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1、 - 1 -微專題 95 高中涉及的統計學知識一、基礎知識：（一）隨機抽樣：1、抽簽法：把總體中的個個體編號，把號碼寫在號簽上，將號簽放在一個容器中攪拌均N勻后，每次從中抽取一個號簽，連續(xù)抽取次，就得到容量為的樣本nn2、系統抽樣：也稱為等間隔抽樣，大致分為以下幾個步驟：（1）先將總體的個個體編號N（2）確定分段間隔，設樣本容量為，若為整數，則knNnNkn（3）在第一段中用簡單隨機抽樣確定第一個個體編號 ，則后面每段所確定的個體編號與前l(fā)一段確定的個體編號差距為，例如：第 2 段所確定的個體編號為，第段所確定的klkm個體編號為，直至完成樣本1lmk注：（1）若不是整數，則先用簡單隨機抽樣剔

2、除若干個個體，使得剩下的個體數能被Nn整除，再進行系統抽樣。例如 501 名學生所抽取的樣本容量為 10，則先隨機抽去 1 個，剩n下的個個體參加系統抽樣500（2）利用系統抽樣所抽出的個體編號排成等差數列，其公差為k3、分層抽樣：也稱為按比例抽樣，是指在抽樣時，將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例，從各層獨立地抽取一定數量的個體，將各層取出的個體合在一起作為樣本。分層抽樣后樣本中各層的比例與總體中各個層次的比例相等，這條結論會經常用到（二）頻率分布直方圖：1、頻數與頻率（1）頻數：指一組數據中個別數據重復出現的次數或一組數據在某個確定的范圍內出現的數據的個數.（2）頻率：是頻數與數據組

3、中所含數據的個數的比，即頻率=頻數/總數（3）各試驗結果的頻率之和等于 12、頻率分布直方圖：若要統計每個小組數據在樣本容量所占比例大小，則可通過頻率分布表（表格形式）和頻率分布直方圖（圖像形式）直觀的列出（1）極差：一組數據中最大值與最小值的差（2）組距：將一組數據平均分成若干組（通常 5-12 組） ，則組內數據的極差稱為組距，所 - 2 -以有組距=極差/組數（3）統計每組的頻數，計算出每組的頻率，便可根據頻率作出頻率分布直方圖（4）在頻率分布直方圖中：橫軸按組距分段，縱軸為“頻率/組距”（5）頻率分布直方圖的特點： 頻率=，即分布圖中每個小矩形的面積頻率組距組距 因為各試驗結果的頻率之

4、和等于 1，所以可得在頻率分布直方圖中，各個矩形的面積和為1（三）莖葉圖：通?？捎糜诮y計和比較兩組數據，其中莖是指中間的一列數，通常體現數據中除了末位數前面的其他數位，葉通常代表每個數據的末位數。并按末位數之前的數位進行分類排列，相同的數據需在莖葉圖中體現多次（四）統計數據中的數字特征：1、眾數：一組數據中出現次數最多的數值，叫做眾數2、中位數：將一組數據從小到大排列，位于中間位置的數稱為中位數，其中若數據的總數為奇數個，則為中間的數；若數據的總數為偶數個，則為中間兩個數的平均值。3、平均數：代表一組數據的平均水平，記為，設一組數據為：，則有：x12,nx xx12nxxxxn4、方差：代表數

5、據分布的分散程度，記為，設一組數據為：，其平均數為，2s12,nx xxx則有：，其中越小，說明數據越集中 2222121nsxxxxxxn2s5、標準差：也代表數據分布的分散程度，為方差的算術平方根二、典型例題例 1：某校高中部有三個年級，其中高三有學生人，現采用分層抽樣法抽取一個容量為1000的樣本，已知在高一年級抽取了人，高二年級抽取了人，則高中部共有學生1857560_人思路：分層抽樣即按比例抽樣，由高一年級和高二年級的人數可得高三人數為人，所以抽樣比為，從而總人數為人185756050501=1000201185370020答案：3700例 2：某企業(yè)三月中旬生產，ABC 三種產品共

6、 3000 件，根據分層抽樣的結果；企業(yè)統計 - 3 -員制作了如下的統計表格：產品類別ABC產品數量（件）1300樣本容量（件）130由于不小心，表格中 AC 產品的有關數據已被污染看不清楚，統計員記得 A 產品的樣本容量比 C 產品的樣本容量多 10，根據以上信息，可得 C 的產品數量是 件思路：由產品可得抽樣比為，所以若 A 產品的樣本容量比 C 產品的樣本容量多B130113001010，則 A 產品的數量比 C 產品的數量多，且產品數量和為11010010,A C，從而可解得產品的數量為 300013001700C800答案：800例 3：某棉紡廠為了了解一批棉花的質量，從中隨機抽測

7、了 100 根棉花纖維的長度（棉花纖維所得數據均在區(qū)間中，其頻率分布直方圖如圖所示，則在抽測的 100 根中5,40_根棉花纖維的長度小于 15mm思路：由頻率直方圖的橫縱軸可得：組距為 5mm，所以小于 15mm 的頻率為，所以小于 15mm 共有根 0.010.0150.11000.1=10答案：10例 4：某班甲、乙兩位同學升入高中以來的 5 次數學考試成績的莖葉圖如圖，則乙同學這 5次數學成績的中位數是 ；已知兩位同學這 5 次成績的平均數都是 84，成績比較穩(wěn)定的是 （第二個空填“甲”或“乙” ） - 4 -思路：由莖葉圖可讀出，乙同學的成績?yōu)?，甲同學的成績?yōu)椋?9,80,82,88

8、,9181,82,83,84,91所以乙同學的成績的中位數為，相比較而言，甲同學的成績比較集中，所以比較穩(wěn)定的是82甲答案：，甲82小煉有話說：在求中位數時要注意先將數據從小到大排列，判斷成績穩(wěn)定，本題甲，乙穩(wěn)定性的判斷定量上要依靠方差，但因為本題從莖葉圖上看出甲，乙數據穩(wěn)定性差距較大，所以定性的判斷。例 6：某校從參加高三年級期末考試的學生中隨機抽取 100 名學生，將其數學成績分成五段：，它的頻率分布直方圖如圖所示，則該批學50,70 , 70,90 , 90,110 , 110,130130,150生中成績不低于 90 分的人數是_思路：的高度未知，但由于直方圖體現的是全部樣本的情況，所

9、以各部分頻率和為90,1001，可以考慮間接法。從圖中可觀察到的頻率為，所50,900.00250.0150200.35以不低于 90 分的頻率為，故人數為（人）10.350.651000.6565答案： 65 - 5 -例 7：從某小區(qū)抽取 100 戶居民進行月用電量調查,發(fā)現其用電量都在 50 到 350 度之間,頻率分布直方圖所示（1）直方圖中的值為_；x（2）在這些用戶中,用電量落在區(qū)間內的戶數為_100,250思路：（1）依題意可得頻率直方圖中的頻率和等于 1，由圖可得組距為，所以有50，解得0.00240.00360.00600.00240.0012501x0.0044x （2）圖

10、中的頻率為，所以用戶數為100,2500.00360.0060.0044500.7（戶）1000.770答案：（1） （2）戶0.0044x 70例 7：某校 1000 名學生的數學測試成績分布直方圖如圖所示，分數不低于即為優(yōu)秀，如果a優(yōu)秀的人數為 175 人，則的估計值是_a思路：可先從頻率直方圖中按分數從高到低統計分數段的人數，組距為，從而可得：10的人數為，同理可得的人數為人，而優(yōu)140,15010000.01 10100130,140150秀的人數為人，所以應包含的全體，以及中的一半人數，所以估計175140,150130,140值為到的中間值，即130140135 - 6 -答案：

11、135a 例 8：某地區(qū)為了解中學生的日平均睡眠時間（單位：）,隨機選擇了位中學生進行調查,hn根據所得數據，畫出樣本的頻率分布直方圖如圖所示,且從左到右的第 1 個、第 4 個、第 2 個、第 3 個小長方形的面積依次構成公差為 0.1 的等差數列，又第一小組的頻數是 10，則 n _.思路：設第一個的面積為，則第 4 個為，第 2 個為，第 3 個1Sa40.1Sa20.2Sa為，依題意可得四部分的頻率和為 ，從而可解得，30.3Sa112341SSSS0.1a 所以，從而 10.1S 101000.1n 答案： 100例 9：某單位有職工 200 名，現要從中抽取 40 名職工作樣本，用

12、系統抽樣法，將全體職工隨機按 1200 編號，并按編號順序平均分為 40 組（15 號，610 號，196200 號）.若第 5 組抽出的號碼為 22，則第 10 組抽出的號碼應是_思路：由系統抽樣可知，每組抽出的號碼依次成等差數列，且公差為組距，所以5d ，則 522a 1055222547aad答案：47例 10：某單位有 840 名職工， 現采用系統抽樣抽取 42 人做問卷調查， 將 840 人按 1， 2， ， 840 隨機編號， 則抽取的 42 人中， 編號落入區(qū)間的人數為 61,120思路：由系統抽樣可知：組距為，所以區(qū)間可拆分為840204261,120，而每個區(qū)間只有一人被抽取，所以共有 3 人61,80 , 81,100 , 101,120答案： 3