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第十五章不等式選講 高考文數(shù) 考點一解含有絕對值的不等式1 絕對值不等式的解法 1 ax b c ax b c型不等式的解法 i 若c 0 則 ax b c等價于 c ax b c ax b c等價于ax b c或ax b c 然后根據(jù)a b的值解出即可 ii 若c 0 則 ax b c的解集為 ax b c的解集為R 2 對于形如 x a x b c x a x b c的不等式 可通過分類討論或利用絕對值的幾何意義進行求解 2 絕對值三角不等式定理1 若a b為實數(shù) 則 a b a b 當且僅當ab 0時 等號成立 知識清單 定理2 若a b c為實數(shù) 則 a c a b b c 等號成立 a b b c 0 即b落在a c之間 推論1 a b a b 推論2 a b a b 考點二證明不等式證明不等式的基本方法 1 比較法 2 綜合法與分析法 3 反證法和放縮法 含有兩個絕對值的不等式的解法形如 x a x b c 或 c 型不等式主要有三種解法 1 分段討論法 利用絕對值符號內(nèi)式子對應方程的根 將數(shù)軸分為 a a b b 此處設a b 三個部分 在每個部分上去掉絕對值符號 分別列出對應的不等式求解 然后取各個不等式解集的并集 2 幾何法 利用 x a x b c c 的幾何意義 數(shù)軸上到點x1 a和x2 b的距離之和不小于 不大于 c的點的全體 3 圖象法 作出函數(shù)y1 x a x b 和y2 c的圖象 結(jié)合圖象求解 方法技巧 例1 2016課標全國 24 10分 選修4 5 不等式選講已知函數(shù)f x x 1 2x 3 1 畫出y f x 的圖象 2 求不等式 f x 1的解集 解析 1 f x 4分 y f x 的圖象如圖所示 6分 2 由f x 的表達式及圖象知 當f x 1時 可得x 1或x 3 當f x 1時 可得x 或x 5 8分 故f x 1的解集為 x 11的解集為 10分 證明不等式的方法1 用比較法證明不等式最常用的是差值比較法 其基本步驟是 作差 變形 判斷差的符號 下結(jié)論 其中 變形 是證明的關(guān)鍵 一般通過因式分解或配方將差變形為幾個因式的積或配成幾個平方和的形式 2 在證明不等式時 分析法與綜合法常常聯(lián)合使用 實際上是以分析法為主 借助綜合法 使證明的問題明朗化 此種方法稱為分析綜合法 分析綜合法的實質(zhì)是既充分利用已知條件 又時刻不忘解題目標 兼顧條件與結(jié)論 便于找到解題途徑 例2 2017福建福州八中第六次質(zhì)檢 23 已知函數(shù)f x x 1 1 解不等式f x f x 4 8 2 若 a a f 解析 1 f x f x 4 x 1 x 3 當x1時 由2x 2 8 解得x 3 所以x 3 所以 不等式f x f x 4 8的解集為 x x 5或x 3 2 證明 f ab a f 即 ab 1 a b 因為 a 0 所以 ab 1 a b 故所證不等式成立