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1、
微專題94 極坐標(biāo)與參數(shù)方程
極坐標(biāo)與參數(shù)方程在高考中常以填空或選擇的形式出現(xiàn),在知識(shí)上結(jié)合解析幾何,考查學(xué)生曲線方程的轉(zhuǎn)化能力,以及解析幾何的初步技能。題目難度不大,但需要學(xué)生能夠快速熟練的解決問(wèn)題
一、基礎(chǔ)知識(shí):
(一)極坐標(biāo):
1、極坐標(biāo)系的建立:以平面上一點(diǎn)為中心(作為極點(diǎn)),由此點(diǎn)引出一條射線,稱為極軸,這樣就建立了一個(gè)極坐標(biāo)系
2、點(diǎn)坐標(biāo)的刻畫(huà):用一組有序?qū)崝?shù)對(duì)確定平面上點(diǎn)的位置,其中代表該點(diǎn)到極點(diǎn)的距離,而表示極軸繞極點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至過(guò)該點(diǎn)時(shí)轉(zhuǎn)過(guò)的角度,通常:
3、直角坐標(biāo)系與極坐標(biāo)系坐標(biāo)的互化:如果將極坐標(biāo)系的原點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合,極軸與軸重合,則
2、同一個(gè)點(diǎn)可具備極坐標(biāo)和直角坐標(biāo),那么兩種坐標(biāo)間的轉(zhuǎn)化公式為:,由點(diǎn)組成的直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程也可按照此法則進(jìn)行轉(zhuǎn)化,例如:極坐標(biāo)方程(在轉(zhuǎn)化成時(shí)要設(shè)法構(gòu)造 ,然后進(jìn)行整體代換即可)
(二)參數(shù)方程:
1、如果曲線中的變量均可以寫(xiě)成關(guān)于參數(shù)的函數(shù),那么就稱為該曲線的參數(shù)方程,其中稱為參數(shù)
2、參數(shù)方程與一般方程的轉(zhuǎn)化:消參法
(1)代入消參:
(2)整體消參:,由可得:
(3)平方消參:利用消去參數(shù)
例如:
3、常見(jiàn)圖形的參數(shù)方程:
(1)圓:的參數(shù)方程為:,其中為參數(shù),其幾何含義為該圓的圓心角
(2)橢圓:的參數(shù)方程為,其中為參數(shù),其幾何含義為橢圓的離心角
(3
3、)雙曲線:的參數(shù)方程為,其中為參數(shù),其幾何含義為雙曲線的離心角
(4)拋物線:的參數(shù)方程為,其中為參數(shù)
(5)直線:過(guò),傾斜角為的直線參數(shù)方程為,其中代表該點(diǎn)與的距離
注:對(duì)于極坐標(biāo)與參數(shù)方程等問(wèn)題,通常的處理手段是將方程均轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系下的一般方程,然后利用傳統(tǒng)的解析幾何知識(shí)求解
二、典型例題:
例1:已知直線參數(shù)方程為,圓的參數(shù)方程為,則圓心到直線的距離為_(kāi)___________
思路:將參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為一般方程:
所以圓心為,到直線的距離為:
答案:
例2:以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn),軸非負(fù)半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,在兩種坐標(biāo)系中取相同的單位長(zhǎng)度,點(diǎn)的極坐標(biāo)為,曲線
4、的參數(shù)方程為,則曲線上的點(diǎn)到點(diǎn)距離的最大值為_(kāi)__________
思路:,故曲線上距離最遠(yuǎn)的距離為到圓心的距離加上半徑,故
答案:
例3:已知在平面直角坐標(biāo)系中圓的參數(shù)方程為:,以為極軸建立極坐標(biāo)系,直線極坐標(biāo)方程為,則圓截直線所得弦長(zhǎng)為_(kāi)_________
思路:圓的方程為:,對(duì)于直線方程,無(wú)法直接替換為,需構(gòu)造再進(jìn)行轉(zhuǎn)換:
再求出弦長(zhǎng)即可:
答案:
例4:已知兩曲線參數(shù)方程分別為和,它們的交點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)____________
思路:曲線方程為,
聯(lián)立方程可解得:或(舍)
由可得: 所以,坐標(biāo)為
答案:
例5:在極坐標(biāo)系中,直線與曲線相交于兩點(diǎn),
5、且,則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)____________
思路:先將直線與曲線轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程:,曲線,所以問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線與圓相交于,且,利用圓與直線關(guān)系可求得圓心到直線距離即,解得或
答案:或
例6:以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸,并在兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位,已知直線的極坐標(biāo)方程為,它與曲線(為參數(shù))相交于兩點(diǎn),則_________
思路:先將兩個(gè)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系下的普通方程。對(duì)于,這種特殊的極坐標(biāo)方程可以考慮數(shù)形結(jié)合來(lái)確定直線:即,曲線消參后可得:即圓心是,半徑為的圓,所以,
答案:
小煉有話說(shuō):對(duì)于形如的極坐標(biāo)方程,可以作出圖像并根據(jù)圖像得到直角坐標(biāo)方程,或者
6、可以考慮對(duì)賦予三角函數(shù),然后向直角坐標(biāo)進(jìn)行轉(zhuǎn)化:
例7:在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程是,則兩曲線交點(diǎn)間的距離是______________
思路:將轉(zhuǎn)變?yōu)橹苯亲鴺?biāo)系的普通方程。,則為直線與雙曲線位置關(guān)系,聯(lián)立方程,利用韋達(dá)定理求得弦長(zhǎng)即可
解:
的方程為
聯(lián)立方程可得: 代入消去可得:
設(shè)交點(diǎn) 則
答案:
例8:已知曲線的極坐標(biāo)方程分別為,其中,則曲線交點(diǎn)的極坐標(biāo)為_(kāi)______
思路一:按照傳統(tǒng)思路,將轉(zhuǎn)變?yōu)橹苯亲鴺?biāo)系的普通方程,求出交點(diǎn)坐標(biāo)后再轉(zhuǎn)換為極坐標(biāo)
解
7、:
或
將兩個(gè)點(diǎn)轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)分別為,因?yàn)?,所以只有符合條件
思路二:觀察到所給方程形式簡(jiǎn)單,且所求也為極坐標(biāo),所以考慮直接進(jìn)行極坐標(biāo)方程聯(lián)立求解
解:代入消去可得:
交點(diǎn)坐標(biāo)為
小煉有話說(shuō):(1)思路一中規(guī)中矩,但解題過(guò)程中要注意原極坐標(biāo)方程對(duì)的限制條件
(2)思路二有些學(xué)生會(huì)對(duì)聯(lián)立方程不很適應(yīng),要了解到極坐標(biāo)中的本身是實(shí)數(shù),所以關(guān)于它們的方程與方程一樣,都是實(shí)數(shù)方程,所以可以用實(shí)數(shù)方程的方法去解根,只是由于其具備幾何含義(尤其)導(dǎo)致方程形式有些特殊(數(shù)與三角函數(shù))。但在本題中,通過(guò)代入消元還是容易解出的
例9:已知在極坐標(biāo)系中,為極點(diǎn),圓的極坐
8、標(biāo)方程為,點(diǎn)的極坐標(biāo)為,則的面積為_(kāi)__________
思路一:將轉(zhuǎn)變?yōu)橹苯亲鴺?biāo)系方程:
,所以,再求出的直角坐標(biāo)為,則,因?yàn)?,所以,且,所?
思路二:本題求出后,發(fā)現(xiàn)其極坐標(biāo)為,而,所以可結(jié)合圖像利用極坐標(biāo)的幾何含義求解,可得,,所以
答案:
小煉有話說(shuō):(1)在思路一中面積的求法用向量求解還可以更為簡(jiǎn)單:
,所以,代入即可
(2)思路二體現(xiàn)了極坐標(biāo)本身具備幾何特點(diǎn),即長(zhǎng)度()與角,在解決一些與幾何相關(guān)的問(wèn)題時(shí),靈活運(yùn)用極坐標(biāo)的幾何含義往往能達(dá)到出奇制勝的效果
例10:在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為,(其中為參數(shù)),以原點(diǎn)為極點(diǎn),以軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線
9、的極坐標(biāo)方程為,設(shè)點(diǎn),曲線交于,求的值
思路一:將轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系下普通方程: ,,聯(lián)立方程,解出坐標(biāo),再求出即可
解:
設(shè)
,
思路二:本題在思路一的基礎(chǔ)上通過(guò)作圖可發(fā)現(xiàn)三點(diǎn)共線,則可以考慮將轉(zhuǎn)變?yōu)橄蛄康臄?shù)量積,即,進(jìn)而向量坐標(biāo)化后整體代入即可
解:(前面轉(zhuǎn)化方程,聯(lián)立方程同思路一)設(shè),
由得
思路三:觀察到恰好是直線參數(shù)方程的定點(diǎn),且所求恰好是到的距離,所以聯(lián)系到直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何含義。只需求得對(duì)應(yīng)參數(shù)的乘積即可
解:設(shè),則有,,則有
代入到中可得:
10、
所以是方程的兩根,整理可得:
答案:
小煉有話說(shuō):(1)思路二體現(xiàn)了處理線段模長(zhǎng)乘積時(shí),可觀察涉及線段是否具備共線特點(diǎn),如果具備可以將其轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積,從而簡(jiǎn)化運(yùn)算,但要注意與圖像結(jié)合,看好向量是同向還是反向
(2)思路三體現(xiàn)了對(duì)直線參數(shù)方程中參數(shù)幾何含義的巧用。在處理兩條曲線(其中一條為參數(shù)方程)的交點(diǎn)問(wèn)題時(shí),可以將參數(shù)代換掉另一曲線中的得到關(guān)于參數(shù)的方程。另外在使用直線參數(shù)方程時(shí),要注意參數(shù)前面的系數(shù)應(yīng)該是該直線傾斜角的正余弦值。否則參數(shù)不具備幾何含義。例如本題中如果參數(shù)方程為,則并不代表點(diǎn)到的距離。
三、歷年好題精選
1、已知直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程
11、為(為參數(shù)),以直角坐標(biāo)系中的原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的非負(fù)半軸為極軸,圓的極坐標(biāo)方程為,則圓心到直線的距離為_(kāi)_______
2、(2015,北京)在極坐標(biāo)系中,點(diǎn)到直線的距離為_(kāi)_____
3、(2015,廣東)已知直線的極坐標(biāo)方程為,點(diǎn)的極坐標(biāo)為,則點(diǎn) 到直線的距離為_(kāi)______
4、(2015,新課標(biāo)II)在直角坐標(biāo)系中,曲線(為參數(shù),),其中,在以為極點(diǎn),軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線
(1)求交點(diǎn)的直角坐標(biāo)
(2)若相交于點(diǎn),相交于點(diǎn),求的最大值
5、(2015,陜西)在直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,的極坐標(biāo)方程為
12、
(1)寫(xiě)出的直角坐標(biāo)方程
(2)為直線上一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)?shù)綀A心的距離最小時(shí),求的直角坐標(biāo)
習(xí)題答案:
1、答案:
解析:可知直線的方程為:,圓的直角坐標(biāo)方程為,所以圓心到直線的距離為
2、答案:1
解析:點(diǎn)化為直角坐標(biāo)系坐標(biāo)為,直線方程為,從而該點(diǎn)到直線的距離為
3、答案:
解析:直線,轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程為,點(diǎn)的直角坐標(biāo)為,則到直線的距離為
4、解析:(1)曲線的直角坐標(biāo)方程分別為:
聯(lián)立方程:解得:或
交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為
(2)曲線的極坐標(biāo)方程為 在極坐標(biāo)系下
,當(dāng)時(shí)取到
5、解析:(1)
直角坐標(biāo)方程為整理可得:
(2)設(shè),由(1)可得
等號(hào)成立條件為,此時(shí)
6、答案:
解析:圓的直角坐標(biāo)方程為:,設(shè)直線方程為:,因?yàn)?,可知,所以為直徑,即過(guò)圓心,計(jì)算可得:,直線方程為,再轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程為