2 3 2圓的一般方程 目標導航 新知探求 課堂探究 新知探求 素養(yǎng)養(yǎng)成 知識探究 1 對于方程x2 y2 Dx Ey F 0 若 則它表示一個點 若 則表示一個圓 圓心為 半徑為 若 則它不表示任何圖形 2 圓的標準方程明確指出了圓的和 而圓的一般方程表明了方程形式上的特點 要給出圓的一般方程需要確定方程中的三個系數(shù)D E F D2 E2 4F 0 D2 E2 4F 0 D2 E2 4F 0 圓心 半徑 2 圓的一般式方程體現(xiàn)了方程形式上的特點 即x2 y2項的系數(shù)相等且不為0 沒有xy項 并且應滿足條件D2 E2 4F 0 3 圓的一般方程中含有三個參數(shù)D E F 因此要確定圓的方程需要三個獨立的條件 常用待定系數(shù)法來求解 2 曲線的軌跡方程求法在平面直角坐標系內 某些動點按一定規(guī)律運動 其軌跡方程的求法 可按下列步驟進行 1 建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?用有序實數(shù)對 x y 表示動點P的坐標 2 寫出適合條件的點P的集合M P M P 3 用坐標表示條件M P 列出方程f x y 0 4 化方程f x y 0為最簡形式 5 證明以化簡后的方程的解為坐標的點都是曲線上的點 一般情況下 化簡前后方程的解集是相同的 步驟 5 可以省略不寫 如有特殊情況 可適當予以說明 另外根據(jù)情況 也可以省略步驟 2 直接列出曲線方程 還要注意區(qū)分求軌跡和求軌跡方程 求軌跡是論證說明軌跡是什么曲線 而求軌跡方程是求曲線的方程 自我檢測 C A 3 如果方程x2 y2 Dx Ey F 0 D2 E2 4F 0 表示的曲線關于直線y x對稱 那么必有 A D E B D F C E F D D E F A 4 過A 0 0 B 4 0 C 0 6 三點的圓的一般方程是 答案 x2 y2 4x 6y 0 類型一 二元二次方程表示圓的條件 課堂探究 素養(yǎng)提升 例1 下列方程各表示什么圖形 若表示圓 求出其圓心和半徑 1 x2 y2 x 1 0 2 x2 y2 2ax a2 0 a 0 3 2x2 2y2 2ax 2ay 0 a 0 2 原方程可化為 x a 2 y2 0 a 0 它表示點 a 0 方法技巧判斷二元二次方程是否表示圓的常用方法 1 首先看這個二元二次方程是否符合圓的一般方程的形式 若不具備這種形式則不表示圓 若具備這種形式則再進行判斷 2 判斷圓的一般方程成立的條件是否滿足 若滿足 則表示圓 若不滿足 則不表示圓 對于形如Ax2 Ay2 Dx Ey F 0的二元二次方程 在A 0的條件下先兩邊除以A化為x2 y2 mx ny q 0形式再作判斷 變式訓練1 1 下列方程能表示圓嗎 若能表示圓 求出圓心坐標和半徑 1 2x2 y2 7x 5 0 2 x2 xy y2 6x yt 0 3 2x2 2y2 4x 0 4 x2 y2 2x 6y 8 0 解 1 不能表示圓 因為方程中x2 y2的系數(shù)不相同 2 不能表示圓 因為方程中含有xy項 3 能表示圓 原方程經(jīng)過約分 配方后得 x 1 2 y2 1 知此方程表示的圓的圓心為 1 0 半徑為1 類型二 圓的一般方程 例2 已知A 3 5 B 1 3 C 3 1 為 ABC的三個頂點 O M N分別為邊AB BC CA的中點 求 OMN的外接圓的方程 并求這個圓的圓心和半徑 方法技巧用待定系數(shù)法求圓的方程的方法 1 若由已知條件很容易確定圓的圓心坐標 半徑或題目需要利用圓心坐標 半徑列方程 則設出圓的標準方程 再利用待定系數(shù)法求出a b r的值 2 若給出的已知條件和圓心 半徑均無直接關系 例如已知圓經(jīng)過已知三點 則設出圓的一般方程 再利用待定系數(shù)法求出D E F的值 3 若已知條件為圓過不共線的已知三點 也可利用三角形三邊垂直平分線的交點 可先求出其中任意兩邊的垂直平分線方程 其交點就是外接圓圓心 然后再根據(jù)性質求半徑 最后寫出所求圓的方程 類型三 曲線的軌跡問題 例3 過點M 6 0 作圓C x2 y2 6x 4y 9 0的割線 交圓C于A B兩點 求線段AB的中點P的軌跡 方法技巧求曲線的軌跡可通過求曲線方程的一般步驟求解 也可采用觀察動點的運動規(guī)律 利用曲線的軌跡定義直接寫出方程 變式訓練3 1 求點P 4 2 與圓x2 y2 4上任一點連線段的中點的軌跡方程 類型四 易錯辨析 例4 已知圓的方程是x2 y2 kx 2y k2 0 且點 1 2 在圓外 求k的取值范圍 謝謝觀賞