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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 創(chuàng)新思維點(diǎn)撥 空間向量及其運(yùn)算 北師大版選修2-1 【高考導(dǎo)航】 本節(jié)內(nèi)容是高中教材新增加的內(nèi)容，在近兩年的高考考查中多作為解題的方法進(jìn)行考查，主要是解題的方法上因引入向量得以擴(kuò)展. 【綜合應(yīng)用創(chuàng)新思維點(diǎn)撥】 一、學(xué)科內(nèi)綜合思維點(diǎn)撥 【例1】 已知兩個非零向量e1、e2不共線，如果=e1+e2，=2e1+8e2，=3e1-3e2.求證：A、B、C、D共面. 思維入門指導(dǎo)：要證A、B、C、D四點(diǎn)共面，只要能證明三向量、、共面，于是只要證明存在三個非零實(shí)數(shù)、μ、υ使+μ+υ=0即可. 證明:設(shè)(e1+e2)+μ(2e1+8e2)+υ(3e1-3e2)=0. 則(+2μ+3υ)e1+(+8μ-3υ)e2=0. ∵e1、e2不共線， ∴ 上述方程組有無數(shù)多組解,而=-5,μ=1,υ=1就是其中的一組,于是可知-5++=0. 故、、共面，所以A、B、C、D四點(diǎn)共面. 點(diǎn)撥：尋找到三個非零實(shí)數(shù)=-5,μ=1,υ=1使三向量符合共面向量基本定理的方法是待定系數(shù)法. 二、應(yīng)用思維點(diǎn)撥 【例2】 某人騎車以每小時α公里的速度向東行駛，感到風(fēng)從正北方向吹來，而當(dāng)速度為2α?xí)r，感到風(fēng)從東北方向吹來.試求實(shí)際風(fēng)速和風(fēng)向. 思維入門指導(dǎo)：速度是矢量即為向量.因而本題先轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)學(xué)模型，然后進(jìn)行求解，求風(fēng)速和風(fēng)向?qū)嵸|(zhì)是求一向量. 解:設(shè)a表示此人以每小時α公里的速度向東行駛的向量.在無風(fēng)時,此人感到風(fēng)速為-a,設(shè)實(shí)際風(fēng)速為v,那么此人感到的風(fēng)速向量為v-a.如圖9-5-2.設(shè)=-a,=-2a.由于+=,從而=v-a.這就是感受到的由正北方向吹來的風(fēng).其次，由于+=，從而v-2=.于是，當(dāng)此人的速度是原來的2倍時感受到由東北方向吹來的風(fēng)就是. 由題意,得∠PBO=45, PA⊥BO，BA=AO，從而△PBO為等腰直角三角形.故PO=PB=α.即|v|=α. 答：實(shí)際吹來的風(fēng)是風(fēng)速為α的西北風(fēng). 點(diǎn)撥：向量與物理中的矢量是同樣的概念，因而物理中的有關(guān)矢量的求解計算在數(shù)學(xué)上可化歸到平面向量或空間向量進(jìn)行計算求解.知識的交叉點(diǎn)正是高考考查的重點(diǎn)，也能體現(xiàn)以能力立意的高考方向. 三、創(chuàng)新思維點(diǎn)撥 【例3】 如圖9-5-3(1)，已知E、F、G、H分別是空間四邊形ABCD邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn). （1）用向量法證明E、F、G、H四點(diǎn)共面； （2）用向量法證明BD∥平面EFGH. 思維入門指導(dǎo):(1)要證E、F、G、H四點(diǎn)共面，根據(jù)共面向量定理的推論，只要能找到實(shí)數(shù)x,y,使=x+y即可;(2)要證BD∥平面EFGH,只需證向量與共線即可. 證明:(1)如圖9-5-3(2),連結(jié)BG,則 =+=+(+)=++=+. 由共面向量定理推論知，E、F、G、H四點(diǎn)共面. (2)∵=-=-=(-)=, ∴EH∥BD. 又EH面EFGH，BD面EFGH，∴BD∥平面EFGH. 點(diǎn)撥：利用向量證明平行、共面是創(chuàng)新之處，比較以前純幾何的證明，顯而易見用向量證明比較簡單明快.這也正是幾何問題研究代數(shù)化的特點(diǎn). 【例4】 如圖9-5-4，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E為D1C1的中點(diǎn)，試求A1C1與DE所成角. 思維入門指導(dǎo)：在正方體AC1中，要求A1C1與DE所成角,只需求與所成角即可.要求與所成角，則可利用向量的數(shù)量積，只要求出及||和||即可. 解:設(shè)正方體棱長為m,=a,=b,=c. 則|a|=|b|=|c|=m，ab=bc=ca=0. 又∵=+=+=a+b, =+=+=c+a, ∴=(a+b)(c+a)=ac+bc+a2+ab=a2=m2. 又∵||=m,||=m, ∴cos<,>===. ∴<,>=arccos.即A1C1與DE所成角為arccos. 點(diǎn)撥：A1C1與DE為一對異面直線.在以前的解法中求異面直線所成角要先找（作），后求.而應(yīng)用向量可以不作或不找直接求.簡化了解題過程，降低了解題的難度.解題過程中先把及用同一組基底表示出來,再去求有關(guān)的量是空間向量運(yùn)算常用的手段. 四、高考思維點(diǎn)撥 【例5】 （xx，全國，12分）如圖9-5-5，已知平行六面體ABCD一A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD. (1)求證：C1C⊥BD； (2)當(dāng)?shù)闹禐槎嗌贂r,能使A1C⊥平面C1BD?請給出證明. 思維入門指導(dǎo)：根據(jù)兩向量的數(shù)量積公式ab=|a||b|cos知，兩個向量垂直的充要條件是兩向量的數(shù)量積為0,即a⊥bab=0, 所以要證明兩直線垂直,只要證明兩直線對應(yīng)的向量數(shù)量積為零即可. (1)證明:設(shè)=a,=b,=c.由題可知|a|=|b|.設(shè)、、中兩兩所成夾角為,于是=-=a-b, =c(a-b)=ca-cb=|c||a|cos-|c||b|cos=0, ∴C1C⊥BD. (2)解:若使A1C⊥平面C1BD,只須證A1C⊥BD,A1C⊥DC1,由于: =(+)(-)=(a+b+c)(a-c)=|a|2+ab-bc-|c|2=|a|2+|b||a|cos-|b||c|cos-|c|2=0,得 當(dāng)|a|=|c|時A1C⊥DC1.同理可證當(dāng)|a|=|c|時,A1C⊥BD. ∴=1時,A1C⊥平面C1BD. 點(diǎn)撥：對于向量數(shù)量積的運(yùn)算一些結(jié)論仍是成立的. （a-b）（a+b）=a2-b2；(ab)2=a22ab+b2. 五、經(jīng)典類型題思維點(diǎn)撥 【例6】 證明：四面體中連接對棱中點(diǎn)的三條直線交于一點(diǎn)，且互相平分.（此點(diǎn)稱為四面體的重心） 思維入門指導(dǎo)：如圖9-5-6所示四面體ABCD中，E、F、G、H、P、Q分別為各棱中點(diǎn).要證明EF、GH、PQ相交于一點(diǎn)O，且O為它們的中點(diǎn).可以先證明兩條直線EF、GH相交于一點(diǎn)O，然后證明P、O、Q三點(diǎn)共線，即、共線.從而說明PQ直線也過O點(diǎn). 證明：∵E、G分別為AB、AC的中點(diǎn)， ∴EG∥BC.同理HF∥BC.∴EG∥HF. 從而四邊形EGFH為平行四邊形，故其對角線EF、GH相交于一點(diǎn)O，且O為它們的中點(diǎn)，連接OP、OQ. ∵=+,=+,而O為GH的中點(diǎn)， ∴+=0,GP∥CD，QH∥CD. ∴=,=. ∴+=+++=0+-=0. ∴=-. ∴PQ經(jīng)過O點(diǎn)，且O為PQ的中點(diǎn). 點(diǎn)撥:本例也可以用共線定理的推論來證明,事實(shí)上,設(shè)EF的中點(diǎn)為O.連接OP、OQ,則=-,而==-,=-2,則=-+2,∴=(+)，從而看出O、P、Q三點(diǎn)共線且O為PQ的中點(diǎn)，同理可得GH邊經(jīng)過O點(diǎn)且O為GH的中點(diǎn)，從而原命題得證. 六、探究性學(xué)習(xí)點(diǎn)撥 【例7】 如圖9-5-7所示，對于空間某一點(diǎn)O，空間四個點(diǎn)A、B、C、D（無三點(diǎn)共線）分別對應(yīng)著向量a=，b=,c=,d=.求證：A、B、C、D四點(diǎn)共面的充要條件是存在四個非零實(shí)數(shù)α、β、γ、δ，使αa+βb+γc+δd=0，且α+β+γ+δ=0. 思維入門指導(dǎo)：分清充分性和必要性，應(yīng)用共面向量定理. 證明：(必要性)假設(shè)A、B、C、D共面，因為A、B、C三點(diǎn)不共線，故，兩向量不共線，因而存在實(shí)數(shù)x、y，使=x+y,即d-a=x(b-a)+y(c-a),∴(x+y-1)a-xb-yc+d=0.令α=x+y-1, β=-x,γ=-y,δ=1.則αa+βb+γc+δd=0,且α+β+γ+δ=0. （充分性）如果條件成立，則δ=-(α+β+γ),代入得 αa+βb+γc+δd=αa+βb+γc-(α+β+γ)d=0. 即α(a-d)+ β(b-d)+γ(c-d)=0. 又∵a-d=-=,b-d=,c-d=, ∴α+β+γ=0. ∵α、β、γ為非零實(shí)數(shù),不妨設(shè)γ≠0. 則=--. ∴與、共面，即A、B、C、D共面. 點(diǎn)撥：在討論向量共線或共面時，必須注意零向量與任意向量平行，并且向量可以平移，因而不能完全按照它們所在直線的平行性、共面關(guān)系來確定向量關(guān)系.