3.2.33.2.3指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的關系指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的關系目標導航目標導航課標要求課標要求1.1.了解反函數(shù)的定義了解反函數(shù)的定義, ,知道指數(shù)函數(shù)知道指數(shù)函數(shù)y=ay=ax x與對數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)y=y=logloga ax x互為反函數(shù)互為反函數(shù). .2.2.能利用指、對函數(shù)的圖象與性質(zhì)解決一些簡單問題能利用指、對函數(shù)的圖象與性質(zhì)解決一些簡單問題. .素養(yǎng)達成素養(yǎng)達成通過指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)的學習通過指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)的學習, ,使學生養(yǎng)成使學生養(yǎng)成數(shù)形結合解決函數(shù)問題的習慣數(shù)形結合解決函數(shù)問題的習慣, ,借助指、對函數(shù)的對立統(tǒng)借助指、對函數(shù)的對立統(tǒng)一關系一關系, ,欣賞互為反函數(shù)的對稱美欣賞互為反函數(shù)的對稱美. .新知探求新知探求課堂探究課堂探究新知探求新知探求素養(yǎng)養(yǎng)成素養(yǎng)養(yǎng)成知識探究知識探究1.1.反函數(shù)反函數(shù)(1)(1)互為反函數(shù)的概念互為反函數(shù)的概念當一個函數(shù)當一個函數(shù)y=y=f(xf(x) )中中x x任取一個值時任取一個值時,y,y有唯一確定的值與之對應有唯一確定的值與之對應, ,反之反之,y,y任取一個值時任取一個值時,x,x有唯一確定的值與之對應有唯一確定的值與之對應, ,可以把這個函數(shù)的因變量作為可以把這個函數(shù)的因變量作為一個新的函數(shù)的一個新的函數(shù)的 , ,而把這個函數(shù)的自變量作為新的函數(shù)的而把這個函數(shù)的自變量作為新的函數(shù)的 . .我們稱這兩個函數(shù)互為我們稱這兩個函數(shù)互為 . .(2)(2)反函數(shù)的記法反函數(shù)的記法: :函數(shù)函數(shù)y=y=f(xf(x) )的反函數(shù)通常用的反函數(shù)通常用 來表示來表示. .2.2.指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的關系指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的關系函數(shù)函數(shù)y=y=a ax x(a(a0,a1)0,a1)與與y=y=logloga ax(ax(a0,a1)0,a1)互為互為 , ,互為反函數(shù)的互為反函數(shù)的兩個圖象在同一坐標系內(nèi)關于直線兩個圖象在同一坐標系內(nèi)關于直線 對稱對稱. .自變量自變量因變量因變量反函數(shù)反函數(shù)y=fy=f-1-1(x)(x)反函數(shù)反函數(shù)y=xy=x【拓展延伸拓展延伸】1.1.若點若點P(m,nP(m,n) )在函數(shù)在函數(shù)y=y=f(xf(x)()(或在反函數(shù)或在反函數(shù)y=fy=f-1-1(x)(x)的圖象上的圖象上, ,則點則點P(n,mP(n,m) )在反函數(shù)在反函數(shù)y=fy=f-1-1(x)(x)(或在函數(shù)或在函數(shù)y=y=f(xf(x)的圖象上的圖象上, ,利用這種對稱性去解題利用這種對稱性去解題, ,常常常可以避開求反函數(shù)的解析式?？梢员荛_求反函數(shù)的解析式, ,從而達到簡化運算的目的從而達到簡化運算的目的. .2.2.指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)y=ay=ax x與對數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)y=y=logloga ax x的圖象、性質(zhì)對比的圖象、性質(zhì)對比名稱名稱指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)一般形式一般形式y(tǒng)=y=a ax x(a(a0,a1)0,a1)y=y=logloga ax(ax(a0,a1)0,a1)定義域定義域(-,+)(-,+)(0,+)(0,+)值域值域(0,+)(0,+)(-,+)(-,+)圖象圖象自我檢測自我檢測B B 2.2.函數(shù)函數(shù)y=logy=log3 3x x的定義域為的定義域為(0,+),(0,+),則其反函數(shù)的值域是則其反函數(shù)的值域是( ( ) )(A)(0,+)(A)(0,+)(B)(B)R R(C)(-,0)(C)(-,0)(D)(0,1)(D)(0,1)A A解析解析: :原函數(shù)的定義域恰好是其反函數(shù)的值域原函數(shù)的定義域恰好是其反函數(shù)的值域. .3.y=23.y=2x x與與y=logy=log2 2x x的圖象關于的圖象關于( ( ) )(A)x(A)x軸對稱軸對稱(B)(B)直線直線y=xy=x對稱對稱(C)(C)原點對稱原點對稱(D)y(D)y軸對稱軸對稱解析解析: :由反函數(shù)的定義知由反函數(shù)的定義知y=2y=2x x與與y=logy=log2 2x x互為反函數(shù)互為反函數(shù), ,所以它們的圖象關所以它們的圖象關于直線于直線y=xy=x對稱對稱, ,選選B.B.B B答案答案: :y=4y=4x x類型一類型一 指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)圖象的關系指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)圖象的關系課堂探究課堂探究素養(yǎng)提升素養(yǎng)提升【例例1 1】 已知已知a0,a0,且且a1,a1,則函數(shù)則函數(shù)y=ay=ax x與與y=logy=loga a(-x)(-x)的圖象只能是的圖象只能是( () )思路點撥思路點撥: : 可以從圖象所在的位置及單調(diào)性來判別可以從圖象所在的位置及單調(diào)性來判別, ,也可利用函數(shù)的性也可利用函數(shù)的性質(zhì)識別圖象質(zhì)識別圖象, ,特別要注意底數(shù)特別要注意底數(shù)a a對圖象的影響對圖象的影響. .解析解析: :法一法一首先首先, ,曲線曲線y=ay=ax x只可能在上半平面只可能在上半平面,y=log,y=loga a(-x)(-x)只可能在左半只可能在左半平面平面, ,從而排除從而排除A,C.A,C.其次其次, ,從單調(diào)性著眼從單調(diào)性著眼.y=a.y=ax x與與y=logy=loga a(-x)(-x)的增減性正好相反的增減性正好相反, ,又可排除又可排除D.D.故選故選B.B.法二法二若若0a1,0a1,a1,則曲線則曲線y=ay=ax x上升且過點上升且過點(0,1),(0,1),而曲線而曲線y=logy=loga a(-x)(-x)下降且過點下降且過點(-1, (-1, 0),0),只有只有B B滿足條件滿足條件. .故選故選B.B.法三法三如果注意到如果注意到y(tǒng)=logy=loga a(-x)(-x)的圖象關于的圖象關于y y軸的對稱圖象為軸的對稱圖象為y=logy=loga ax,x,又又y=logy=loga ax x與與y=ay=ax x互為反函數(shù)互為反函數(shù)( (圖象關于直線圖象關于直線y=xy=x對稱對稱),),則可直接選定則可直接選定B.B.方法技巧方法技巧 要養(yǎng)成從多角度分析問題、解決問題的習慣要養(yǎng)成從多角度分析問題、解決問題的習慣, ,培養(yǎng)思維的培養(yǎng)思維的靈活性靈活性. .變式訓練變式訓練1 1- -1:1:在同一平面直角坐標系中在同一平面直角坐標系中, ,函數(shù)函數(shù)y y1 1=a=a-x-x,y,y2 2=-log=-loga ax(x(其中其中a0a0且且a1)a1)的圖象只可能是的圖象只可能是( () )類型二類型二 反函數(shù)性質(zhì)的應用反函數(shù)性質(zhì)的應用思路點撥思路點撥: :先由先由A(1,2)A(1,2)在函數(shù)在函數(shù)f(x)f(x)的反函數(shù)圖象上得出的反函數(shù)圖象上得出A(2,1)A(2,1)在在f(x)f(x)的圖象上的圖象上, ,然后建立關于然后建立關于a,ba,b的方程組求解的方程組求解. .方法技巧方法技巧 利用互為反函數(shù)的圖象關于直線利用互為反函數(shù)的圖象關于直線y=xy=x對稱對稱, ,可由反函數(shù)可由反函數(shù)圖象過圖象過A(1,2)A(1,2)點得原函數(shù)圖象過點得原函數(shù)圖象過(2,1)(2,1)點點, ,可簡化運算過程可簡化運算過程, ,達到事半功倍達到事半功倍之功效之功效. .變式訓練變式訓練2 2- -1:1:若若a0a0且且a1,a1,函數(shù)函數(shù)f(x)=af(x)=ax-2x-2-1-1的反函數(shù)圖象過定點的反函數(shù)圖象過定點M,M,則則M M的坐標為的坐標為. . 解析解析: :由題意可得由題意可得f(2)=0,f(2)=0,所以函數(shù)所以函數(shù)f(x)f(x)的反函數(shù)圖象過定點的反函數(shù)圖象過定點M(0,2).M(0,2).答案答案: :(0,2)(0,2)