階段檢測卷一　數與代數 時間120分鐘　　滿分150分 一、選擇題(本大題共10小題,每小題4分,滿分40分) 每小題都給出代號為A,B,C,D的四個選項,其中只有一個是正確的,請把正確選項的代號寫在題后的括號內.每一小題,選對得4分,不選、選錯或選出的代號超過一個的(不論是否寫在括號內)一律得0分. 1.在-1,0,2,-4中,比-3小的數是 (D) A.-1 B.0 C.2 D.-4 【解析】根據兩個負數大小比較的法則,|-4|>|-3|,所以-4<-3,D項正確. 2.下列運算正確的是 (D) A.x4+x2=x6 B.(-2a)3a=6a4 C.(-x)6x2=x3 D.a2b(-2a2b)=-2a4b2 【解析】x4與x2不能合并,故A錯誤;(-2a)3a=-8a4,故B錯誤;(-x)6x2=x6x2=x4,故C錯誤;a2b(-2a2b)=-2a4b2,故D正確. 3.綠水青山就是金山銀山.近年來,合肥市加大對巢湖的治理力度.據統(tǒng)計,目前巢湖綜合治理工程共投入170億元左右.將170億用科學記數法表示正確的是 (C) A.17109 B.1.7109 C.1.71010 D.1.71011 【解析】170億=17000000000=1.71010. 4.方程12x=2x-3的解是 (B) A.-3 B.-1 C.1 D.3 【解析】方程兩邊同乘2x(x-3),得x-3=4x,解得x=-1.檢驗:當x=-1時,2x(x-3)≠0,∴x=-1是原分式方程的解. 5.某商品先按批發(fā)價a元提高20%零售,后又按零售價降低10%出售,則最后的單價是 (C) A.a(1-20%)(1-10%)元 B.a(1-20%)(1+10%)元 C.a(1+20%)(1-10%)元 D.a(1+20%)(1+10%)元 【解析】據題意可得算式a(1+20%)(1-10%). 6.不等式組x≥-1,x<2的解集在數軸上表示正確的是 (A) 【解析】第一個不等式在數軸上的表示是對于-1的點實心向右,第二個不等式在數軸上的表示是對于2的點空心向左,故A項正確. 7.現定義運算“★”,對于任意實數a,b,都有a★b=a2-3a+b,如:3★5=32-33+5,若x★2=6,則實數x的值是 (C) A.-1 B.4 C.-1或4 D.1或-4 【解析】由題可知x★2=x2-3x+2=6,∴x2-3x-4=0,(x-4)(x+1)=0,∴x1=4,x2=-1. 8.設n為正整數,且n<90<n+1,則n的值為 (C) A.7 B.8 C.9 D.10 【解析】∵81<90<100,即9<90<10,∴n=9. 9.若a2-3b-5=0,則6b-2a2-6的值為 (D) A.4 B.-4 C.16 D.-16 【解析】∵a2-3b-5=0,∴a2-3b=5,∴6b-2a2-6=-2(a2-3b)-6=-16. 10.體育課上,小明和小亮在進行400米跑測試,他倆同時起跑,所跑的路程y(米)與所用時間x(秒)之間的函數圖象分別是線段OM和折線OABC.觀察圖象,下列結論正確的是 (D) A.小明的速度隨時間的增大而增大 B.小亮的平均速度大于小明的平均速度 C.在起跑后70秒時兩人相遇 D.在起跑后20秒時,小亮領先 【解析】觀察圖象可知小明是勻速跑步,故A錯誤;兩人的路程相同,小亮用時較長,則小亮的平均速度小于小明的平均速度,故B錯誤;由圖象知,在起跑后70秒時小明領先,故C錯誤;D正確. 二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,滿分20分) 11.若代數式x-1x有意義,則x的取值范圍是　x≥1　. 【解析】由二次根式被開方數非負可得x-1≥0,解得x≥1;再由分式分母不為零可得x≠0,綜合得到x的取值范圍為x≥1. 12.把3m3-6m2n+3mn2分解因式的結果是　3m(m-n)2　. 【解析】原式=3m(m2-2mn+n2)=3m(m-n)2. 13.若12xm-1y2與3xyn+1是同類項,點P(m,n)在雙曲線y=a-1x上,則a的值為　3　. 【解析】因為12xm-1y2與3xyn+1是同類項,所以m-1=1,n+1=2,解得m=2,n=1,把點P(2,1)代入y=a-1x,得a=3. 14.已知二次函數y=ax2+bx+c的圖象如圖所示,A(-1,y1),B(-2,y2),C(3,y3)是函數圖象上的三個點,則下列結論:①a-b+c<0;②b+2a=0;③abc>0;④y2<y1=y3.其中正確的有?、佗冖堋? 【解析】由圖知,當x=-1時,y<0,把x=-1代入y=ax2+bx+c,得y=a-b+c,∴a-b+c<0,故①正確;∵拋物線的對稱軸是x=-b2a,由圖知對稱軸是x=1,∴-b2a=1,∴2a+b=0,故②正確;由圖知,拋物線過點(0,0),故c=0,∴abc=0,故③錯誤;∵點A,B都在對稱軸的左側,∴y隨x的增大而增大.∵-1>-2,∴y1>y2,又拋物線是軸對稱圖形,點A,C關于對稱軸對稱,∴y1=y3,故④正確. 三、(本大題共2小題,每小題8分,滿分16分) 15.計算:(-2)-2-18-212-3cos45. 解:原式=14-32-222-322 4分 =14-32-2+32 6分 =14-2. 8分 16.清代詩人徐子云曾寫過一首詩:巍巍古寺在山林,不知寺內幾多僧.三百六十四只碗,看看用盡不差爭.三人共食一碗飯,四人共吃一碗羹.請問先生明算者,算來寺內幾多僧. 意思是:山林中有一座古寺,不知道寺內有多少僧人.已知一共有364只碗,剛好能夠用完,每三個僧人一起吃一碗飯,每四個僧人一起吃一碗羹.請問寺內一共有多少僧人? 請解答上述問題. 解:設寺內一共有x位僧人. 依題意得x3+x4=364, 5分 解得x=624. 7分 答:寺內一共有624位僧人. 8分 四、(本大題共2小題,每小題8分,滿分16分) 17.用邊長相等的正三角形排成下列一組有規(guī)律的圖案,其中第(1)個圖案有3條線段,第(2)個圖案有5條線段,第(3)個圖案有8條線段,第(4)個圖案有10條線段,…. (1)求第(5)、第(6)個圖案的線段數; (2)設第(xx)個圖案的線段數為n,請你寫出第(xx),(xx)個圖案的線段數(用含n的式子表示). 解:(1)第(5)、第(6)個圖案的線段數分別為13,15. 3分 (2)兩個相鄰的圖案中,較大的第奇數個圖案比第偶數個圖案的線段數多3,較大的第偶數個圖案比第奇數個圖案的線段數多2,∴第(xx),(xx)個圖案的線段數分別為n+3,n+5. 8分 18.先化簡,再求值:1x+1-1x-14+2xx2-1,其中x=-2+3. 解:原式=x-1x2-1-x+1x2-1x2-14+2x 2分 =-2x2-1x2-14+2x 4分 =-24+2x =-12+x, 6分 當x=-2+3時,原式=-12+-2+3=-13=-33. 8分 五、(本大題共2小題,每小題10分,滿分20分) 19.觀察下列等式: ①112=1-12,②123=12-13,③134=13-14,… 將前三個等式的兩邊分別相加,得112+123+134=1-12+12-13+13-14=1-14=34. (1)請寫出第④個式子　　　　; (2)猜想并寫出1n(n+1)=　　　　; (3)探究并計算124+146+168+…+120162018. 解:(1)145=14-15. 3分 (2)1n-1n+1. 6分 (3)原式=14112+123+134+…+110081009 8分 =141-12+12-13+13-14+…+11008-11009 =1410081009 =2521009. 10分 20.九年級數學興趣小組經過市場調查,得到某種運動服每月的銷量與售價的相關信息如下表: 售價(元/件) 100 110 120 130 … 月銷量(件) 200 180 160 140 … 已知該運動服的進價為每件60元,設售價為x元/件. (1)請用含x的式子表示: ①銷售該運動服每件的利潤是　　　　元; ②月銷量是　　　　件.(直接填寫結果) (2)設銷售該運動服的月利潤為y元,那么售價為多少時,當月的利潤最大,最大利潤是多少? 解:(1)①x-60. 2分 ②-2x+400. 5分 (2)依題意可得y=(x-60)(-2x+400) =-2x2+520x-24000 =-2(x-130)2+9800, 8分 當x=130時,y有最大值9800, ∴售價為130元/件時,當月的利潤最大,最大利潤為9800元. 10分 六、(本題滿分12分) 21.如圖,反比例函數y=kx的圖象經過點A(-1,4),直線y=-x+b(b≠0)與雙曲線y=kx在第二、四象限分別相交于P,Q兩點,與x軸、y軸分別相交于C,D兩點. (1)求k的值. (2)當b=-2時,求△OCD的面積. (3)連接OQ,是否存在實數b,使得S△ODQ=S△OCD?若存在,請求出b的值;若不存在,請說明理由. 解:(1)∵反比例函數y=kx的圖象經過點A(-1,4), ∴k=-14=-4. 2分 (2)當b=-2時,直線的解析式為y=-x-2, ∵當y=0時,-x-2=0,解得x=-2, ∴C(-2,0). 4分 ∵當x=0時,y=-x-2=-2,∴D(0,-2), ∴S△OCD=1222=2. 6分 (3)存在. 7分 當y=0時,-x+b=0,解得x=b,則C(b,0), ∵S△ODQ=S△OCD, ∴點Q和點C到OD的距離相等,又∵Q點在第四象限, ∴點Q的橫坐標為-b,當x=-b時,y=-x+b=2b,∴Q(-b,2b), 9分 ∵點Q在反比例函數y=-4x的圖象上, ∴-b2b=-4,解得b=-2或b=2(舍去), ∴b的值為-2. 12分 七、(本題滿分12分) 22.某書店為迎接“讀書節(jié)”制定了活動計劃書,以下是活動計劃書的部分信息. “讀書節(jié)”活動計劃書 書本類別 A類 B類 進價(單位:元) 18 12 備注 1.用不超過16800元購進A,B兩類圖書共1000本; 2.A類圖書不少于600本; …… (1)陳經理查看計劃書發(fā)現:A類圖書的標價是B類圖書標價的1.5倍,若顧客用540元購買圖書,能單獨購買A類圖書的數量恰好比單獨購買B類圖書的數量少10本.請求出A,B兩類圖書的標價; (2)經市場調查后,陳經理發(fā)現他們高估了“讀書節(jié)”對圖書銷售的影響,便調整了銷售方案:A類圖書每本按標價降價a元(0<a<5)銷售,B類圖書價格不變.那么書店應如何進貨才能獲得最大利潤? 解:(1)設B類圖書的標價為x元,則A類圖書的標價為1.5x元, 由題意得5401.5x=540x-10, 3分 解得x=18. 5分 經檢驗,x=18是原方程的根,此時1.5x=1.518=27. 答:A類圖書的標價為27元,B類圖書的標價為18元. 6分 (2)設購進A類圖書t本,總利潤為w元. 則w=(27-a-18)t+(18-12)(1000-t)=(3-a)t+6000. 7分 根據題意,得18t+12(1000-t)≤16800,t≥600,解得600≤t≤800. 9分 ∵0<a<5, ∴①當3-a>0,即0<a<3時,w隨t的增大而增大, ∴當t=800,即書店購進A類圖書800本、B類圖書200本時,書店能獲得最大利潤; ②當3-a=0,即a=3時,w與t的取值無關,書店購進A類圖書在600本~800本時,書店總能獲得最大利潤; ③當3-a<0,即3<a<5時,w隨t的增大而減小, ∴當t=600,即書店購進A類圖書600本、B類圖書400本時,書店能獲得最大利潤. 12分 八、(本題滿分14分) 23.如圖,拋物線y=ax2+bx-4a經過A(-1,0),C(0,4)兩點,與x軸交于另一點B. (1)求拋物線的解析式; (2)已知點D(m,m+1)在第一象限的拋物線上,求點D關于直線BC對稱的點的坐標; (3)在(2)的條件下,連接BD,點P為拋物線上一點,且∠DBP=45,求點P的坐標. 解:(1)∵拋物線y=ax2+bx-4a經過A(-1,0),C(0,4)兩點, ∴a-b-4a=0,-4a=4, 2分 解得a=-1,b=3, ∴拋物線的解析式為y=-x2+3x+4. 3分 (2)∵點D(m,m+1)在拋物線上, ∴m+1=-m2+3m+4,即m2-2m-3=0, ∴m=-1或m=3. 5分 ∵點D在第一象限, ∴點D的坐標為(3,4). 6分 當y=0時,-x2+3x+4=0,∴x=-1或4, ∴點B的坐標為(4,0), ∴OC=OB,∴∠CBA=45, 設點D關于直線BC的對稱點為點E,如圖1所示. ∵C(0,4),∴CD∥AB,且CD=3, ∴∠ECB=∠DCB=∠CBA=45. ∴E點在y軸上,且CE=CD=3. 8分 ∴OE=1,∴E(0,1), 即點D關于直線BC對稱的點的坐標為(0,1). 9分 (3)如圖2所示,作PF⊥AB于點F,DG⊥BC于點G, 由(2)知OB=OC=4,∠OBC=45. ∵∠DBP=45,∴∠CBD=∠PBF. ∵C(0,4),D(3,4),∴CD∥OB且CD=3. ∴∠DCG=∠CBO=45,∴DG=CG=322. ∵OB=OC=4,∴BC=42,∴BG=BC-CG=522, ∴tan ∠PBF=tan ∠CBD=DGBG=35. 12分 設PF=3t,則BF=5t,OF=5t-4. ∴P(-5t+4,3t). ∵P點在拋物線上,∴3t=-(-5t+4)2+3(-5t+4)+4, 解得t=0(舍去)或t=2225, ∴點P的坐標為-25,6625. 14分