第十六章　二 次 根 式 　 1.二次根式的相關(guān)概念 (1)正確理解二次根式的概念要把握以下幾點(diǎn): ①二次根式是從形式上定義的,必須含有二次根號(hào); ②在二次根式中,被開方數(shù)可以是數(shù),也可以是單項(xiàng)式、多項(xiàng)式、分式等代數(shù)式,但必須注意:因?yàn)樨?fù)數(shù)沒有平方根,都必須滿足被開方數(shù)(式)是非負(fù)數(shù); ③根指數(shù)是2; ④形如ba(a≥0)的式子也是二次根式. 【例1】要使二次根式x-2有意義,x必須滿足 (　　) A.x≤2 B.x≥2 C.x<2 D.x>2 【標(biāo)準(zhǔn)解答】選B.根據(jù)題意,得x-2≥0,解得x≥2. (2)正確理解最簡二次根式: ①被開方數(shù)中不含分母,也就是被開方數(shù)必須是整數(shù)或整式; ②被開方數(shù)中每個(gè)因數(shù)或因式的指數(shù)都是1. 【例2】下列二次根式中的最簡二次根式是 (　　) A.30 B.12 C.8 D.12 【標(biāo)準(zhǔn)解答】選A.12=23,8=22,12=22,而30是最簡二次根式. 1.要使代數(shù)式2-3x有意義,則x的 (　　) A.最大值是23 B.最小值是23 C.最大值是32 D.最小值是32 2.下列屬于最簡二次根式的是 (　　) A.a2+b2 B.1b C.0.1 D.18 2.非負(fù)數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi),正數(shù)和零統(tǒng)稱非負(fù)數(shù).我們已學(xué)過的非負(fù)數(shù)有如下形式: (1)任何一個(gè)數(shù)a的絕對值是非負(fù)數(shù),即|a|≥0. (2)任何一個(gè)數(shù)a的平方是非負(fù)數(shù),即a2≥0. (3)任何非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根是非負(fù)數(shù),即a≥0(a≥0). 即若a為實(shí)數(shù),則a2,|a|,a(a≥0)均為非負(fù)數(shù). 非負(fù)數(shù)具有以下性質(zhì): (1)非負(fù)數(shù)的最小值為零. (2)有限個(gè)非負(fù)數(shù)的和仍是非負(fù)數(shù). (3)若幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和等于零,則每個(gè)非負(fù)數(shù)都等于零. 【例】若x,y為實(shí)數(shù),且|x+2|+y-3=0,則(x+y)2 016的值為　　　　. 【標(biāo)準(zhǔn)解答】根據(jù)絕對值和算術(shù)平方根的意義可知, |x+2|≥0,y-3≥0, 又因?yàn)閨x+2|+y-3=0, 因此|x+2|=0,y-3=0, ∴x+2=0,y-3=0,∴x=-2,y=3, ∴(x+y)2 016=1. 答案:1 1.已知實(shí)數(shù)x,y滿足x-1-1+|y+3|=0,則x+y的值為 (　　) A.-2 B.2 C.4 D.-4 2.若x-1+(y+2)2=0,則(x+y)2 014等于 (　　) A.-1 B.1 C.32 014 D.-32 014 3.化簡二次根式的技巧 (1)被開方數(shù)是帶分?jǐn)?shù) 先把帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù),再把分子、分母乘以適當(dāng)?shù)臄?shù),把分母變成平方數(shù),應(yīng)用商的算術(shù)平方根的性質(zhì)把分母中的數(shù)開出來. 【例1】化簡:212. 【標(biāo)準(zhǔn)解答】原式=52=5222=1022=102. (2)被開方數(shù)為單項(xiàng)式 先把單項(xiàng)式寫成數(shù)或字母積的平方與另一因式積的形式,再把能開出來的數(shù)或字母開出來. 【例2】化簡:12a3b5. 【標(biāo)準(zhǔn)解答】12a3b5=22a2(b2)23ab =2ab23ab. (3)被開方數(shù)為多項(xiàng)式 先把多項(xiàng)式分解因式成數(shù)或字母積的平方與另一因式積的形式,再把能開出來的數(shù)或字母開出來. 【例3】化簡:4x5y2+12x4y3. 【標(biāo)準(zhǔn)解答】原式=4x4y2(x+3y) =2x2yx+3y. 　　(4)被開方數(shù)是分式 把分式的分母和分子乘以適當(dāng)?shù)臄?shù)或字母,把分母變成平方數(shù)(式),應(yīng)用商的算術(shù)平方根的性質(zhì)把分母中的數(shù)或字母開出來. 【例4】化簡:5z12x2y. 【標(biāo)準(zhǔn)解答】原式=5z3y12x2y3y =15yz(6xy)2=16xy15yz. 1.化簡12的結(jié)果是 (　　) A.43 　 B.23 　C.32 　 D.26 2.化簡:82=　　　　. 3.若(x-3)2=3-x,則x的取值范圍是　　　　. 4.二次根式的有關(guān)運(yùn)算 (1)二次根式的乘除運(yùn)算有兩種策略:一是先把它們都化成最簡二次根式,再乘除;二是先乘除,再逆用法則化簡.要根據(jù)題目的特點(diǎn)靈活選擇,單純的乘除混合運(yùn)算,一般采用第二種方法. 【例1】計(jì)算82的結(jié)果是 (　　) A.10　　 B.4　　 C.6　　 D.2 【標(biāo)準(zhǔn)解答】選B.82=16=4. (2)二次根式的加減運(yùn)算,可以簡記為“一化,二找,三合并”,即①把二次根式化成最簡二次根式;②找出被開方數(shù)相同的根式;③合并被開方數(shù)相同的二次根式.(被開方數(shù)不同的不能合并) 【例2】計(jì)算24-323=　　　　 . 【標(biāo)準(zhǔn)解答】原式=26-363=26-6=6. 答案:6 (3)二次根式的混合運(yùn)算,首先要搞清楚運(yùn)算的順序,其次是認(rèn)真觀察式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),能利用運(yùn)算律或公式的,要優(yōu)先考慮使用運(yùn)算律或公式(或公式的逆用),簡化運(yùn)算.在有理數(shù)范圍內(nèi)成立的運(yùn)算律、運(yùn)算法則、公式及因式分解、約分、通分等方法對二次根式同樣適用. 【例3】計(jì)算:27-133=　　　　. 【標(biāo)準(zhǔn)解答】原式=273-133=9-1=8. 答案:8 1.計(jì)算:18-212等于　　　　. 2.計(jì)算5153的結(jié)果是　　　　. 3.計(jì)算:(2+3)2-24=　　　　. 　　5.數(shù)學(xué)思想在解答二次根式題目中的應(yīng)用 (1)轉(zhuǎn)化思想 轉(zhuǎn)化思想是將不易解決的問題變成我們?nèi)菀捉鉀Q的問題,從而達(dá)到將抽象轉(zhuǎn)化為具體,復(fù)雜轉(zhuǎn)化為簡單的一種數(shù)學(xué)思想.如例1中,將復(fù)雜的形式轉(zhuǎn)化成積的乘方的形式,再利用平方差公式知識(shí)求解. 【例1】計(jì)算(1+2)2 012(1-2)2 013. 【標(biāo)準(zhǔn)解答】原式= (1+2)2 012(1-2)2 012(1-2) =(1+2)(1-2)2 012(1-2) =(-1)2 012(1-2)=1-2. (2)分類討論思想 有的數(shù)學(xué)問題可能有幾種情況,在未具體指明哪種情況時(shí),需要對各種情況進(jìn)行討論,確?！安恢夭宦? 【例2】已知|a|=2,b2=4,且ab<0,則a+b的值為　　　　. 【標(biāo)準(zhǔn)解答】|a|=2,則a=2, b2=4, 則|b|=4,b=4. 又ab<0,則當(dāng)a=2時(shí),b=-4. 當(dāng)a=-2時(shí),b=4.于是a+b=-2或2. (3)整體思想 整體思想就是化零為整,化分散為集中的一種思想方法.有的題目直接代入計(jì)算比較繁瑣,且比較容易出錯(cuò).仔細(xì)觀察所求的代數(shù)式發(fā)現(xiàn)可以變形,整體代入計(jì)算可起到化繁為簡的目的. 【例3】當(dāng)x=2-3,y=2+3時(shí),求x2+xy+y2的值. 【標(biāo)準(zhǔn)解答】x2+xy+y2=(x+y)2-xy, 又x+y=22,xy=-1. 于是x2+xy+y2=(22)2-(-1)=9. (4)數(shù)形結(jié)合思想 我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚說過:“數(shù)缺形時(shí)少直觀,形少數(shù)時(shí)難入微;數(shù)形結(jié)合百般好,隔離分家萬事休.” 本例利用數(shù)形結(jié)合思想,通過觀察和分析可從數(shù)軸上獲取一些信息,然后結(jié)合二次根式的性質(zhì)解決問題. 【例4】實(shí)數(shù)a,b在數(shù)軸上的位置如圖所示, 化簡 a2-b2-(a-b)2. 【標(biāo)準(zhǔn)解答】通過觀察數(shù)軸可以看到a<0,b>0. 于是a-b<0,所以原式=|a|-|b|-|a-b|=-a-b+(a-b)=-2b. 1.實(shí)數(shù)a在數(shù)軸上的位置如圖所示,則(a-4)2+(a-11)2 化簡后為 (　　) A.7 B.-7 C.2a-15 D.無法確定 2.已知x=1-2,y=1+2,求x2+y2-xy-2x+2y的值. 答案解析： 1.二次根式的相關(guān)概念 【跟蹤訓(xùn)練】 1.【解析】選A.由二次根式有意義的條件得2-3x≥0,∴x≤23,故選A. 2.【解析】選A.因?yàn)锽.1b,被開方數(shù)中含有分母,C.0.1=110=1010,D.18=32. 2.非負(fù)數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用 【跟蹤訓(xùn)練】 1.【解析】選A.∵x-1+|y+3|=0, ∴x-1=0,y+3=0;∴x=1,y=-3, ∴原式=1+(-3)=-2. 2.【解析】選B.∵x-1+(y+2)2=0, ∴x-1=0,y+2=0.解得x=1,y=-2. ∴(x+y)2 014=(1-2)2 014=1. 3.化簡二次根式的技巧 【跟蹤訓(xùn)練】 1.【解析】選B.12=23. 2.【解析】82=4=2. 答案:2 3.【解析】∵(x-3)2≥0, ∴3-x≥0,即x≤3. 答案:x≤3 4.二次根式的有關(guān)運(yùn)算 【跟蹤訓(xùn)練】 1.【解析】原式=32-222=32-2=22. 答案:22 2.【解析】原式=55=5. 答案:5 3.【解析】(2+3)2-24=5+26-26=5. 答案:5 5.數(shù)學(xué)思想在解答二次根式題目中的應(yīng)用 【跟蹤訓(xùn)練】 1.【解析】選A.由數(shù)軸可知5<a<10, ∴(a-4)2+(a-11)2=a-4+11-a=7. 2.【解析】∵x=1-2,y=1+2, ∴x-y=(1-2)-(1+2)=-22, xy=(1-2)(1+2)=-1. x2+y2-xy-2x+2y =(x-y)2-2(x-y)+xy =(-22)2-2(-22)+(-1) =7+42.