中南大學(xué) 2007年研究生入學(xué)考試試題 考試科目：高等代數(shù) 一、 填空題（每小題5分，共25分） 1．設(shè)（ ） 2．設(shè)，則秩（ ） 3．設(shè)是實數(shù)域，，試寫出中的正交補（ ） 4．設(shè)是向量空間上的線性變換，向量，則在基下的坐標(biāo)為（ ） 5．取何值時，是正定二次型？ （ ） 二、 （本題滿分15分）設(shè)為正整數(shù)，證明整除的充要條件是整除 三、 （本題滿分15分）設(shè)都是階矩陣，且 證明： 秩秩 四、 （本題滿分15分）設(shè)表示數(shù)域上向量空間，是按如下方法定義的線性變換： 這里， 求線性變換的核和像以及 五、 （本題滿分20分）設(shè)是非零實方陣，是的伴隨矩陣，是的轉(zhuǎn)置矩陣， 1．（10分）證明； 2．（10分）若是的特征值，則 六、 （本題滿分20分）求下列矩陣的特征值和特征向量： 七、 （本題滿分20分）設(shè)是正定矩陣，是半正定矩陣，證明： 1．（10分）的所有根； 2．（10分） 八、 （本題滿分20分）設(shè)和都是數(shù)域上向量空間，和分別是和的線性變換組成的向量空間，是到的同構(gòu)映射。 1．（5分） 證明：，有； 2．（15分）證明：，這里表示同構(gòu)。