12、題滿分18分,每小題6分)
⑴ 在△ABC中,sinA=,cosB=,那么cosC的值等于 .
解:cosA=±,sinB=,但若cosA=-,則A>135°,cosB=60°,矛盾.故cosA=.
∴ cosC=cos(π-A-B)=-cosAcosB+sinAsinB=-·+·=.
⑵ 三邊均為整數(shù),且最大邊長(zhǎng)為11的三角形,共有 個(gè).
解:設(shè)另兩邊為x,y,且x≤y.則得x≤y≤11,x+y>11,在直角坐標(biāo)系內(nèi)作直線y=x,y=11,x=11,x+y=11,則所求三角形數(shù)等于由此四條直線圍成三角形內(nèi)的整點(diǎn)數(shù).(含y=11
13、,y=x上的整點(diǎn),不含x+y=11上的整點(diǎn))共有122÷4=36個(gè).即填36.
⑶ 一個(gè)六面體的各個(gè)面和一個(gè)正八面體的各個(gè)面都是邊長(zhǎng)為a的正三角形,這樣兩個(gè)多面體的內(nèi)切球半徑之比是一個(gè)既約分?jǐn)?shù),那么積m?n是 .
解:此六面體可看成是由兩個(gè)正四面體粘成.每個(gè)正四面體的高h(yuǎn)1=a,于是,利用體積可得Sh1=3Sr1,r1=a.
同樣,正八面體可看成兩個(gè)四棱錐粘成,每個(gè)四棱錐的高h(yuǎn)2=a,又可得 a2h2=4×a2r2,r2=a.
∴ =,∴ m?n=6.
第二試
1.(本題滿分8分)求證:arc sinx+arc cosx=,其中x∈[-1,1]
證
14、明:由于x∈[-1,1],故arcsinx與arccosx有意義,
sin(-arccosx)=cos(arccosx)=x,由于arccosx∈[0,π],∴ -arccosx∈[-,].
故根據(jù)反正弦定義,有arcsinx=-arccosx.故證.
2.(本題滿分16分)函數(shù)f(x)在[0,1]上有定義,f(0)=f(1).如果對(duì)于任意不同的x1,x2∈[0,1],都有|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|.求證:|f(x1)-f(x2)|<.
證明:不妨取0≤x1,
15、則x2-x1>,于是1-(x2-x1)<,即1-x2+x1-0<.
而|f(x1)-f(x2)|= |(f(x1)- f(0))-(f(x2)-f(1))|≤|f(x1)-f(0)|+ |f(1)-f(x2)|<| x1-0|+|1-x2|
=1-x2+x1-0<.故證.
3.(本題滿分16分) 在四邊形ABCD中,⊿ABD、⊿BCD、⊿ABC的面積比是3∶4∶1,點(diǎn)M、N分別在AC、CD上滿足AM∶AC=CN∶CD,并且B、M、N三點(diǎn)共線.求證:M與N分別是AC與CD的中點(diǎn).
證明 設(shè)AC、BD交于點(diǎn)E.由AM∶AC=CN∶CD,故AM∶MC=CN∶ND,令CN∶ND=r(r>
16、0), 則AM∶MC=r.
由SABD=3SABC,SBCD=4SABC,即SABD∶SBCD =3∶4.
從而AE∶EC∶AC=3∶4∶7.
SACD∶SABC=6∶1,故DE∶EB=6∶1,∴DB∶BE=7∶1.
AM∶AC=r∶(r+1),即AM=AC,AE=AC,
∴EM=(-)AC=AC.MC=AC,
∴EM∶MC=.由Menelaus定理,知··=1,代入得
r·7·=1,即4r2-3r-1=0,這個(gè)方程有惟一的正根r=1.故CN∶ND=1,就是N為CN中點(diǎn),M為AC中點(diǎn).
4. (本題滿分16分)在在六條棱長(zhǎng)分別為2,3,3,4,5,5的所有四面體中,
17、最大體積是多少?證明你的結(jié)論.
解:邊長(zhǎng)為2的三角形,其余兩邊可能是:
⑴ 3,3;⑵ 3,4;⑶ 4,5;⑷ 5,5.
按這幾條棱的組合情況,以2為公共棱的兩個(gè)側(cè)面可能是:
① ⑴,⑷;② ⑴,⑶;③ ⑵,⑷.
先考慮較特殊的情況①:由于32+42=52,即圖中AD⊥平面BCD,
∴ V1=··2·4=;
情況②:由于此情況的底面與情況②相同,但AC不與底垂直,故高<4,于是得 V2
18、0≤x≤π上的最大值M與參數(shù)A、B有關(guān),問A、B取什么值時(shí),M為最?。孔C明你的結(jié)論.
解:F(x)=| sin(2x+ )+Ax+B|.取g(x)= sin(2x+ ),則g()=g()=.g()=-.
取h(x)=Ax+B,若A=0,B≠0,則當(dāng)B>0時(shí),F(xiàn)()>,當(dāng)B<0時(shí),F(xiàn)()<.從而M> .
若A≠0,則當(dāng)h()<0時(shí),F(xiàn)()>,當(dāng)h()≥0時(shí),由于h(x)是一次函數(shù),當(dāng)A>0時(shí)h(x)遞增,h()>h()>0,此時(shí)F()>;當(dāng)A<0時(shí)h(x)遞減,h()>h()>0,此時(shí)F()>.故此時(shí)M> .
若A=B=0,顯然有M= .
從而M的最小值為,這個(gè)最小值在A=B=0時(shí)取得.