 有兩種常見情況 1 A追上B時 必有sA sB s0 且vA vB 2 要使兩物體恰好不相撞 兩物體同時到達同一位置時速度相同 必有sA sB s0 vA vB 若使兩物體保證不相撞 此時應有vA vB 3 解題思路和方法 題組通關方案 典題2 12分 一輛汽車在十字路口等待綠燈 當綠燈亮時汽車以a 3m s2的加速度開始行駛 恰在這時一輛自行車以v0 6m s的速度勻速駛來 從后邊超過汽車 試問 1 汽車從路口開動后 在追上自行車之前經(jīng)過多長時間兩車相距最遠 最遠距離是多大 2 當汽車與自行車再次相遇時汽車的速度是多大 解題探究 1 分析汽車和自行車的運動情況 明確以下兩個問題 兩車相距最遠的條件是 兩車再次相遇的條件是 2 請畫出汽車和自行車的速度 時間圖像 提示 速度相等 位移相等 典題解析 1 當汽車的速度為v1 v0 6m s時 二者相距最遠 2分 所用時間為t1 2s 2分 最遠距離為 s v0t1 at12 6m 2分 2 兩車再次相遇時有v0t2 at22 2分 解得t2 4s 2分 汽車的速度為vt at2 12m s 2分 答案 1 2s6m 2 12m s 通關1 1 1 拓展延伸 試用數(shù)學方法求解 典題2 解析 1 由題意知自行車與汽車的位移之差為 s v0t at2 因二次項系數(shù)小于零 當t 2s時有最大值 最大值 sm v0t at2 6 2m 3 22m 6m 2 當 s v0t at2 0時相遇 得t 4s 汽車的速度為vt at 12m s 答案 1 2s6m 2 12m s 2 多選 2014 保定模擬 甲 乙兩個物體從同一地點出發(fā) 在同一直線上做勻變速直線運動 它們的速度圖像如圖所示 則 A 甲 乙兩物體運動方向相反B t 4s時 甲 乙兩物體相遇C 在相遇前 t 4s時甲 乙兩物體相距最遠D 在相遇前 甲 乙兩物體的最遠距離為20m 解析 選C D 由圖像可知 甲 乙兩物體速度方向相同 只是甲做加速運動 乙做減速運動 且t 4s時甲 乙兩物體速度相同 此時 在相遇前甲 乙兩物體相距最遠 以后兩物體距離越來越小 設t 4s時的速度為v 由速度 時間圖像的面積等于位移知 甲 乙兩物體在t 4s時的距離為20m 加固訓練 1 甲 乙兩輛汽車在平直的公路上沿同一方向做直線運動 t 0時刻同時經(jīng)過公路旁的同一個路標 在描述兩車運動的v t圖像中 直線a b分別描述了甲 乙兩車在0 20s的運動情況 關于兩車之間的位置關系 下列說法正確的是 A 在0 10s內(nèi)兩車逐漸靠近B 在10 20s內(nèi)兩車逐漸遠離C 在5 15s內(nèi)兩車的位移相等D 在t 10s時兩車在公路上相遇 解析 選C 由v t圖像可知 0 10s內(nèi) v乙 v甲 兩車逐漸遠離 t 10s時 v乙 v甲 兩車相距最遠 10 20s內(nèi) v乙 v甲 兩車逐漸靠近 故A B D錯誤 v t圖線與時間軸所圍的面積表示位移 5 15s內(nèi) 兩圖線與t軸包圍的面積相等 故兩車的位移相等 C正確 2 A B兩輛汽車在筆直的公路上同向行駛 當B車在A車前84m處時 B車速度為4m s 且正以2m s2的加速度做勻加速運動 經(jīng)過一段時間后 B車加速度突然變?yōu)榱?A車一直以20m s的速度做勻速運動 經(jīng)過12s后兩車相遇 B車加速行駛的時間是多少 解析 設A車的速度為vA B車加速行駛的時間為t 兩車在t0時相遇 則有xA vAt0 xB vBt at2 vB at t0 t xA xB分別為A B兩車相遇前的位移 依題意有xA xB x0 聯(lián)立 式 解得t1 6s t2 18s t2 18s不合題意 舍去 因此 B車加速行駛的時間為6s 答案 6s 學科素養(yǎng)升華 求解追及和相遇問題常用的三種方法 1 臨界值法 在追及和相遇問題中 速度相等是兩物體相距最近或相距最遠的臨界條件 2 圖像法 s t圖像中兩物體的位移圖像相交 v t圖像中所圍面積相等都說明兩物體相遇 3 數(shù)學分析法 設在t時刻兩物體能相遇 然后根據(jù)幾何關系列出關于t的一元二次方程 若其方程無正實數(shù)解 則兩物體不可能相遇 如有正實數(shù)解 則兩物體可能相遇 資源平臺 利用圖像信息解決實際問題 2014 南通模擬 被稱為 史上最嚴交規(guī) 于2013年1月1日起施行 對校車 大中型客貨車 危險品運輸車等重點車型駕駛人的嚴重交通違法行為 提高了記分分值 如圖是張明在2013年元旦假期試駕中某次小轎車在平直公路上運動的0 25s內(nèi)的速度隨時間變化的圖像 由圖像可知 A 小轎車在0 15s內(nèi)的位移為350mB 小轎車在10 15s內(nèi)加速度最大C 小轎車在2 8s內(nèi)的加速度大于16 24s內(nèi)的加速度D 小轎車在15s末運動方向發(fā)生改變 解析 選C 根據(jù)面積的大小等于位移的大小 在0 15s內(nèi)的位移為200m A錯誤 10 15s內(nèi)小轎車做勻速運動 B錯誤 2 8s內(nèi)的加速度是2m s2 16 24s內(nèi)的加速度大小為1m s2 故2 8s內(nèi)的加速度大 C正確 轎車的速度始終大于零 運動方向不變 D錯誤 思想方法之1巧解追及相遇問題的三種方法1 三種方法 1 臨界法 尋找問題中隱含的臨界條件 例如 速度小者加速追趕速度大者 在兩物體速度相等時有最大距離 速度大者減速追趕速度小者 若追不上則在兩物體速度相等時有最小距離 2 函數(shù)法 設在t時刻兩物體相遇 然后根據(jù)位移關系列出關于t的方程f t 0 若方程f t 0無正實數(shù)解 則說明這兩個物體不可能相遇 若方程f t 0存在正實數(shù)解 說明這兩個物體能相遇 3 圖像法 若用位移圖像求解 分別作出兩個物體的位移圖像 如果兩個物體的位移圖像相交 則說明兩物體相遇 若用速度圖像求解 則注意比較速度圖線與時間軸包圍的面積 2 常見類型 1 兩個做勻減速直線運動物體的追及相遇問題 2 兩個做勻加速直線運動物體的追及相遇問題 3 求追及相遇過程中距離的極值問題 3 一般解題思路 1 分析物體的運動過程 畫運動示意圖或v t圖像 2 選擇恰當?shù)姆椒?根據(jù)位移 時間 速度關系列方程 3 代入數(shù)據(jù)求解 必要時對結果的合理性進行討論 案例剖析 典題例證深度剖析在水平軌道上有兩列火車A和B相距s A車在后面做初速度為v0 加速度大小為2a的勻減速直線運動 而B車同時做初速度為零 加速度為a的勻加速直線運動 兩車運動方向相同 要使兩車不相撞 求A車的初速度v0滿足的條件 精講精析 解法一 物理分析法 A B車的運動過程 如圖甲 利用位移公式 速度公式求解 對A車有sA v0t 2a t2vA v0 2a t對B車有sB at2vB at對兩車有s sA sB追上時 兩車不相撞的臨界條件是vA vB聯(lián)立以上各式解得v0 故要使兩車不相撞 A車的初速度v0應滿足的條件是v0 解法二 極值法 利用判別式求解 由解法一可知sA s sB 即v0t 2a t2 s at2整理得3at2 2v0t 2s 0這是一個關于時間t的一元二次方程 當根的判別式 2v0 2 4 3a 2s 0 即v0 時 t無實數(shù)解 即兩車不相撞 所以要使兩車不相撞 A車的初速度v0應滿足的條件是v0 解法三 圖像法 利用速度 時間圖像求解 先作A B兩車的速度 時間圖像 其圖像如圖乙所示 設經(jīng)過t時間兩車剛好不相撞 則對A車有vA vt v0 2at 對B車有vB vt at以上兩式聯(lián)立解得t 經(jīng)t時間兩車發(fā)生的位移之差 即為原來兩車間的距離s 它可用圖中的陰影面積表示 由圖像可知s v0 t v0 所以要使兩車不相撞 A車的初速度v0應滿足的條件是v0 答案 v0 自我小測 小試身手固本強基甲車以10m s的速度在平直的公路上勻速行駛 乙車以4m s的速度與甲車平行同向做勻速直線運動 甲車經(jīng)過乙車旁邊開始以0 5m s2的加速度剎車 從甲車剎車開始計時 求 1 乙車在追上甲車前 兩車相距的最大距離 2 乙車追上甲車所用的時間 解析 方法一臨界值法 1 當甲車速度減至等于乙車速度時兩車的距離最大 設該減速過程經(jīng)過的時間為t 則v乙 v甲 at解得 t 12s此時甲 乙間的距離為 s v甲t at2 v乙t 10 12m 0 5 122m 4 12m 36m 2 設甲車減速到零所需時間為t1 則有 t1 20st1時間內(nèi) s甲 20m 100ms乙 v乙t1 4 20m 80m此后乙車運動時間 t2 5s故乙車追上甲車需t1 t2 25s 方法二函數(shù)法 1 設甲 乙兩車距離為 s則 s v甲t at2 v乙t 10t 0 5t2 4t 6t t2 24t 144 36 t 12 2 36當t 12s時 smax 36m 2 當乙車追上甲車時 s 0 t 24s但甲剎車時間為t甲 20s 24s故經(jīng)過20s甲剎車停下 此后甲靜止 在20s內(nèi) s甲 100ms乙 v乙t甲 80m此后乙運動時間t乙 5s故乙車追上甲車用時t t甲 t乙 25s 方法三圖像法 1 首先畫出甲 乙兩車的v t圖像由圖像可知當t t1時 兩車相距最遠 v甲 at1 v乙t1 12s兩車的最遠距離為 s v甲 v乙 t1 10 4 12m 36m 2 由圖像可設t t2時兩車相遇 t2 20s 則 10 20m 4t2t2 25s答案 1 36m 2 25s