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3.3 反比例函數(shù)
[過關(guān)演練] (30分鐘 75分)
1.點A(-1,1)是反比例函數(shù)y=m+1x的圖象上一點,則m的值為 (B)
A.-1 B.-2 C.0 D.1
【解析】將點A(-1,1)代入反比例函數(shù)的解析式,可得m+1=-1,解得m=-2.
2.(xx湖南衡陽)對于反比例函數(shù)y=-2x,下列說法不正確的是 (D)
A.圖象分布在第二、四象限
B.當x>0時,y隨x的增大而增大
C.圖象經(jīng)過點(1,-2)
D.若點A(x1,y1),B(x2,y2)都在圖象上,且x1
0時,y隨x的增大而增大,∴B選項正確;點(1,-2)在它的圖象上,∴C選項正確;點A(x1,y1),B(x2,y2)都在反比例函數(shù)y=-2x的圖象上,若x1<0y2,故D選項錯誤.
3.在同一平面直角坐標系中,一次函數(shù)y=kx-k與反比例函數(shù)y=kx(k≠0)的圖象大致是 (A)
【解析】當k>0時,一次函數(shù)經(jīng)過第一、三、四象限,反比例函數(shù)位于第一、三象限;當k<0時,一次函數(shù)經(jīng)過第一、二、四象限,反比例函數(shù)位于第二、四象限.觀察知A項正確.
4.(xx蕪湖南陵一模)已知正比例函數(shù)y=kx的圖象與反比例函數(shù)y=mx的圖象在平面直角坐標系內(nèi)交于點A,B,若點A的坐標是(-2,3),則點B的坐標是 (B)
A.(-2,-3) B.(2,-3)
C.(2,3) D.(3,-2)
【解析】由于正比例函數(shù)y=kx的圖象經(jīng)過原點O,所以點A、點B關(guān)于原點對稱,又點A的坐標是(-2,3),則點B的坐標是(2,-3).
5.(xx江蘇無錫)已知點P(a,m),Q(b,n)都在反比例函數(shù)y=-2x的圖象上,且a<00
C.mn
【解析】y=-2x的k=-2<0,圖象位于第二、四象限,∵a<0,∴P(a,m)在第二象限,∴m>0;∵b>0,∴Q(b,n)在第四象限,∴n<0.∴n<0n.
6.(xx浙江寧波)如圖,平行于x軸的直線與函數(shù)y=k1x(k1>0,x>0),y=k2x(k2>0,x>0)的圖象分別相交于A,B兩點,點A在點B的右側(cè),C為x軸上的一個動點,若△ABC的面積為4,則k1-k2的值為 (A)
A.8 B.-8 C.4 D.-4
【解析】∵AB∥x軸,∴A,B兩點縱坐標相同.設A(a,h),B(b,h),則ah=k1,bh=k2.∵S△ABC=12AByA=12(a-b)h=12(ah-bh)=12(k1-k2)=4,∴k1-k2=8.
7.寫出一個函數(shù)表達式,使它滿足:(1)是反比例函數(shù);(2)函數(shù)的圖象分布在第二、四象限.其結(jié)果是 y=-2x(答案不唯一) .
【解析】由于反比例函數(shù)的圖象分布在第二、四象限,所以只需滿足k<0即可.
8.(xx安慶四中模擬)當k滿足 k<-5 時,反比例函數(shù)y=k+5x(k≠0)和正比例函數(shù)y=-x有兩個不同的交點.
【解析】正比例函數(shù)y=-x的圖象經(jīng)過原點且位于第二、四象限內(nèi),根據(jù)題意k+5<0,解得k<-5.
9.點(a-1,y1),(a+1,y2)在反比例函數(shù)y=kx(k>0)的圖象上,若y10,∴在圖象的每一支上,y隨x的增大而減小.當點(a-1,y1),(a+1,y2)在圖象的同一支上時,∵y1a+1,無解;當點(a-1,y1),(a+1,y2)在圖象的兩支上時,∵y10,解得-10)的圖象上,作Rt△ABC,邊BC在x軸上,點D為斜邊AC的中點,連接DB并延長交y軸于點E,若△BCE的面積為4,則k= 8 .
【解析】∵BD為Rt△ABC的斜邊AC上的中線,∴BD=DC,∠DBC=∠ACB,又∠DBC=∠EBO,∴∠EBO=∠ACB,又∠BOE=∠CBA=90,∴△BOE∽△CBA,∴BOBC=OEAB,即BCOE=BOAB.又∵S△BEC=4,∴12BCEO=4,即BCOE=8=BOAB=|k|.∵反比例函數(shù)圖象經(jīng)過第一象限,∴k>0,∴k=8.
12.(xx貴州安順)如圖,已知直線y=k1x+b與x軸、y軸相交于P,Q兩點,與y=k2x的圖象相交于A(-2,m),B(1,n)兩點,連接OA,OB,給出下列結(jié)論:①k1k2<0;②m+12n=0;③S△AOP=S△BOQ;④不等式k1x+b>k2x的解集是x<-2或00,①錯誤;把A(-2,m),B(1,n)代入y=k2x中,得-2m=n,∴m+12n=0,②正確;把A(-2,m),B(1,n)代入y=k1x+b,得m=-2k1+b,n=k1+b,∴k1=n-m3,b=2n+m3.∵-2m=n,∴y=-mx-m,∵已知直線y=k1x+b與x軸、y軸相交于P,Q兩點,∴P(-1,0),Q(0,-m),∴OP=1,OQ=m,∴S△AOP=12m,S△BOQ=12m,∴S△AOP=S△BOQ,③正確;由圖象知不等式k1x+b>k2x的解集是x<-2或00)的圖象與一次函數(shù)y=-12x+4的圖象交于A和B(6,n)兩點.
(1)求k和n的值;
(2)若點C(x,y)也在反比例函數(shù)y=kx(x>0)的圖象上,求當2≤x≤6時,函數(shù)y的取值范圍.
解:(1)當x=6時,n=-126+4=1,
∴點B的坐標為(6,1).
∵反比例函數(shù)y=kx過點B(6,1),
∴k=61=6.
(2)∵k=6>0,∴當x>0時,y隨x的增大而減小,
∴當2≤x≤6時,1≤y≤3.
14.(11分)喝綠茶前需要燒水和泡茶兩個工序,即需要將電熱水壺中的水燒到100 ℃,然后停止燒水,等水溫降低到適合的溫度時再泡茶,燒水時水溫y(℃)與時間x(min)成一次函數(shù)關(guān)系;停止加熱過了1分鐘后,水壺中水的溫度y(℃)與時間x(min)近似于反比例函數(shù)關(guān)系(如圖).已知水壺中水的初始溫度是20 ℃,降溫過程中水溫不低于20 ℃.
(1)分別求出圖中所對應的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量x的取值范圍;
(2)水壺中的水從燒開(100 ℃)降到80 ℃就可以進行泡茶,問從水燒開到泡茶需要等待多長時間?
解:(1)停止加熱時,設y=kx,
由題意得50=k18,解得k=900,∴y=900x,
當y=20時,解得x=45,當y=100時,解得x=9,∴C點坐標為(9,100),B點坐標為(8,100),
當加熱燒水時,設y=ax+20,
由題意得100=8a+20,解得a=10,
∴當加熱燒水時,函數(shù)關(guān)系式為y=10x+20(0≤x≤8).
綜上,可得圖中所對應的函數(shù)關(guān)系式為
y=10x+20 (0≤x≤8),100 (812
【解析】由平行四邊形的性質(zhì)知四邊形ADBC的面積S=4S△AOC,又S△AOC=12|k|=12|6|=3,所以S=43=12.
4.若點A(-2,y1),B(-1,y2),C(1,y3)都在反比例函數(shù)y=k2-2k+3x(k為常數(shù))的圖象上,則y1,y2,y3的大小關(guān)系為 y20,∴t>0,反比例函數(shù)的圖象在第一、三象限.
∵點A(-2,y1),B(-1,y2),C(1,y3)都在反比例函數(shù)y=k2-2k+3x(k為常數(shù))的圖象上,由反比例函數(shù)的性質(zhì)可知y2y2時,x的取值范圍.
解:(1)∵OC=2,tan ∠AOC=32,∴AC=3,∴A點坐標為(2,3),
把A(2,3)代入y2=kx,可得k=6,
∴反比例函數(shù)的解析式為y=6x.
把B(m,-2)代入反比例函數(shù),可得m=-3,∴B點坐標為(-3,-2).
把A(2,3),B(-3,-2)代入一次函數(shù)y1=ax+b,
可得3=2a+b,-2=-3a+b,解得a=1,b=1,
∴一次函數(shù)的解析式為y=x+1.
(2)由圖可知,當y1>y2時,x的取值范圍為-32.
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