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專題四數(shù)列 4 1等差數(shù)列與等比數(shù)列 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 命題熱點四 等差數(shù)列與等比數(shù)列的基本量的求解 思考 如何求解等差數(shù)列與等比數(shù)列的基本量 例1已知等比數(shù)列 an 的前n項和為Sn 且a1 a3 a2 a4 則 A 4n 1B 4n 1C 2n 1D 2n 1 答案 解析 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 命題熱點四 題后反思等差數(shù)列 等比數(shù)列的通項公式 求和公式中一共包含a1 n d q an與Sn這五個量 如果已知其中的三個 就可以求其余的兩個 因為a1 d q 是兩個基本量 所以等差數(shù)列與等比數(shù)列的基本運算問題一般先設(shè)出這兩個基本量 再根據(jù)通項公式 求和公式構(gòu)建這兩者的方程 組 通過解方程 組 求其值 這也是方程思想在數(shù)列問題中的體現(xiàn) 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 命題熱點四 對點訓練1 1 已知 an 是公差為1的等差數(shù)列 Sn為 an 的前n項和 若S8 4S4 則a10 2 已知數(shù)列 an 是遞增的等比數(shù)列 a1 a4 9 a2a3 8 則數(shù)列 an 的前n項和等于 答案 解析 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 命題熱點四 等差數(shù)列與等比數(shù)列的判定與證明 思考 證明數(shù)列 an 是等差數(shù)列或等比數(shù)列的基本方法有哪些 例2設(shè)Sn為等比數(shù)列 an 的前n項和 已知S2 2 S3 6 1 求 an 的通項公式 2 求Sn 并判斷Sn 1 Sn Sn 2是否成等差數(shù)列 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 命題熱點四 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 命題熱點四 題后反思1 證明數(shù)列 an 是等差數(shù)列的兩種基本方法 1 利用定義 證明an 1 an n N 為常數(shù) 2 利用等差中項 證明2an an 1 an 1 n 2 2 證明數(shù)列 an 是等比數(shù)列的兩種基本方法 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 命題熱點四 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 命題熱點四 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 命題熱點四 等差數(shù)列與等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用 思考 常用的等差 等比數(shù)列的性質(zhì)有哪些 例3設(shè)Sn是等差數(shù)列 an 的前n項和 若a1 a3 a5 3 則S5 A 5B 7C 9D 11 A 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 命題熱點四 題后反思等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)多與其下標有關(guān) 解題需多注意觀察 發(fā)現(xiàn)其聯(lián)系 加以應(yīng)用 1 等差數(shù)列的性質(zhì) an am n m d n m N 若m n p q 則am an ap aq m n p q N 設(shè)等差數(shù)列 an 的前n項和為Sn 則Sm S2m Sm S3m S2m 也成等差數(shù)列 2 等比數(shù)列的性質(zhì) an amqn m m n N 若m n p q 則am an ap aq m n p q N 若等比數(shù)列 an 的公比不為 1 前n項和為Sn 則Sm S2m Sm S3m S2m 也成等比數(shù)列 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 命題熱點四 對點訓練3在正項等比數(shù)列 an 中 a2 a48是關(guān)于x的方程2x2 7x 6 0的兩個根 則a1a2a25a48a49的值為 B 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 命題熱點四 等差數(shù)列 等比數(shù)列的綜合問題 思考 解決等差數(shù)列 等比數(shù)列的綜合問題的基本思路是怎樣的 例4 2018天津 文18 設(shè) an 是等差數(shù)列 其前n項和為Sn n N bn 是等比數(shù)列 公比大于0 其前n項和為Tn n N 已知b1 1 b3 b2 2 b4 a3 a5 b5 a4 2a6 1 求Sn和Tn 2 若Sn T1 T2 Tn an 4bn 求正整數(shù)n的值 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 命題熱點四 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 命題熱點四 題后反思等差數(shù)列和等比數(shù)列的綜合問題 涉及的知識面很寬 題目的變化也很多 但是只要抓住基本量a1 d q 充分運用方程 函數(shù) 轉(zhuǎn)化等數(shù)學思想方法 合理運用相關(guān)知識 就能解決這類問題 命題熱點一 命題熱點二 命題熱點三 命題熱點四 對點訓練4等差數(shù)列 an 的前n項和為Sn 已知S10 0 S15 25 則nSn的最小值為 答案 解析 規(guī)律總結(jié) 拓展演練 1 等差數(shù)列 等比數(shù)列的基本運算 一般通過其通項公式與前n項和公式構(gòu)造關(guān)于a1與d a1與q的方程 組 解決 在求解過程中靈活運用等差數(shù)列 等比數(shù)列的性質(zhì) 不僅可以快速獲解 而且有助于加深對等差數(shù)列 等比數(shù)列問題的認識 2 解決等差數(shù)列 an 前n項和問題常用的三個公式是 Sn An2 Bn A B為常數(shù) 靈活地選用公式 解決問題更便捷 3 等差數(shù)列和等比數(shù)列的中項 前n項和都有一些類似的性質(zhì) 充分利用性質(zhì)可簡化解題過程 4 證明數(shù)列是等差數(shù)列或等比數(shù)列的基本方法是定義法和中項法 規(guī)律總結(jié) 拓展演練 5 等差數(shù)列 等比數(shù)列的通項公式 求和公式有多種形式的變形 在求解相關(guān)問題時 要根據(jù)條件靈活選擇相關(guān)公式 同時兩種數(shù)列可以相互轉(zhuǎn)化 如等差數(shù)列取指數(shù)函數(shù)之后即為等比數(shù)列 正項等比數(shù)列取對數(shù)函數(shù)之后即為等差數(shù)列 規(guī)律總結(jié) 拓展演練 1 已知在等差數(shù)列 an 中 前n項和為Sn 若a3 a9 6 則S11 A 12B 33C 66D 99 B 解析 an 為等差數(shù)列 且a3 a9 6 a1 a11 a3 a9 6 規(guī)律總結(jié) 拓展演練 2 等比數(shù)列 an 的各項均為實數(shù) 其前n項和為Sn 已知 則a8 32 規(guī)律總結(jié) 拓展演練 3 已知 an 是等差數(shù)列 Sn是其前n項和 若a1 3 S5 10 則a9的值是 20 解析由S5 10得a3 2 因此2 2d 2 d 2 3 即d 3 故a9 2 3 6 20 4 若a b是函數(shù)f x x2 px q p 0 q 0 的兩個不同的零點 且a b 2這三個數(shù)可適當排序后成等差數(shù)列 也可適當排序后成等比數(shù)列 則p q的值等于 9 規(guī)律總結(jié) 拓展演練 5 2018全國 文17 記Sn為等差數(shù)列 an 的前n項和 已知a1 7 S3 15 1 求 an 的通項公式 2 求Sn 并求Sn的最小值 解 1 設(shè) an 的公差為d 由題意得3a1 3d 15 由a1 7 得d 2 所以 an 的通項公式為an 2n 9 2 由 1 得Sn n2 8n n 4 2 16 所以當n 4時 Sn取得最小值 最小值為 16