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全國高中數(shù)學聯(lián)賽試題及解析 蘇教版17

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1、1997年全國高中數(shù)學聯(lián)合競賽試卷 第一試 (10月5日上午8:00-10:00) 一、選擇題(每小題6分,共36分) 1.已知數(shù)列{xn}滿足xn+1=xn-xn-1(n≥2),x1=a, x2=b, 記Sn=x1+x2+L+xn,則下列結(jié)論正確的是 (A)x100=-a,S100=2b-a (B)x100=-b,S100=2b-a (C)x100=-b,S100=b-a (D)x100=-a,S100=b-a 2.如圖,正四面體ABCD中,E在棱AB上,F(xiàn)在棱CD上,使得==λ (0<λ<+∞),記f(λ)=αλ+βλ其中αλ表示EF與AC所

2、成的角,βλ表示EF與BD所成的角,則 (A) f(λ)在(0,+∞)單調(diào)增加 (B) f(λ)在(0,+∞)單調(diào)減少 (C) f(λ) 在(0,1)單調(diào)增加,而在(1,+∞單調(diào)減少 (D) f(λ)在(0,+∞)為常數(shù) 3.設(shè)等差數(shù)列的首項及公差均為非負整數(shù),項數(shù)不少于3,且各項的和為972,則這樣的數(shù)列共有 (A)2個 (B)3個 (C)4個 (D)5個 4.在平面直角坐標系中,若方程m(x2+y2+2y+1)=(x-2y+3)2表示的曲線為橢圓,則m的取值范圍為 (A)(0,1)

3、 (B)(1,+∞) (C)(0,5) (D)(5,+∞) 5.設(shè)f(x)=x2-πx,a = arcsin,β=arctan,γ=arcos(-),d=arccot(-),則 (A)f(α)>f(β)>f(d)>f(γ) (B) f(α)> f(d)>f(β)>f(γ) (C) f(d)>f(α)>f(β)>f(γ) (D) f(d)>f(α)>f(γ)>f(β) 6.如果空間三條直線a,b,c兩兩成異面直線,那么與a,b,c都相交的直線有 (A) 0條 (B) 1條 (C)多于1 的有限條

4、 (D) 無窮多條 二.填空題(每小題9分,共54分) 1.設(shè)x,y為實數(shù),且滿足則x+y = . 2.過雙曲線x2-=1的右焦點作直線l交雙曲線于A、B兩點,若實數(shù)λ使得|AB| =λ的直線l恰有3條,則λ= . 3.已知復數(shù)z滿足=1,則z的幅角主值范圍是 . 4.已知三棱錐S-ABC的底面是以AB為斜邊的等腰直角三角形,SA=SB=SC=2,AB=2,設(shè)S、A、B、C四點均在以O(shè)為球心的某個球面上,則點O到平面ABC的距離為 . 5.設(shè)ABCDEF為正六邊形,一只青蛙開始在頂點A處,它每次可隨意地跳到相鄰兩頂點之

5、一.若在5次之內(nèi)跳到D點,則停止跳動;若5次之內(nèi)不能到達D點,則跳完5次也停止跳動,那么這只青蛙從開始到停止,可能出現(xiàn)的不同跳法共 種. 6.設(shè)a =logz+log[x(yz)-1+1],b =logx-1+log(xyz+1),c =logy+log[(xyz)-1+1],記a,b,c中最大數(shù)為M,則M的最小值為 . 三、(本題滿分20分) 設(shè)x≥y≥z≥,且x+y+z =,求乘積cosx siny cosz的最大值和最小值. 四、(本題滿分20分) 設(shè)雙曲線xy=1的兩支為C1,C2(如圖),正三角形PQR的三頂點位于此雙曲線

6、上. (1)求證:P、Q、R不能都在雙曲線的同一支上; (2)設(shè)P(-1,-1)在C2上, Q、R在C1上,求頂點Q、R的坐標. 五、(本題滿分20分) 設(shè)非零復數(shù)a1,a2,a3,a4,a5滿足 其中S為實數(shù)且|S|≤2. 求證:復數(shù)a1,a2,a3,a4,a5在復平面上所對應的點位于同一圓周上. 第二試 (10月5日上午10:30-12:30) 一、(本題50分)如圖,已知兩個半徑不相等的⊙O1與⊙O2相交于M、N兩點,且⊙O1、⊙O2分別與⊙O內(nèi)切于S、T兩點。求證:OM⊥MN

7、的充分必要條件是S、N、T三點共線。 二、(本題50分)試問:當且僅當實數(shù)x0,x1,…,xn(n≥2)滿足什么條件時,存在實數(shù)y0,y1,…,yn使得z=z+z+…+z成立,其中zk=xk+iyk,i為虛數(shù)單位,k=0,1,…,n。證明你的結(jié)論。 三、(本題50分)在100×25的長方形表格中每一格填入一個非負實數(shù),第i行第j列中填入的數(shù)為xi , j(i=1,2,…,100;j=1,2,…,25)(如表1)。然后將表1每列中的數(shù)按由小到大的次序從上到下重新排列為x¢1 , j≥x

8、¢2 , j≥…≥x¢100 , j(j=1,2,…,25)。(如表2) 求最小的自然數(shù)k,使得只要表1中填入的數(shù)滿足xi,j≤1(i=1,2,…,100), 則當i≥k時,在表2中就能保證x¢i,j≤1成立。 表1 表2 x1,1 x1,2 … x1,25 x¢1,1 x¢1,2 … x¢1,25 x2,1 x2,2 … x2,25 x¢2,1 x¢2,2 … x¢2,25 … … … … … … … … x100,1 x100,2 … x100,25 x¢100,1 x¢100,2 … x¢100,25 1

9、997年全國高中數(shù)學聯(lián)賽解答 第一試 一、選擇題(每小題6分,共36分) 1.已知數(shù)列{xn}滿足xn+1=xn-xn-1(n≥2),x1=a, x2=b, 記Sn=x1+x2+L+xn,則下列結(jié)論正確的是 (A)x100=-a,S100=2b-a (B)x100=-b,S100=2b-a (C)x100=-b,S100=b-a (D)x100=-a,S100=b-a 解:x1=a,x2=b,x3=b-a,x4=-a,x5=-b,x6=a-b,x7=a,x8=b,….易知此數(shù)列循環(huán),xn+6=xn,于是x100=x4=-a, 又x1+x2+x3+

10、x4+x5+x6=0,故S100=2b-a.選A. 2.如圖,正四面體ABCD中,E在棱AB上,F(xiàn)在棱CD上,使得==λ (0<λ<+∞),記f(λ)=αλ+βλ其中αλ表示EF與AC所成的角,βλ表示EF與BD所成的角,則 (A) f(λ)在(0,+∞)單調(diào)增加 (B) f(λ)在(0,+∞)單調(diào)減少 (C) f(λ) 在(0,1)單調(diào)增加,而在(1,+∞單調(diào)減少 (D) f(λ)在(0,+∞)為常數(shù) 解:作EG∥AC交BC于G,連GF,則==,故GF∥BD.故∠GEF=αλ,∠GFE=βλ,但AC⊥BD,故∠EGF=90

11、°.故f(λ)為常數(shù).選D. 3.設(shè)等差數(shù)列的首項及公差均為非負整數(shù),項數(shù)不少于3,且各項的和為972,則這樣的數(shù)列共有 (A)2個 (B)3個 (C)4個 (D)5個 解:設(shè)首項為a,公差為d,項數(shù)為n,則na+n(n-1)d=972,n[2a+(n-1)d]=2×972,即n為2×972的大于3的約數(shù). ∴ ⑴ n=972,2a+(972-1)d=2,d=0,a=1;d≥1時a<0.有一解; ⑵n=97,2a+96d=194,d=0,a=97;d=1,a=a=49;d=2,a=1.有三解; ⑶n=2×97,n=2×972,無解.n=1,2時n<3..選

12、C 4.在平面直角坐標系中,若方程m(x2+y2+2y+1)=(x-2y+3)2表示的曲線為橢圓,則m的取值范圍為 (A)(0,1) (B)(1,+∞) (C)(0,5) (D)(5,+∞) 解:看成是軌跡上點到(0,-1)的距離與到直線x-2y+3=0的距離的比: =<1Tm>5,選D. 5.設(shè)f(x)=x2-πx,a = arcsin,β=arctan,γ=arcos(-),d=arccot(-),則 (A)f(α)>f(β)>f(d)>f(γ) (B) f(α)> f(d)>f(β)>f(γ) (C) f(i)>

13、f(α)>f(β)>f(γ) (D) f(d)>f(α)>f(γ)>f(β) 解:f(x)的對稱軸為x=, 易得, 0<α<<<β<<<γ<<<δ<.選B. 6.如果空間三條直線a,b,c兩兩成異面直線,那么與a,b,c都相交的直線有 (A) 0條 (B) 1條 (C)多于1 的有限條 (D) 無窮多條 解:在a、b、c上取三條線段AB、CC¢、A¢D¢,作一個平行六面體ABCD—A¢B¢C¢D¢,在c上取線段A¢D¢上一點P,過a、P作 一個平面,與DD¢交于Q、與CC¢交于R,則QR∥a,于是PR不與a平行,但PR與a共面.故PR與

14、a相交.由于可以取無窮多個點P.故選D. 二.填空題(每小題9分,共54分) 1.設(shè)x,y為實數(shù),且滿足則x+y = . 解:原方程組即 取 f(t)=t3+1997t+1,f ¢(t)=3t2+1987>0.故f(t)單調(diào)增,現(xiàn)x-1=1-y,x+y=2. 2.過雙曲線x2-=1的右焦點作直線l交雙曲線于A、B兩點,若實數(shù)λ使得|AB| =λ的直線l恰有3條,則λ= . 解:右支內(nèi)最短的焦點弦==4.又2a=2,故與左、右兩支相交的焦點弦長≥2a=2,這樣的弦由對稱性有兩條.故λ=4時 設(shè)AB的傾斜角為θ,則右支內(nèi)的焦點弦λ==≥4,當θ=90°時,λ=4

15、. 與左支相交時,θ=±arccos時,λ===4.故λ=4. 3.已知復數(shù)z滿足=1,則z的幅角主值范圍是 . 解:=1?4r4+(4cos2θ-1)r2+1=0,這個等式成立等價于關(guān)于x的二次方程4x2+(4cos2θ-1)x+1=0有正根.△=(4cos2θ-1)2-16≥0,由x1x2=>0,故必須x1+x2=->0. ∴cos2θ≤-.∴ (2k+1)π-arccos≤2θ≤(2k+1)π+arccos. ∴ kπ+-arccos≤θ≤kπ++arccos,(k=0,1) 4.已知三棱錐S-ABC的底面是以AB為斜邊的等腰直角三角形,SA=SB=

16、SC=2,AB=2,設(shè)S、A、B、C四點均在以O(shè)為球心的某個球面上,則點O到平面ABC的距離為 . 解:SA=SB=SC=2,TS在面ABC上的射影為AB中點H,∴ SH⊥平面ABC. ∴ SH上任意一點到A、B、C的距離相等. ∵ SH=,CH=1,在面SHC內(nèi)作SC的垂直平分線MO與SH交于O,則O為SABC的外接球球心.SM=1,∴SO=,∴ OH=,即為O與平面ABC的距離. 5.設(shè)ABCDEF為正六邊形,一只青蛙開始在頂點A處,它每次可隨意地跳到相鄰兩頂點之一.若在5次之內(nèi)跳到D點,則停止跳動;若5次之內(nèi)不能到達D點,則跳完5次也停止跳動,那么這只青蛙從開始到

17、停止,可能出現(xiàn)的不同跳法共 種. 解:青蛙跳5次,只可能跳到B、D、F三點(染色可證). 青蛙順時針跳1次算+1,逆時針跳1次算-1,寫5個“□1”,在□中填“+”號或“-”號: □1□1□1□1□1 規(guī)則可解釋為:前三個□中如果同號,則停止填寫;若不同號,則后2個□中繼續(xù)填寫符號. 前三□同號的方法有2種;前三個□不同號的方法有23-2=6種,后兩個□中填號的方法有22種. ∴ 共有2+6×4=26種方法. 6.設(shè)a =logz+log[x(yz)-1+1],b =logx-1+log(xyz+1),c =logy+log[(xyz)-1+1],記a,b

18、,c中最大數(shù)為M,則M的最小值為 . 解:a=log(+z),b=log(yz+),c=log(+y). ∴ a+c=log(++yz+x)≥2log2.于是a、c中必有一個≥log2.即M≥log2,于是M的最小值≥log2. 但取x=y=z=1,得a=b=c=log2.即此時M=log2.于是M的最小值≤log2. ∴ 所求值=log2. 三、(本題滿分20分) 設(shè)x≥y≥z≥,且x+y+z=,求乘積cosx siny cosz的最大值和最小值. 解:由于x≥y≥z≥,故≤x≤-×2=. ∴ cosx siny cosz=cosx×[sin(y+z)+sin(y-

19、z)]=cos2x+cosxsin(y-z)≥cos2=.即最小值. (由于≤x≤,y≥z,故cosxsin(y-z)≥0),當y=z=,x=時,cosx siny cosz=. ∵ cosx siny cosz=cosz×[sin(x+y)-sin(x-y)]=cos2z-coszsin(x-y). 由于sin(x-y)≥0,cosz>0,故cosx siny cosz≤cos2z=cos2=(1+cos)=. 當x= y=,z=時取得最大值. ∴ 最大值,最小值. 四、(本題滿分20分) 設(shè)雙曲線xy=1的兩支為C1,C2(如圖),正三角形PQR的三頂點位于此雙曲線上

20、. (1)求證:P、Q、R不能都在雙曲線的同一支上; (2)設(shè)P(-1,-1)在C2上, Q、R在C1上,求頂點Q、R的坐標. 解:設(shè)某個正三角形的三個頂點都在同一支上.此三點的坐標為P(x1,),Q(x2,),R(x3,).不妨設(shè)0>>0. kPQ==-;kQR=-; tan∠PQR=<0,從而∠PQR為鈍角.即△PQR不可能是正三角形. ⑵ P(-1,-1),設(shè)Q(x2,),點P在直線y=x上.以P為圓心,|PQ|為半徑作圓,此圓與雙曲線第一象限內(nèi)的另一交點R滿足|PQ|=|PR|,由圓與雙曲線都是y=x對稱,知Q與R關(guān)于y=x對稱.且在第一象限內(nèi)此二曲

21、線沒有其他交點(二次曲線的交點個數(shù)).于是R(,x2). ∴ PQ與y=x的夾角=30°,PQ所在直線的傾斜角=75°.tan75°==2+. PQ所在直線方程為y+1=(2+)(x+1),代入xy=1,解得Q(2-,2+),于是R(2+,2-). 五、(本題滿分20分) 設(shè)非零復數(shù)a1,a2,a3,a4,a5滿足 其中S為實數(shù)且|S|≤2. 求證:復數(shù)a1,a2,a3,a4,a5在復平面上所對應的點位于同一圓周上. 證明:設(shè)====q,則由下式得a1(1+q+q2+q3+q4)=(1+q+q2+q3+q4). ∴ (a12q4-4) (1+q+q2+q3+q4)=0

22、,故a1q2=±2,或1+q+q2+q3+q4=0. ⑴ 若a1q2=±2,則得±2(++1+q+q2)=S.TS=±2[(q+)2+(q+)-1]=±2[(q++)2-]. ∴ 由已知,有(q++)2-∈R,且|(q++)2-|≤1. 令q++=h(cosθ+isinθ),(h>0).則h2(cos2θ+isin2θ)-∈R.Tsin2θ=0. -1≤h2(cos2θ+isin2θ)-≤1.T≤h2(cos2θ+isin2θ)≤,Tcos2θ>0.Tθ=kπ(k∈Z) ∴ q+∈R.再令q=r(cosα+isinα),(r>0).則q+=(r+)cosα+i(

23、r-)sinα∈R.Tsinα=0或r=1. 若sinα=0,則q=±r為實數(shù).此時q+≥2或q+≤-2.此時q++≥,或q++≤-. 此時,由|(q++)2-|≤1,知q=-1.此時,|ai|=2. 若r=1,仍有|ai|=2,故此五點在同一圓周上. ⑵ 若1+q+q2+q3+q4=0.則q5-1=0,∴ |q|=1.此時|a1|=|a2|=|a3|=|a4|=|a5|,即此五點在同一圓上. 綜上可知,表示復數(shù)a1,a2,a3,a4,a5在復平面上所對應的點位于同一圓周上. 第二試 一、(本題50分)如圖,已知兩個半徑不相等的⊙O1與⊙O2相交于M、N兩點,且⊙

24、O1、⊙O2分別與⊙O內(nèi)切于S、T兩點。求證:OM⊥MN的充分必要條件是S、N、T三點共線。 證明:過S、T分別作相應兩圓的公切線,交于點P,則PS=PT,點P在直線MN上(根軸).且O、S、P、T四點共圓. ⑴ 若S、N、T三點共線, 連O1N,O2N,則OS=OT,O1S=O1N, 于是∠S=∠T,∠S=∠O1NS,∴ ∠O1NS=∠T,O1N∥OT,同理,O2N∥OS,即OS=O2N+O1S.即⊙O的半徑=⊙O1與⊙O2的半徑的和. ∴ ∠PTS=∠TSP=∠NMS,∴S、P、T、M共圓,故O、S、P、T、M五點共圓.∠OMS=∠OTS=∠OST. ∴ ∠OMN=∠OMS+∠

25、SMN=∠OST+∠TSP=∠OSP=90°. ∴ OM⊥MN. ⑵ 反之,若OM⊥MN,則OM∥O1O2, 由OO2-OO1=(R-r2)-(R-r1)=r1-r2=O1M-O2M.即O、M在以O(shè)1、O2為焦點的雙曲線的不同兩支上.由雙曲線的對稱性,知O1O2MO是等腰梯形.∴OO2=O1M. 即OT=r1+r2,∴ O1N=OO2,OO1=O2N,于是OO1NO2為平行四邊形. 由于△OST、△O1SN、△O2NT都是等腰三角形.∴ ∠SO1N=∠O=∠NO2T,∴ ∠OST=∠OSN. ∴ S、N、T三點共線. 二.(本題50分)試問:當且僅當實數(shù)x0,x1,…,xn(

26、n≥2)滿足什么條件時,存在實數(shù)y0,y1,…,yn使得z02=z12+z22+…+zn2成立,其中zk=xk+iyk,i為虛數(shù)單位,k=0,1,…,n。證明你的結(jié)論。 解:z02=x02-y02+2x0y0i=(x12+x22+…+xn2)-(y12+y22+…+yn2)+2(x1y1+x2y2+…+xnyn)i. ∴ x02-y02=(x12+x22+…+xn2)-(y12+y22+…+yn2); x0y0=x1y1+x2y2+…+xnyn. 若x02> x12+x22+…+xn2,則y02> y12+y22+…+yn2. 此時x02y02>( x12+x22+…+xn2)(

27、y12+y22+…+yn2)≥(x1y1+x2y2+…+xnyn)2=(x0y0)2.矛盾. 故必x02≤x12+x22+…+xn2. 反之,若x02≤x12+x22+…+xn2成立.此時,可分兩種情況: ⑴ 當x02=x12+x22+…+xn2成立時,取yi=xi(i=0,1,2,…,n), 于是z02=(x0+y0i)2=x02-y02+2x0y0i=2x0y0i, 而z12+z22+…+zn2=(x12+x22+…+xn2)-(y12+y22+…+yn2)+2(x1y1+x2y2+…+xnyn)i =2(x1y1+x2y2+…+xnyn)i=2(x12+x22+…+xn2)i

28、=2x02i=2x0y0i.即z02=z12+z22+…+zn2成立. ⑵ 當x020,于是xi(i=1,2,…,n)不能全為0.不妨設(shè)xn≠0,取y0=y1=y2=…=yn-2=0,yn-1=,yn=-,則 此時,z02= x02-y02+2x0y0i=x02; 而z12+z22+…+zn2=(x12+x22+…+xn2)-(y12+y22+…+yn2)+2(x1y1+x2y2+…+xnyn)i =(x12+x22+…+xn2)-(+)+2(xn-1-xn)i =(

29、x12+x22+…+xn2)-(x12+x22+…+xn2-x02)=x02.仍有z02=z12+z22+…+zn2成立. 故所求條件為x02≤x12+x22+…+xn2. 三、(本題50分)在100×25的長方形表格中每一格填入一個非負實數(shù),第i行第j列中填入的數(shù)為xi , j(i=1,2,…,100;j=1,2,…,25)(如表1)。然后將表1每列中的數(shù)按由小到大的次序從上到下重新排列為x¢1 , j≥x¢2 , j≥…≥x¢100 , j(j=1,2,…,25)。(如表2) 求最小的自然數(shù)k,使得只要表1中填入的數(shù)滿足xi,j≤1(i=1,2,…,100), 則當i≥k時,在

30、表2中就能保證x¢i,j≤1成立。 表1 表2 x1,1 x1,2 … x1,25 x¢1,1 x¢1,2 … x¢1,25 x2,1 x2,2 … x2,25 x¢2,1 x¢2,2 … x¢2,25 … … … … … … … … x100,1 x100,2 … x100,25 x¢100,1 x¢100,2 … x¢100,25 解:在表1中,取x4i-3,i=x4i-2,i=x4i-1,i =x4i,i =0(i=1,2,…,25),其余各數(shù)均取,于是,每列各數(shù)之和均=1.但重新填入后,前96行之和均= >1.第97、98、99、100行之和=0.故k≤97. 反之,如果表2中第97行的25個數(shù)涂黃,98~100行共75個數(shù)涂紅,則這些涂紅的數(shù)在表1中至多分布在75行中,于是除這75行外的其余各行中的每個數(shù)都不小于同列中涂黃的數(shù),即涂黃4個數(shù)的和≤沒有涂紅數(shù)的行的每一行數(shù)的和≤1.于是表2中第97行的數(shù)的和≤1,故第98、99、100行的數(shù)的和≤1.即能保證表2中第97~100行的數(shù)的和≤1. ∴ k=97.

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