例例 7 如圖，已知正方形如圖，已知正方形ABCD，點(diǎn)，點(diǎn)E是是BC上一點(diǎn)，點(diǎn)上一點(diǎn)，點(diǎn)F是是CD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接EF，若，若BEDF，點(diǎn)，點(diǎn)P是是EF的中點(diǎn)的中點(diǎn)(1)求證：求證：DP平分平分ADC；(2)若若CEF75，CF1 ，求，求AEF的面積的面積3(1)【思維教練思維教練】要證要證DP平分平分ADC，可考慮證明，可考慮證明ADP、CDP所在的兩三角形全等，連接所在的兩三角形全等，連接PC，構(gòu)造，構(gòu)造CPD，由直角，由直角三角斜邊中線性質(zhì)證明三角斜邊中線性質(zhì)證明APCP，再結(jié)合正方形性質(zhì)，可證，再結(jié)合正方形性質(zhì)，可證APDCPD.【自主作答自主作答】 (1)證明：如解圖，連接證明：如解圖，連接PC.四邊形四邊形ABCD是正方形，是正方形，ABEADF90，ABAD，又又BEDF，ABE ADF(SAS)BAEDAF，AEAF，EAFBAD90，P是是EF的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，PA EF，PC EF，PAPC，APDCPD(SSS)ADPCDP，即，即DP平分平分ADC；1212(2)【思維教練思維教練】CEF75，AEF為等腰直角三角形，可為等腰直角三角形，可得得AEB60，已知，已知CF，則，則ABBE長(zhǎng)度已知，在長(zhǎng)度已知，在RtABE中，可設(shè)中，可設(shè)BE的長(zhǎng)，表示出的長(zhǎng)，表示出AB，進(jìn)而表示出，進(jìn)而表示出ABBE，由，由(1)的的結(jié)論求出結(jié)論求出BE，進(jìn)而可求得各邊長(zhǎng)度根據(jù)三角形面積公式可，進(jìn)而可求得各邊長(zhǎng)度根據(jù)三角形面積公式可求求SAEF.【自主作答自主作答】(2)解：由解：由(1)知知EAF是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，AEF45，AEB180457560，設(shè)設(shè)BEx，AB x，CFCDDFABBE( 1)x 1.解得解得x1，BE1，AB ，AE2，則，則AP ，EF2 ，SAEF EFAP 2 2.1212322333322遇到直角時(shí)可作斜邊上的中線或加倍一直角邊，從而可得到等腰遇到直角時(shí)可作斜邊上的中線或加倍一直角邊，從而可得到等腰三角形，進(jìn)而利用等腰三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題三角形，進(jìn)而利用等腰三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題方方 法法點(diǎn)點(diǎn)撥撥