全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及解析 蘇教版18
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1、一九九八年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽 一、選擇題(本題滿分36分,每小題6分) 1. 若a > 1, b > 1, 且lg(a + b)=lga+lgb, 則lg(a –1)+lg(b –1) 的值( ) (A)等于lg2 (B)等于1 (C ) 等于0 (D) 不是與a, b無關(guān)的常數(shù) 2.若非空集合A={x|2a+1≤x≤3a – 5},B={x|3≤x≤22},則能使AíA∩B成立的所有a的集合是( ) (A){a | 1≤a≤9} (B) {a | 6≤a≤9}
2、 (C) {a | a≤9} (D) ? 3.各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)的等比數(shù)列{an}前n項(xiàng)之和記為Sn ,若S10 = 10, S30 = 70, 則S40等于( ) (A) 150 (B) - 200 (C) 150或 - 200 (D) - 50或400 4.設(shè)命題P:關(guān)于x的不等式a1x2 + b1x2 + c1 > 0與a2x2 + b2x + c2 > 0的解集相同; 命題Q:==. 則命題Q( ) (A) 是命題P的充分必要條件
3、 (B) 是命題P的充分條件但不是必要條件 (C) 是命題P的必要條件但不是充分條件 (D) 既不是是命題P的充分條件也不是命題P的必要條件 5.設(shè)E, F, G分別是正四面體ABCD的棱AB,BC,CD的中點(diǎn),則二面角C—FG—E的大小是( ) (A) arcsin (B) +arccos (C) -arctan (D) π-arccot 6.在正方體的8個(gè)頂點(diǎn), 12條棱的中點(diǎn), 6個(gè)面的中心及正方體的中心共27個(gè)點(diǎn)中, 共線的三點(diǎn)組的個(gè)數(shù)是( ) (A) 57 (
4、B) 49 (C) 43 (D)37 二、填空題( 本題滿分54分,每小題9分) 各小題只要求直接填寫結(jié)果. 1.若f (x) (x?R)是以2為周期的偶函數(shù), 當(dāng)x?[ 0, 1 ]時(shí),f(x)=x,則f(),f(),f()由小到大排列是 . 2.設(shè)復(fù)數(shù)z=cosθ+isinθ(0≤θ≤180°),復(fù)數(shù)z,(1+i)z,2在復(fù)平面上對應(yīng)的三個(gè)點(diǎn)分別是P, Q, R.當(dāng)P, Q, R不共線時(shí),以線段PQ, PR為兩邊的平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)為S, 點(diǎn)S到原點(diǎn)距離的最大值是___________. 3.
5、從0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9這10個(gè)數(shù)中取出3個(gè)數(shù), 使其和為不小于10的偶數(shù), 不同的取法有________種. 4.各項(xiàng)為實(shí)數(shù)的等差數(shù)列的公差為4, 其首項(xiàng)的平方與其余各項(xiàng)之和不超過100, 這樣的數(shù)列至多有_______項(xiàng). 5.若橢圓x2+4(y-a)2=4與拋物線x2=2y有公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 . 6.DABC中, DC = 90o, DB = 30o, AC = 2, M是AB的中點(diǎn). 將DACM沿CM折起,使A,B兩點(diǎn)間的距離為 2,此時(shí)三棱錐A-BCM的體積等于__________. 三、(本
6、題滿分20分) 已知復(fù)數(shù)z=1-sinθ+icosθ(<θ<π),求z的共軛復(fù)數(shù)的輻角主值. 四、(本題滿分20分) 設(shè)函數(shù)f (x) = ax 2 +8x +3 (a<0).對于給定的負(fù)數(shù)a , 有一個(gè)最大的正數(shù)l(a) ,使得在整個(gè) 區(qū)間 [0, l(a)]上, 不等式| f (x)| £ 5都成立. 問:a為何值時(shí)l(a)最大? 求出這個(gè)最大的l(a).證明你的結(jié)論. 五、(本題滿分20分) 已知拋物線y 2 = 2px及定點(diǎn)A(a, b), B( – a, 0) ,
7、(ab 1 0, b 2 1 2pa).M是拋物線上的點(diǎn), 設(shè)直線AM, BM與拋物線的另一交點(diǎn)分別為M1, M2. 求證:當(dāng)M點(diǎn)在拋物線上變動(dòng)時(shí)(只要M1, M2存在且M1 1 M2),直線M1M2恒過一個(gè)定點(diǎn).并求出這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo). 第二試 一、(滿分50分)如圖,O、I分別為△ABC的外心和內(nèi)心,AD是BC邊上的高,I在線段OD上。求證:△ABC的外接圓半徑等于BC邊上的旁切圓半徑。 注:△ABC的BC邊上的旁切圓是與邊AB、AC的延長線以及邊BC都相切的圓。 二、(滿分50分)設(shè)a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn∈[1,2]且a=b
8、, 求證:≤a.并問:等號(hào)成立的充要條件. 三、(滿分50分)對于正整數(shù)a、n,定義Fn(a)=q+r,其中q、r為非負(fù)整數(shù),a=qn+r,且0≤r<n.求最大的正整數(shù)A,使得存在正整數(shù)n1,n2,n3,n4,n5,n6,對于任意的正整數(shù)a≤A,都有 F(F(F(F(F(F(a))))))=1.證明你的結(jié)論. 一九九八年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽解答 第一試 一.選擇題(本題滿分36分,每小題6分) 1.若a > 1, b > 1, 且lg (a + b) = lg a + lg b, 則lg (a –1) + lg (b –1) 的值( )
9、 (A)等于lg2 (B)等于1 (C ) 等于0 (D) 不是與a, b無關(guān)的常數(shù) 解:a+b=ab,(a-1)(b-1)=1,由a-1>0,b-1>0,故lg(a-1)(b-1)=0,選C. 2.若非空集合A={x|2a+1≤x≤3a – 5},B={x|3≤x≤22},則能使AíA∩B成立的所有a的集合是( ) (A){a | 1≤a≤9} (B) {a | 6≤a≤9} (C) {a | a≤9} (D) ? 解:AíB,A
10、≠?.T 3≤2a+1≤3a-5≤22,T6≤a≤9.故選B. 3.各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)的等比數(shù)列{a n }前n項(xiàng)之和記為S n ,若S10 = 10, S30 = 70, 則S40等于( ) (A) 150 (B) -200 (C) 150或 -200 (D) -50或400 解:首先q≠1,于是,(q10-1)=10,(q30-1)=70,∴ q20+q10+1=7.Tq10=2.(-3舍) ∴ S40=10(q40-1)=150.選A. 4.設(shè)命題P:關(guān)于x的不等式a1x2 + b1x2 + c1 >
11、 0與a 2x2 + b2x + c2 > 0的解集相同; 命題Q:==. 則命題Q( ) (A) 是命題P的充分必要條件 (B) 是命題P的充分條件但不是必要條件 (C) 是命題P的必要條件但不是充分條件 (D) 既不是是命題P的充分條件也不是命題P的必要條件 解:若兩個(gè)不等式的解集都是R,否定A、C,若比值為-1,否定A、B,選D. 5.設(shè)E, F, G分別是正四面體ABCD的棱AB,BC,CD的中點(diǎn),則二面角C—FG—E的大小是( ) (A) arcsin (B) +arcc
12、os (C) -arctan (D) π-arccot 解:取AD、BD中點(diǎn)H、M,則EH∥FG∥BD,于是EH在平面EFG上.設(shè)CM∩FG=P,AM∩EH=Q,則P、Q分別為CM、AM中點(diǎn),PQ∥AC. ∵ AC⊥BD,TPQ⊥FG,CP⊥FG,T∠CPQ是二面角C—FG—E的平面角. 設(shè)AC=2,則MC=MA=,cos∠ACM==. ∴ 選D. 6.在正方體的8個(gè)頂點(diǎn), 12條棱的中點(diǎn), 6個(gè)面的中心及正方體的中心共27個(gè)點(diǎn)中, 共線的三點(diǎn)組的個(gè)數(shù)是( ) (A) 57 (B) 49 (C) 4
13、3 (D)37 解:8個(gè)頂點(diǎn)中無3點(diǎn)共線,故共線的三點(diǎn)組中至少有一個(gè)是棱中點(diǎn)或面中心或體中心. ⑴ 體中心為中點(diǎn):4對頂點(diǎn),6對棱中點(diǎn),3對面中心;共13組; ⑵ 面中心為中點(diǎn):4×6=24組; ⑶ 棱中點(diǎn)為中點(diǎn):12個(gè).共49個(gè),選B. 二、填空題( 本題滿分54分,每小題9分) 各小題只要求直接填寫結(jié)果. 1.若f (x) (x?R)是以2為周期的偶函數(shù), 當(dāng)x?[ 0, 1 ]時(shí),f(x)=x,則f(),f(),f()由小到大排列是 . 解:f()=f(6-)=f().f()=f(6-)=f(),f()=f(6+)=f
14、().
現(xiàn)f(x)是[0,1]上的增函數(shù).而<<.故f() 15、0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9這10個(gè)數(shù)中取出3個(gè)數(shù), 使其和為不小于10的偶數(shù), 不同的取法有________種.
解:從這10個(gè)數(shù)中取出3個(gè)偶數(shù)的方法有C種,取出1個(gè)偶數(shù),2個(gè)奇數(shù)的方法有CC種,而取出3個(gè)數(shù)的和為小于10的偶數(shù)的方法有(0,2,4),(0,2,6),(0,1,3),(0,1,5),(0,1,7),(0,3,5),(2,1,3),(2,1,5),(4,1,3),共有9種,故應(yīng)答10+50-9=51種.
4.各項(xiàng)為實(shí)數(shù)的等差數(shù)列的公差為4, 其首項(xiàng)的平方與其余各項(xiàng)之和不超過100, 這樣的數(shù)列至多有_______項(xiàng).
解:設(shè)其首項(xiàng)為a,項(xiàng)數(shù) 16、為n.則得a2+(n-1)a+2n2-2n-100≤0.
△=(n-1)2-4(2n2-2n-100)=-7n2+6n+401≥0.∴ n≤8.
取n=8,則-4≤a≤-3.即至多8項(xiàng).
(也可直接配方:(a+)2+2n2-2n-100-()2≤0.解2n2-2n-100-()2≤0仍得n≤8.)
5.若橢圓x2+4(y-a)2=4與拋物線x2=2y有公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .
解:2y=4-4(y-a)2,T2y2-(4a-1)y+2a2-2=0.此方程至少有一個(gè)非負(fù)根.
∴ △=(4a-1)2-16(a2-1)=-8a+17≥0.a(chǎn)≤.
兩根皆負(fù)時(shí)2a
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