8.4函數(shù)實際應用問題中考數(shù)學中考數(shù)學 (河北專用)一、一次函數(shù)的實際應用一、一次函數(shù)的實際應用好題精練1.(2018保定競秀一模,24)從2017年1月1日起,我國駕駛證考試正式實施新的駕考培訓模式,新規(guī)規(guī)定C2駕駛證的培訓學時為60學時.駕校的學費標準分不同時段,普通時段a元/學時,高峰時段和節(jié)假日時段都為b元/學時.(1)小明和小華都在此駕校參加了C2駕駛證的培訓,下表是小明和小華的培訓結算表(培訓學時均為40).請你根據(jù)提供的信息,計算出a,b的值;學員培訓時段培訓學時培訓總費用小明普通時段206 000元高峰時段5節(jié)假日時段15小華普通時段305 400元高峰時段2節(jié)假日時段8(2)小陳報名參加了C2駕駛證的培訓,并且計劃學夠全部基本學時,但為了不耽誤工作,普通時段的培訓學時不會超過其他兩個時段總學時的,若小陳普通時段培訓了x學時,培訓總費用為y元.求y與x之間的函數(shù)關系式,并確定自變量x的取值范圍;小陳如何選擇培訓時段,才能使得本次培訓的總費用最低?12解析解析(1)由題意得解得(2)y=120 x+180(60-x)=-60 x+10 800.由題意得,x(60-x),且x0,解得0 x20.因為在y=-60 x+10 800(0 x20)中,-603.75,6-3.75=2.25,客車先到達C城,再過2.25小時出租車到達C城.(2)兩車相距100千米,分兩種情況:y2-y1=100,即900-100t-80t=100,解得t=;y1-y2=100,即80t-(900-100t)=100,解得t=.綜上可知:兩車相距100千米時,時間t為或小時.4504t 1313409509409509決策:兩車相遇,即80t+100t=900,解得t=5,此時AD=805=400(千米),BD=900-400=500(千米).方案一:t1=(2CD+BD)100=7(小時);方案二:t2=BD80=6.25(小時).t1t2,方案二更快.思路分析思路分析 探究:根據(jù)路程=速度時間,即可得出y1、y2關于t的函數(shù)關系式,根據(jù)關系式算出y1=200時的時間t,將t代入y2的解析式中即可得出結論.發(fā)現(xiàn):(1)根據(jù)探究中得出的函數(shù)關系式,令y=300即可分別算出時間t1 和t2,二者作差得解;(2)兩車相距100千米,分兩種情況考慮,解關于t的一元一次方程即可.決策:先算出到達點D的時間,據(jù)此求出AD,BD的長,然后求出兩種方案各需的時間,兩者進行比較即可得出結論.4.(2018河南,21,10分)某公司推出一款產品,經市場調查發(fā)現(xiàn),該產品的日銷售量y(個)與銷售單價x(元)之間滿足一次函數(shù)關系.關于銷售單價,日銷售量,日銷售利潤的幾組對應值如下表:(注:日銷售利潤=日銷售量(銷售單價-成本單價)(1)求y關于x的函數(shù)解析式(不要求寫出x的取值范圍)及m的值;(2)根據(jù)以上信息,填空:該產品的成本單價是 元.當銷售單價x= 元時,日銷售利潤w最大,最大值是 元;(3)公司計劃開展科技創(chuàng)新,以降低該產品的成本.預計在今后的銷售中,日銷售量與銷售單價仍存在(1)中的關系.若想實現(xiàn)銷售單價為90元時,日銷售利潤不低于3 750元的銷售目標,該產品的成本單價應不超過多少元?銷售單價x(元)8595105115日銷售量y(個)17512575m日銷售利潤w(元)8751 8751 875875解析解析(1)設y關于x的函數(shù)解析式為y=kx+b,k0,由題意得解得y關于x的函數(shù)解析式為y=-5x+600.(3分)當x=115時,m=-5115+600=25.(4分)(2)80;100;2 000.(7分)(3)設該產品的成本單價為a元,由題意得(-590+600)(90-a)3 750.解得a65.答:該產品的成本單價應不超過65元.(10分)85175,95125.kbkb5,600.kb 思路分析思路分析 (1)在表格中任選兩對x,y的值,由待定系數(shù)法求得y關于x的函數(shù)解析式,把x=115代入求得m的值;(2)由85-875175=80,得成本單價,根據(jù)題意可求得w關于x的函數(shù)解析式,配方得解;(3)列出以a為未知數(shù)的一元一次不等式,解不等式即可.易錯警示易錯警示 解答第(2)問時,容易從表格中選取數(shù)值直接填空,造成錯解,正確解法為:求出w關于x的解析式w=y(x-80)=-5(x-100)2+2 000,根據(jù)實際意義得,當x=100時,得出w的最大值2 000.二、反比例函數(shù)的實際應用二、反比例函數(shù)的實際應用1.(2017浙江麗水,21,10分)麗水某公司將“麗水山耕”農副產品運往杭州市場進行銷售,記汽車行駛時間為t小時,平均速度為v千米/小時(汽車行駛速度不超過100千米/小時).根據(jù)經驗,v,t的一組對應值如下表:v(千米/小時)7580859095t(小時)4.003.753.533.333.16(1)根據(jù)表中的數(shù)據(jù),求出平均速度v(千米/小時)關于行駛時間t(小時)的函數(shù)表達式;(2)汽車上午7:30從麗水出發(fā),能否在上午10:00之前到達杭州市場?請說明理由;(3)若汽車到達杭州市場的行駛時間t滿足3.5t4,求平均速度v的取值范圍.解析解析(1)根據(jù)題表數(shù)據(jù),可設v=(k0),v=75時,t=4,k=754=300,v=(t3).(2)10-7.5=2.5,t=2.5時,v=120100,汽車上午7:30從麗水出發(fā),不能在上午10:00之前到達杭州市場.(3)3.5t4,75v.答:平均速度v的取值范圍是75v.kt300t3002.560076007思路分析思路分析 (1)根據(jù)題表中的數(shù)據(jù),可知v是t的反比例函數(shù),設v=(k0),利用待定系數(shù)法求出k值;(2)根據(jù)時間t=2.5,求出速度,進而判斷不能在上午10:00之前到達杭州市場;(3)根據(jù)自變量的取值范圍,求出函數(shù)值的取值范圍.kt2.(2017唐山路北三模,24)教室內的飲水機接通電源進入自動程序,開機加熱時每分鐘上升10 ,加熱到100 ,停止加熱,水溫開始下降,此時水溫y()與開機后用時x(分鐘)成反比例關系.直至水溫降至30 ,飲水機關機.飲水機關機后即刻自動開機,重復上述自動程序.水溫為30 時,接通電源后,水溫y()和時間x(分鐘)的關系如圖.(1)a= ;(2)直接寫出圖中y關于x的函數(shù)關系式;(3)飲水機有多少時間能使水溫保持在70 及以上?(4)若飲水機早上已加滿水,開機溫度是20 ,為了使8:40下課時水溫達到70 ,并節(jié)約能源,直接寫出當它上午什么時間接通電源比較合適. 解析解析(1)由題意可得a=(100-30)10=7010=7.(2)y=詳解:當0 x7時,設y關于x的函數(shù)關系式為y=kx+b(k0),解得即當0 x7時,y關于x的函數(shù)關系式為y=10 x+30,當x7時,設y=(a0),則有100=,解得a=700,即當x7時,y關于x的函數(shù)關系式為y=,當y=30時,x=,y 與x 的函數(shù)關系式為y=(3)將y=70代入y=10 x+30,得x=4,將y=70代入y=,得x=10,10-4=6,飲水機有6分鐘能使水溫保持在70 及以上.1030(07),700707.3xxxx30,7100,bkb10,30,kbax7a700 x7031030(07),700707.3xxxx700 x(4)由題意可得,6+(70-20)10=11(分鐘),40-11=29,即8:29開機接通電源比較合適.三、二次函數(shù)的實際應用三、二次函數(shù)的實際應用1.(2018張家口橋東一模,26)某大學生利用暑假40天社會實踐參與了一家網(wǎng)店經營,了解到一種新型商品成本為20元/件,第x天銷售量為p件,銷售單價為q元/件,經跟蹤調查發(fā)現(xiàn),這40天中p與x的關系保持不變.前20天(包含第20天),q與x的關系滿足關系式q=30+ax;從第21天到第40天中,q是基礎價與浮動價的和,其中基礎價保持不變,浮動價與x成反比.且得到了表中的數(shù)據(jù).x(天)102135q(元/件)354535(1)請直接寫出a的值為 ;(2)從第21天到第40天中,求q與x滿足的關系式;(3)若該網(wǎng)店第x天獲得的利潤為y元,并且已知這40天里前20天中y與x的函數(shù)關系式為y=-x2+15x+500.請直接寫出這40天中p與x的關系式: ;這40天里該網(wǎng)店第幾天獲得的利潤最大?12解析解析(1)把x=10,q=35代入q=30+ax得a=0.5.(2)設從第21天到第40天中,q與x滿足的關系式為q=b+.由題中表格信息得解得q=20+.(3)y=(q-20)p=(30+0.5x-20)p=(x+20)p,y=-x2+15x+500=-(x2-30 x-1 000)=-(x+20)(x-50),(x+20)p=-(x+20)(x-50).p=-x+50.當1x20時,y=-x2+15x+500=-(x-15)2+612.5,當x=15時,y最大=612.5.當21x40時,y=p(q-20)=(50-x)=-525.y隨x增大而減小,當x=21時,y最大=725.綜上所述,這40天里該網(wǎng)店第21天獲得的利潤最大.kx45,2135,35kbkb20,525,bk525x1212121212121212525x26 250 x2.(2017四川成都,26,8分)隨著地鐵和共享單車的發(fā)展,“地鐵+單車”已成為很多市民出行的選擇,李華從文化宮站出發(fā),先乘坐地鐵,準備在離家較近的A,B,C,D,E中的某一站出地鐵,再騎共享單車回家,設他出地鐵的站點與文化宮距離為x(單位:千米),乘坐地鐵的時間y1(單位:分鐘)是關于x的一次函數(shù),其關系如下表:地鐵站ABCDEx(千米)891011.513y1(分鐘)1820222528(1)求y1關于x的函數(shù)表達式;(2)李華騎單車的時間y2(單位:分鐘)也受x的影響,其關系可以用y2=x2-11x+78來描述,請問:李華應選擇在哪一站出地鐵,才能使他從文化宮站回家所需的時間最短?并求出最短時間.12解析解析(1)設y1與x之間的函數(shù)關系式為y1=kx+b(k0),把(8,18),(9,20)代入得解得y1=2x+2.(2)設李華從文化宮站回家所花的時間為y分鐘,則y=y1+y2,即y=2x+2+x2-11x+78,即y=x2-9x+80=(x-9)2+,當x=9時,y取最小值,李華應在B站出地鐵,可使得他回家所需時間最短,最短時間為分鐘.188,209,kbkb2,2.kb1212127927927923.(2017唐山路南二模,25)某公司開發(fā)了一種新產品,現(xiàn)要在甲地或者乙地進行銷售,設年銷售量為x(件),其中x0.若在甲地銷售,每件售價y(元)與x之間的函數(shù)關系式為y=-x+100,每件成本為20元,設此時的年銷售利潤為w甲(元)(利潤=銷售額-成本).若在乙地銷售,受各種不確定因素的影響,每件成本為a元(a為常數(shù),18a25),每件售價為98元,銷售x(件)每年還需繳納x2元的附加費.設此時的年銷售利潤為w乙(元)(利潤=銷售額-成本-附加費).(1)當a=18,且x=100時,w乙= 元;(2)求w甲與x之間的函數(shù)關系式(不必寫出x的取值范圍),當w甲=15 000時,若使銷售量最大,求x的值;(3)為完成x件的年銷售任務,請你通過分析幫助公司決策,應選擇在甲地還是在乙地銷售才能使該公司所獲年利潤最大.110110解析解析(1)當a=18,且x=100時,w乙=(98-18)100-1002=7 000(元).(2)w甲=x(y-20)=x=-x2+80 x,當w甲=15 000時,-x2+80 x=15 000,解得x1=300,x2=500,由于要使銷售量最大,故x=500.(3)w乙=-x2+(98-a)x,w甲-w乙=-x2+80 x-=(a-18)x,18a25,且x0,當180,即w甲w乙,應選擇在甲地銷售;當a=18時,w甲=w乙,在甲地、乙地銷售均可.11011002010 x11011011011021(98)10 xa x思路分析思路分析 (1)根據(jù)“乙地銷售利潤=每件利潤銷售量-附加費用”列式計算得解;(2)先求w甲與x之間的函數(shù)關系式,根據(jù)“銷售總利潤=每件利潤銷售量”列方程得出結論;(3)先列出w乙與x之間的函數(shù)關系式,再作差得出w甲-w乙=(a-18)x,結合a的取值范圍即可判斷.一、一次函數(shù)的實際應用一、一次函數(shù)的實際應用教師專用題組教師專用題組1.(2018陜西,21,7分)經過一年多的精準幫扶,小明家的網(wǎng)絡商店(簡稱網(wǎng)店)將紅棗、小米等優(yōu)質土特產迅速銷往全國.小明家網(wǎng)店中紅棗和小米這兩種商品的相關信息如下表:根據(jù)上表提供的信息,解答下列問題:(1)已知今年前五個月,小明家網(wǎng)店銷售上表中規(guī)格的紅棗和小米共3 000 kg,獲得利潤4.2萬元,求這前五個月小明家網(wǎng)店銷售這種規(guī)格的紅棗多少袋;(2)根據(jù)之前的銷售情況,估計今年6月到10月這后五個月,小明家網(wǎng)店還能銷售上表中規(guī)格的紅棗和小米共2 000 kg,其中,這種規(guī)格的紅棗的銷售量不低于600 kg.假設這后五個月,銷售這種規(guī)格的紅棗為x(kg),銷售這種規(guī)格的紅棗和小米獲得的總利潤為y(元),求出y與x之間的函數(shù)關系式,并求這后五個月,小明家網(wǎng)店銷售這種規(guī)格的紅棗和小米至少獲得總利潤多少元.商品紅棗小米規(guī)格1 kg/袋2 kg/袋成本(元/袋)4038售價(元/袋)6054解析解析(1)設這前五個月小明家網(wǎng)店銷售這種規(guī)格的紅棗m袋,則銷售這種規(guī)格的小米 袋,根據(jù)題意,得(60-40)m+(54-38)=42 000,解得m=1 500.這前五個月小明家網(wǎng)店銷售這種規(guī)格的紅棗1 500袋.(3分)(2)根據(jù)題意,得y=(60-40)x+(54-38)=12x+16 000.y與x之間的函數(shù)關系式為y=12x+16 000.(5分)120,y的值隨x值的增大而增大.x600,當x=600時,y最小,為12600+16 000=23 200.這后五個月,小明家網(wǎng)店銷售這種規(guī)格的紅棗和小米至少獲得總利潤為23 200元.(7分)3 0002m3 0002m2 0002x思路分析思路分析 (1)設這前五個月小明家網(wǎng)店銷售這種規(guī)格的紅棗m袋,根據(jù)“銷售題表中規(guī)格的紅棗和小米共3 000 kg,獲得利潤4.2萬元”列出方程求解即可;(2)這后五個月,銷售這種規(guī)格的紅棗為x(kg),列出y與x之間的函數(shù)關系式,利用一次函數(shù)的增減性及x的取值范圍求出最值.解題關鍵解題關鍵 本題考查了一次函數(shù)的應用,讀懂題目信息,確定自變量的取值范圍,列出函數(shù)關系式是解題的關鍵.2.(2015保定一模,25)小明媽媽每天需趕頭班公交車駛往終點站,離他家最近的公交站點離終點站15 km,一天他媽媽從家步行到公交站點,恰好趕上頭班公交車,上車后才發(fā)現(xiàn)有重要物品落在家中,急忙通知小明將物品送到終點站,這時媽媽已上車5 min,小明馬上取了東西,用時6 min趕到媽媽上車的公交站點,乘坐剛好路過的出租車,沿公交車的線路駛往公交車的終點站,結果比公交車早4 min到達,出租車司機與小明一起等侯公交車,若公交車、出租車均視為全程勻速行駛,出租車的速度為60 km/h(即1 km/min),設媽媽所乘公交車離開她上車的站點的時間為t(min),小明上車后,小明所乘出租車距媽媽上車的公交站點的路程為s1(km),媽媽所乘的公交車與小明所乘出租車之間相距的路程為s(km).(1)求s1與t之間的函數(shù)關系式,并寫出t的取值范圍;(2)寫出11t30時s與t之間的函數(shù)關系式;(3)公交車到達終點之前,經多長時間兩車相距500 m?解析解析(1)當11t26時,s1=t-11;當26t30時,s1=15.(2)當11t22時,s=t-(t-11)=-t+11;當22t26時,s=t-11-t=t-11;當26t30時,s=15-t.(3)當11t22時,令s=-t+11=0.5,解得t=21;當22t26時,令s=t-11=0.5,解得t=23;當260).當y=3時,x=1,由函數(shù)圖象可知當y3時,x的取值范圍是0 x1.(2)圓圓的說法不對,方方的說法對,理由如下:設矩形的周長為l,相鄰兩邊長分別為x,l-x,則x=3,即2x2-lx+6=0,則=l2-48,當l=6時,=-120,此時,矩形的相鄰兩邊長分別為,.3x3x1212lx51325132所以存在面積為3,周長為10的矩形,所以方方的說法對.三、二次函數(shù)的實際應用三、二次函數(shù)的實際應用1.(2018湖北黃岡,23,9分)我市某鄉(xiāng)鎮(zhèn)在“精準扶貧”活動中銷售一農產品,經分析發(fā)現(xiàn)月銷售量y(萬件)與月份x(月)的關系式為y=每件產品的利潤z(元)與月份x(月)的關系如下表:4(18,),20(912,),xxxxxx 為整數(shù)為整數(shù)x123456789101112z191817161514131211101010(1)請你根據(jù)表格求出每件產品利潤z(元)與月份x(月)的關系式;(2)若月利潤w(萬元)=當月銷售量y(元件)當月每件產品的利潤z(元),求月利潤w(萬元)與月份x(月)的關系式;(3)當x為何值時,月利潤w有最大值?最大值為多少?解析解析(1)根據(jù)表格可知,當1x10且x為整數(shù)時,z=-x+20;當11x12且x為整數(shù)時,z=10.z與x的關系式為z=或z=(2)當1x8且x為整數(shù)時,w=(-x+20)(x+4)=-x2+16x+80;當9x10且x為整數(shù)時,w=(-x+20)(-x+20)=x2-40 x+400;當11x12且x為整數(shù)時,w=10(-x+20)=-10 x+200,w與x的關系式為w=或w=(3)當1x8且x為整數(shù)時,w=-x2+16x+80=-(x-8)2+144,20(110,),10(1112,).xxxxx 為整數(shù)為整數(shù)20(19,),10(1012,)xxxxx 為整數(shù)為整數(shù)221680(18,),40400(910,),10200(1112,).xxxxxxxxxxx為整數(shù)為整數(shù)為整數(shù)221680(18,),40400121(9),10200(1012,)xxxxxxxxxx為整數(shù)為整數(shù)當x=8時,w有最大值,為144;當9x10且x為整數(shù)時,w=x2-40 x+400=(x-20)2,當x=9時,w有最大值,為121;當11x12且x為整數(shù)時,w=-10 x+200,當x=11時,w有最大值,為90.90121144,x=8時,w有最大值,為144.(或當1x8且x為整數(shù)時,w有最大值144;當x=9時,w=121;當x=10時,w=100;當x=11時,w=90;當x=12時,w=80)2.(2017湖北隨州,23,10分)某水果店在兩周內,將標價為10元/斤的某種水果,經過兩次降價后的價格為8.1元/斤,并且兩次降價的百分率相同.(1)求該種水果每次降價的百分率;(2)從第一次降價的第1天算起,第x天(x為整數(shù))的售價、銷量及儲存和損耗費用的相關信息如下表所示.已知該種水果的進價為4.1元/斤,設銷售該水果第x(天)的利潤為y(元),求y與x(1x15)之間的函數(shù)關系式,并求出第幾天時銷售利潤最大.時間x(天)1x99x15x15售價(元/斤)第1次降價后的價格第2次降價后的價格 銷量(斤)80-3x120-x儲存和損耗費用(元)40+3x3x2-64x+400(3)在(2)的條件下,若要使第15天的利潤比(2)中最大利潤最多少127.5元,則第15天在第14天的價格基礎上最多可降多少元?解析解析(1)設該種水果每次降價的百分率是x,由題意得10(1-x)2=8.1,解得x=10%或x=190%(舍去).答:該種水果每次降價的百分率是10%.(2)當1x9時,第1次降價后的價格為10(1-10%)=9元/斤,y=(9-4.1)(80-3x)-(40+3x)=-17.7x+352,-17.70,y 隨x的增大而減小,當x=1時,y有最大值,ymax=-17.71+352=334.3(元),當9x15時,第2次降價后的價格為8.1 元/斤,y=(8.1-4.1)(120-x)-(3x2-64x+400)=-3x2+60 x+80=-3(x-10)2+380,-30,當9x10 時,y隨x的增大而增大,當10 x15時,y隨x的增大而減小,當x=10時,y有最大值,ymax=380(元),綜上所述,y 與x(1x15)之間的函數(shù)關系式為y=第10天時銷售利潤最大.217.7352(19),36080(915),xxxxx(3)設第15天在第14天的價格基礎上可降a元,由題意得380-127.5(8.1-4.1-a)(120-15)-(3152-6415+400),即252.5105(4-a)-115,解得a0.5.答:第15天在第14天的價格基礎上最多可降0.5元.思路分析思路分析 (1)設百分率是x,根據(jù)某商品原價為10元,由于各種原因連續(xù)兩次降價,降價后的價格為8.1元,可列方程求解;(2)根據(jù)兩個取值先計算:當1x9時和9x15時的銷售單價,由“利潤=(售價-進價)銷量-費用”列函數(shù)關系式,并根據(jù)增減性求最大值,作對比得解;(3)設第15天在第14天的價格基礎上可降a元,根據(jù)第15天的利潤比(2)中最大利潤最多少127.5元,列不等式可得結論.3.(2017保定二模,25)進入夏季后某款空調供不應求,廠家加班生產并銷售,在第一個產銷期的12天中,為提高產量,從第5天開始增加了工時生產成本,每臺空調的成本P(元)與時間x(天)的關系如下表:時間x(天)每臺空調的成本P(元)0 x5P=4005x12P=40 x+200已知每天生產的空調數(shù)量y(臺)與時間x(天)近似滿足函數(shù)關系y=2x+16,每臺空調的出售價格為1 400元.請解答下列問題:(1)設廠家的日銷售利潤為W元,求W(元)與時間x(天)的函數(shù)關系式;(2)該廠哪一天獲得最大利潤?最大利潤是多少?(3)設廠家在第一個產銷期,獲得最大利潤時的成本為P1,日生產量為y1.現(xiàn)計劃從第13天開始,按每臺成本P1元,每天生產y1臺進行生產并完全售出,但由于機器損耗等原因,實際平均每臺空調的成本比統(tǒng)計增加了a%,使得廠家10天的銷售利潤與原計劃的8天的銷售利潤持平,求a的值.解析解析(1)當0 x5時,W=y(1 400-P)=(2x+16)(1 400-400)=2 000 x+16 000;當5x12時,W=y(1 400-P)=(2x+16)1 400-(40 x+200)=-80 x2+1 760 x+19 200.(2)當00,W隨x的增大而增大,當x=5時,W有最大值26 000;當5x12時,W=-80 x2+1 760 x+19 200=-80(x-11)2+28 880,當x=11時,W有最大值28 880.綜上,第11天的利潤最大,最大利潤是28 880元.(3)y1=211+16=38,P1=4011+200=640,由題意得1 400-640(1+a%)3810=28 8808,解得a=23.75,a的值為23.75.思路分析思路分析 (1)分0 x5、5x12,根據(jù)“總利潤=單件利潤銷售量”列出函數(shù)解析式;(2)結合x的范圍,分別根據(jù)一次函數(shù)和二次函數(shù)的增減性求解可得最大利潤;(3)先根據(jù)題意求得y1、P1,再由“廠家10天的銷售利潤與原計劃的8天的銷售利潤持平”列方程得解.