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備戰(zhàn)2014高考數(shù)學(xué)真題集錦:《三角化簡與求值》

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1、 2.【2010新課標(biāo)全國理】如圖,質(zhì)點(diǎn)P在半徑為2的圓周上逆時(shí)針運(yùn)動(dòng),其初始位置為P0(,-),角速度為1,那么點(diǎn)P到x軸距離d關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)圖像大致為 【答案】C 【解析】通過分析可知當(dāng)時(shí),點(diǎn)到x軸距離d為,于是可以排除答案A,D,再根據(jù)當(dāng)時(shí),可知點(diǎn)在x軸上此時(shí)點(diǎn)到x軸距離d為0,排除答案B,應(yīng)選C. 命題意圖:本題的求解可以利用排除法,根據(jù)某具體時(shí)刻點(diǎn)的位置到到x軸距離來確定答案.本題也可以借助解析式來處理. 3.【2010新課標(biāo)全國理】若,是第三象限的角,則 (A) (B) (C) 2 (D) -2 【命題意圖猜想】 1. 三角函數(shù)的化簡、求值及最

2、值問題,主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式,三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式,和、差、倍、半、和積互化公式在求三角函數(shù)值時(shí)的應(yīng)用,考查利用三角公式進(jìn)行恒等變形的技能,以及基本運(yùn)算的能力,特別突出算理方法的考查. 2.2011年的試題主要考查三角函數(shù)的概念、二倍角的余弦公式.2010年試題主要考查三角恒等變換中的倍角公式的靈活運(yùn)用、同角的三角函數(shù)關(guān)系等知識(shí)以及相應(yīng)的運(yùn)算能力. 通過這兩年試題來看,二倍角公式是必考的內(nèi)容,是一個(gè)核心.2012年因?yàn)榭疾榱艘坏廊呛瘮?shù)的解答題,故小題中沒有涉及三角化簡求值,而是命制了一道三角函數(shù)的性質(zhì)的題目,預(yù)測2013年高考題會(huì)考查三角函數(shù)的化簡與求值,但是題目難度為中低檔,且

3、很有可能與三角函數(shù)的定義聯(lián)系到一起. 3.從近幾年的高考試題來看,利用同角三角函數(shù)的關(guān)系改變?nèi)呛瘮?shù)的名稱,利用誘導(dǎo)公式、和差角公式及二倍角公式改變角的恒等變換是高考的熱點(diǎn),常與三角函數(shù)式的求值、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、向量等知識(shí)綜合考查,既有選擇題、填空題,又有解答題,屬中低檔題. 【最新考綱解讀】 1.任意角的概念、弧度制 (1)了解任意角的概念. (2)了解弧度制的概念,能進(jìn)行弧度與角度的互化. 2.和與差的三角函數(shù)公式 (1)會(huì)用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式. (2)能利用兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角差的正弦、正切公式. (3)能利用兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角和的正弦、

4、余弦、正切公式,導(dǎo)出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它們的內(nèi)在聯(lián)系. 3.簡單的三角恒等變換 能運(yùn)用上述公式進(jìn)行簡單的恒等變換(包括導(dǎo)出積化和差、和差化積、半角公式,但對(duì)這三組公式不要求記憶). 【回歸課本整合】 一.三角函數(shù)誘導(dǎo)公式 1.對(duì)于形如即滿足中取偶數(shù)時(shí):等于角的同名三角函數(shù),前面加上一個(gè)把看成是銳角時(shí),該角所在象限的符號(hào); 2.對(duì)于形如即滿足中取奇數(shù)時(shí):等于角的余名三角函數(shù),前面加上一個(gè)把看成是銳角時(shí),該角所在象限的符號(hào). 3.口訣:奇變偶不變,符號(hào)看象限(看原函數(shù),同時(shí)可把看成是銳角). 4.運(yùn)用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化角的一般步驟: (1)負(fù)化正:當(dāng)已知角為負(fù)角時(shí),先利

5、用負(fù)角的誘導(dǎo)公式把這個(gè)角的三角函數(shù)化為正角的三角函數(shù)值; (2)正化負(fù):當(dāng)已知角是大于的角時(shí),可用的誘導(dǎo)公式把這個(gè)角的三角函數(shù)值化為主區(qū)間內(nèi)的三角函數(shù)值; (3)主化銳:當(dāng)已知角是到內(nèi)的角時(shí),可利用的誘導(dǎo)公式把這個(gè)角的三角函數(shù)值化為到內(nèi)的角. 二. 兩角和與差的三角函數(shù)公式 1. 兩角和與差的正弦公式:. 變形式: ; 2.兩角和與差的余弦公式: 變形式:; ; 3.兩角和與差的正切公式:. 變形式:. 注意:運(yùn)用兩角和與差的三角函數(shù)公式的關(guān)鍵是熟記公式,我們不僅要記住公式,更重要的是抓住公式的特征,如角的關(guān)系,次數(shù)關(guān)系,三角函數(shù)名等抓住公式的結(jié)構(gòu)特征對(duì)提高記憶公式的效

6、率起到至關(guān)重要的作用,而且抓住了公式的結(jié)構(gòu)特征,有利于在解題時(shí)觀察分析題設(shè)和結(jié)論等三角函數(shù)式中所具有的相似性的結(jié)構(gòu)特征,聯(lián)想到相應(yīng)的公式,從而找到解題的切入點(diǎn). 三.二倍角公式的正弦、余弦、正切 1.二倍角的正弦公式:; 二倍角的余弦公式:; 二倍角的正切公式: . 2. 降冪公式:;;. 3.升冪公式:;;. 注意:在二倍角公式中,兩個(gè)角的倍數(shù)關(guān)系,不僅限于2是的二倍,要熟悉多種形式的兩個(gè)角的倍數(shù)關(guān)系,同時(shí)還要注意三個(gè)角的內(nèi)在聯(lián)系的作用,是常用的三角變換. 【方法技巧提煉】 1. 正、余弦三兄妹“、”的應(yīng)用 與通過平方關(guān)系聯(lián)系到一起,即, 因此在解題中若發(fā)現(xiàn)題設(shè)條件有三

7、者之一,就可以利用上述關(guān)系求出或轉(zhuǎn)化為另外兩個(gè). 2.如何利用“切弦互化”技巧 (1)弦化切:把正弦、余弦化成切得結(jié)構(gòu)形式,這樣減少了變量,統(tǒng)一為“切”得表達(dá)式,進(jìn)行求值. 常見的結(jié)構(gòu)有: ① 的二次齊次式(如)的問題常采用“”代換法求解; ②的齊次分式(如)的問題常采用分式的基本性質(zhì)進(jìn)行變形. (2)切化弦:利用公式,把式子中的切化成弦.一般單獨(dú)出現(xiàn)正切、余切的時(shí)候,采用此技巧. 3.三角函數(shù)的化簡、計(jì)算、證明的恒等變形的基本思路 基本思路是:一角二名三結(jié)構(gòu).即首先觀察角與角之間的關(guān)系,注意角的一些常用變式,角的變換是三角函數(shù)變換的核心.第二看函數(shù)名稱之間的關(guān)系,通?!扒?/p>

8、化弦”;第三觀察代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn).基本的技巧有: (1)巧變角:已知角與特殊角的變換、已知角與目標(biāo)角的變換、角與其倍角的變換、兩角與其和差角的變換. 如,,,,等. (2)三角函數(shù)名互化:切割化弦,弦的齊次結(jié)構(gòu)化成切. (3)公式變形使用:如 (4)三角函數(shù)次數(shù)的降升:降冪公式與升冪公式. (5)式子結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)化. (6)常值變換主要指“1”的變換:等. (7)輔助角公式: (其中角所在的象限由的符號(hào)確定,的值由 確定.在求最值、化簡時(shí)起著重要作用,這里只要掌握輔助角為特殊角的情況即可. 如等. 【考場經(jīng)驗(yàn)分享】 1.在利用三角函數(shù)定義時(shí),點(diǎn)P可取終邊上任一點(diǎn),如有

9、可能則取終邊與單位圓的交點(diǎn).|OP|=r一定是正值. 2.同角三角函數(shù)關(guān)系及誘導(dǎo)公式要注意象限角對(duì)三角函數(shù)符號(hào)的影響,尤其是利用平方關(guān)系在求三角函數(shù)值時(shí),進(jìn)行開方時(shí)要根據(jù)角的象限或范圍判斷符號(hào),正確取舍. 3.使用誘導(dǎo)公式時(shí)一定要注意三角函數(shù)值在各象限的符號(hào),特別是在具體題目中出現(xiàn)類似kπ±α(k∈Z)的形式時(shí),需要對(duì)k的取值進(jìn)行分類討論,從而確定三角函數(shù)值的正負(fù). 4.重視三角函數(shù)的“三變”:“三變”是指“變角、變名、變式”;變角為:對(duì)角的拆分要盡可能化為同名、同角、特殊角;變名:盡可能減少函數(shù)名稱;變式:對(duì)式子變形一般要盡可能有理化、整式化、降低次數(shù)等.在解決求值、化簡、證明問題時(shí),

10、一般是觀察角度、函數(shù)名、所求(或所證明)問題的整體形式中的差異,再選擇適當(dāng)?shù)娜枪胶愕茸冃危? 5.本熱點(diǎn)一般難度不大,屬于得全分的題目,一般放在選擇題的中間位置.但是因題目解法的靈活性造成在緊張的考試氛圍里面,容易一時(shí)的思路堵塞,需冷靜處理.如果一時(shí)想不到化簡的方向,可暫且放一放,不要鉆牛角尖,否則可能造成心理負(fù)擔(dān),情緒受到影響.因新課標(biāo)高考對(duì)這個(gè)熱點(diǎn)考查難度已經(jīng)降低,同學(xué)們應(yīng)有必勝的信心. 【新題預(yù)測演練】 1.【2013河北省名校名師俱樂部高三3月模擬考試】 已知,,則( ) A. B. C. D. 2.【廣東省華南師大附中2012-2013學(xué)年度高三第三次月考】

11、設(shè),,則的值( ?。? (A) (B) (C) (D) 【答案】A 【解析】由,,不妨在角的終邊上取點(diǎn),則,于是由定義可得,,所以,故選A. 3.【四川省綿陽南山中學(xué)高2013級(jí)第五期零診考試】若點(diǎn)P(3,y)是角α終邊上的一點(diǎn),且滿足y<0,cosα=,則tanα=( ) A.- B. C. D. - 【答案】D  【解析】 cosα==,∴y2=16.∵y<0,∴y=-4,∴tanα=-. 4. [2012-2013學(xué)年云南省昆明市高三(上)摸底調(diào)研測試

12、]已知,則sin2x的值為( ?。?   A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】∵sin(x﹣)=(sinx﹣cosx)=, ∴sinx﹣cosx=, 兩邊平方得:(sinx﹣cosx)2=sin2x﹣2sinxcosx+cos2x=1﹣sin2x=, 則sin2x=. 故選B 6.【山東省煙臺(tái)市2012-2013學(xué)年度第一學(xué)期模塊檢測】已知,,則等于 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由知 故選B. 7. 【天津一中2012-2013學(xué)年高三年級(jí)一月考】函數(shù)的最小值和最大值分別為

13、( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 ,因?yàn)?,所以?dāng)時(shí),函數(shù)有最大值,當(dāng)時(shí),函數(shù)有最小值,選C. 8.【河北省唐山市2012-2013學(xué)年度高三年級(jí)摸底考試】若tanθ=2,則cos2θ= (A)  (B)- ?。–) ?。―)-[ 【答案】D 【解析】 9.【山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)2013屆高三第二次診斷性測試】已知,且,則等于 A. B. C. D. 10.【重慶市部分重點(diǎn)中學(xué)2012—2013年高三上學(xué)期第一次聯(lián)考】 當(dāng)0<x<時(shí),函數(shù)

14、的最小值為 A.2 B. C.4 D. 【答案】C 【解析】 . ∵0<x<,∴tanx>0. ∴. 當(dāng)時(shí),f(x)min=4.故選C. 11.【江西省2013屆百所重點(diǎn)高中階段性診斷考試】 已知,則等于 A. B. C. D. 13.【山東省泰安市2013屆高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)】已知,則等于 A. B. C. D.1 【答案】A 【解析】由得,所以,即,所以,所以,所以,選A. 14.【2012-2013學(xué)年江西省南昌二中高三(上)第四次月考】若,則的值是(  )  

15、 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】∵sin2θ+cos2θ=1, ∴便得出方程組 解這個(gè)關(guān)于sinθ與cosθ的2元2次方程組, ∴.所以tanθ=1. 故有. 答案:B. 15.【天津市新華中學(xué)2011-2012學(xué)年度第一學(xué)期第二次月考】 已知,則_____________________. 16.【天津一中2012-2013學(xué)年高三年級(jí)一月考】已知,sin()=- sin則cos=________. 【答案】 【解析】因?yàn)椋?,所以,?又,所以,即.又. 17.【四川省成都市2013屆高中畢業(yè)班第一次診斷性檢測】已知

16、角,構(gòu)成公差為的等差數(shù)列.若, 則=__________. 18.【安徽省皖南八校2013屆高三第二次聯(lián)考】 已知角a的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(x,- 6),且tan a= ,則x的值為 ____. 【答案】10 【解析】根據(jù)題意,所以 19.【江蘇省南通市2013屆高三第二次調(diào)研測試】設(shè),且.則的值為 . 【答案】 【解析】本題考查兩角和與差的三角函數(shù),三角函數(shù)的恒等變換等. 法一:由得,,, 由,,所以. =. 法二:由得,,由法一可知,,. . 法三

17、:由,得,,= . 20.【2013屆貴州天柱民中、錦屏中學(xué)、黎平一中、黃平民中四校聯(lián)考】已知 。 【答案】 【解析】因?yàn)樗裕?,,即,又,?lián)立解得,所以 22.【2012-2013學(xué)年江西省南昌市調(diào)研考試】(本小題滿分12分) 已知且,求. 【解析】:因?yàn)椋?,………………………………?分 又,所以,…………8分 ………………11分 ……………………………………………………………12分 23.【廣東省潮州市2012-2013學(xué)年度第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測】(本小題共12分)已知函數(shù),是的導(dǎo)函數(shù). (1)求函數(shù)的最小

18、值及相應(yīng)的值的集合; (2)若,求的值. 24.【北京市房山區(qū)2013屆高三上學(xué)期期末理】已知函數(shù). (Ⅰ)求函數(shù)的定義域; (Ⅱ)若,求的值. (Ⅰ)由 ………………1分 得 ………………3分 所以函數(shù)的定義域?yàn)? ……………4分 (Ⅱ) 25.【北京市豐臺(tái)區(qū)2013屆高三上學(xué)期期末理】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,銳角和鈍角的終邊分別與單位圓交于,兩點(diǎn). (Ⅰ)若點(diǎn)的橫坐標(biāo)是,點(diǎn)的縱坐標(biāo)是,求的值; (Ⅱ) 若∣AB∣=, 求的值. 解:(Ⅰ)根據(jù)三角函數(shù)的定義得, , . ………………………………………………………2分 ∵的終邊在第一象限,∴. ……………………………………………3分 ∵的終邊在第二象限,∴ .………………………………………4分 ∴==+=.……………7分 (Ⅱ)方法(1)∵∣AB∣=||=||, ……………………………………9分 又∵,…………………11分 友情提示:部分文檔來自網(wǎng)絡(luò)整理,供您參考!文檔可復(fù)制、編輯,期待您的好評(píng)與關(guān)注! - 15 - / 15

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