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第四章三角函數(shù) 高考文數(shù) 4 4解三角形 考點(diǎn)用正 余弦定理解三角形1 正 余弦定理 知識(shí)清單 2 解三角形的類(lèi)型 1 已知兩角及一邊 用正弦定理 有解時(shí) 只有一解 2 已知兩邊及其中一邊的對(duì)角 用正弦定理 有解時(shí)可分為幾種情況 在 ABC中 已知a b和角A時(shí) 解的情況如下 上表中A為銳角時(shí) a bsinA無(wú)解 A為鈍角時(shí) a b a b均無(wú)解 3 已知三邊 用余弦定理 有解時(shí) 只有一解 4 已知兩邊及夾角 用余弦定理 必有一解 3 三角形的面積設(shè) ABC的三邊為a b c 所對(duì)的三個(gè)內(nèi)角為A B C 其面積為S 外接圓半徑為R 1 S ah h為BC邊上的高 2 S absinC acsinB bcsinA 3 S 2R2sinAsinBsinC 4 S 5 S 4 實(shí)際問(wèn)題中的常用角 1 仰角和俯角與目標(biāo)視線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平線和目標(biāo)視線的夾角 目標(biāo)視線在水平線上方的角叫仰角 目標(biāo)視線在水平線下方的角叫俯角 如圖a 2 方位角方位角是指從某點(diǎn)的正北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角 如B點(diǎn)的方位角為 如圖b 3 坡角 坡面與水平面所成的銳二面角 拓展延伸在 ABC中 角A B C所對(duì)的邊分別是a b c 常見(jiàn)的結(jié)論如下 1 A B C 2 在 ABC中 大角對(duì)大邊 大邊對(duì)大角 如 a b A B sinA sinB 3 任意兩邊之和大于第三邊 任意兩邊之差小于第三邊 4 在銳角三角形ABC中 sinA cosB A B 5 在斜 ABC中 tanA tanB tanC tanA tanB tanC 6 有關(guān)三角形內(nèi)角的常用三角恒等式 sin A B sinC cos A B cosC tan A B tanC sin cos cos sin 正弦定理和余弦定理的應(yīng)用方法在解有關(guān)三角形的題目時(shí) 要有意識(shí)地考慮用哪個(gè)定理更合適 還是兩個(gè)定理都要用 要抓住能夠利用定理的信息 一般地 如果式子中含有角的余弦或邊的二次式 要考慮用余弦定理 如果式子中含有角的正弦或邊的一次式 則考慮用正弦定理 如果以上特征都不明顯 則要考慮到兩個(gè)定理都要用到 例1 2017天津 15 13分 在 ABC中 內(nèi)角A B C所對(duì)的邊分別為a b c 已知asinA 4bsinB ac a2 b2 c2 1 求cosA的值 2 求sin 2B A 的值 方法技巧 解題導(dǎo)引 1 由asinA 4bsinB及正弦定理得a 2b由ac a2 b2 c2 a 2b及余弦定理求cosA 2 求sinA的值求sinB及cosB的值利用二倍角公式得sin2B及cos2B的值代入兩角差的正弦公式得結(jié)果 解析 1 由asinA 4bsinB及 得a 2b 又由ac a2 b2 c2 及余弦定理 得cosA 2 由 1 及已知 可得sinA 代入asinA 4bsinB 得sinB 由 1 知 A為鈍角 所以cosB 于是sin2B 2sinBcosB cos2B 1 2sin2B 故sin 2B A sin2BcosA cos2BsinA 三角形形狀的判斷方法1 利用正 余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為內(nèi)角的三角函數(shù)的關(guān)系 通過(guò)三角恒等變換 得出三角形內(nèi)角之間的關(guān)系 從而判斷出三角形的形狀 2 利用正 余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為邊之間的關(guān)系 通過(guò)因式分解 配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系 從而判斷出三角形的形狀 例2 2016遼寧五校第一次聯(lián)考 8 在 ABC中 角A B C所對(duì)的邊分別是a b c 若直線bx ycosA cosB 0與ax ycosB cosA 0平行 則 ABC一定是 C A 銳角三角形B 等腰三角形C 直角三角形D 等腰或者直角三角形 解題導(dǎo)引由兩直線平行得出邊角關(guān)系利用正弦或余弦定理化成角與角或邊與邊之間的關(guān)系化簡(jiǎn)關(guān)系式判斷三角形的形狀 解析解法一 由兩直線平行可得bcosB acosA 0 由正弦定理可知sinBcosB sinAcosA 0 即sin2A sin2B 又A B 0 且A B 0 所以2A 2B或2A 2B 即A B或A B 若A B 則a b cosA cosB 此時(shí)兩直線重合 不符合題意 舍去 故A B 則 ABC是直角三角形 故選C 解法二 由兩直線平行可得bcosB acosA 0 由余弦定理 得a b 所以a2 b2 c2 a2 b2 a2 c2 b2 所以c2 a2 b2 a2 b2 a2 b2 所以 a2 b2 a2 b2 c2 0 所以a b或a2 b2 c2 若a b 則兩直線重合 不符合題意 故a2 b2 c2 則 ABC是直角三角形 故選C 解三角形應(yīng)用題的方法1 解三角形應(yīng)用題的步驟2 解三角形應(yīng)用題的兩種方法 1 實(shí)際問(wèn)題經(jīng)抽象概括后 已知量與未知量全部集中在一個(gè)三角形中 可用正弦定理或余弦定理求解 2 實(shí)際問(wèn)題抽象概括后 已知量與未知量涉及兩個(gè)或兩個(gè)以上三角形 這時(shí)需作出這些三角形 先解條件已知的三角形 然后逐步求出其他三角形的解 有時(shí)需設(shè)出未知量 從幾個(gè)三角形中列出方程 解方程得出所求的解 3 解三角形應(yīng)用題應(yīng)注意的問(wèn)題 1 要注意仰角 俯角 方位角以及方向角等名詞 并能準(zhǔn)確地找出這些角 2 要注意將平面幾何中的性質(zhì) 定理與正 余弦定理結(jié)合起來(lái)使用 這樣可以優(yōu)化解題過(guò)程 3 注意題目中的隱含條件以及解的實(shí)際意義 例3 2015湖北 15 5分 如圖 一輛汽車(chē)在一條水平的公路上向正西行駛 到A處時(shí)測(cè)得公路北側(cè)一山頂D在西偏北30 的方向上 行駛600m后到達(dá)B處 測(cè)得此山頂在西偏北75 的方向上 仰角為30 則此山的高度CD m 解題導(dǎo)引由已知條件及三角形內(nèi)角和定理可得 ACB的值 在 ABC中 利用正弦定理求得BC 在Rt BCD中 利用銳角三角函數(shù)的定義求得CD的值 解析依題意有AB 600 CAB 30 CBA 180 75 105 DBC 30 DC CB ACB 45 在 ABC中 由 得 有CB 300 在Rt BCD中 CD CB tan30 100 則此山的高度CD 100m 答案100