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第三十四周 行程問題(二)
專題簡(jiǎn)析:
在行程問題中,與環(huán)行有關(guān)的行程問題的解決方法與一般的行程問題的方法類似,但有兩點(diǎn)值得注意:一是兩人同地背向運(yùn)動(dòng),從第一次相遇到下次相遇共行一個(gè)全程;二是同地、同向運(yùn)動(dòng)時(shí),甲追上乙時(shí),甲比乙多行了一個(gè)全程。
例題1:
甲、乙、丙三人沿著湖邊散步,同時(shí)從湖邊一固定點(diǎn)出發(fā)。甲按順時(shí)針方向行走,乙與丙按逆時(shí)針方向行走。甲第一次遇到乙后1分鐘于到丙,再過3分鐘第二次遇到乙。已知乙的速度是甲的,湖的周長(zhǎng)為600米,求丙的速度。
甲第一次與乙相遇后到第二西與乙相遇,剛好共行了一圈。甲、乙的速度和為6
2、00÷(1+3)=120米/分。甲、乙的速度分別是:120÷(1+)=72(米/分),120—72=48(米/分)。甲、丙的速度和為600÷(1+3+1)=96(米/分),這樣,就可以求出丙的速度。列算式為
甲、乙的速度和:600÷(1+3)=120(米/分)
甲速:120÷(1+)=72(米/分)
乙速:120—72=48(米/分)
甲、丙的速度和:600÷(1+3+1)=96(米/分)
丙的速度:96—72=24(千米/分)
答:丙每分鐘行24米。
練習(xí)1:
1、甲、乙、丙三人環(huán)湖跑步。同時(shí)從湖邊一固定點(diǎn)出發(fā),乙、丙兩人同向,甲與乙
3、、丙兩人反向。在甲第一次遇到乙后1分鐘第一次遇到丙;再過3分鐘第二次遇到途。已知甲速與乙速的比為3:2,湖的周長(zhǎng)為2000米,求三人的速度。
2、兄、妹2人在周長(zhǎng)為30米的圓形小池邊玩。從同一地點(diǎn)同時(shí)背向繞水池而行。兄每秒走1.3米。妹每秒走1.2米。他們第10次相遇時(shí),勱還要走多少米才能歸到出發(fā)點(diǎn)?
3、如圖34-1所示,A、B是圓的直徑的兩端,小張?jiān)贏點(diǎn),小王在B點(diǎn),同時(shí)出發(fā)反向而行,他們?cè)贑點(diǎn)第一次相遇,C點(diǎn)離A點(diǎn)80米;在D點(diǎn)第二次相遇,D點(diǎn)離B點(diǎn)60米。求這個(gè)圓的周長(zhǎng)。
例題2:
甲、乙兩人在同一條橢圓形跑道上做特殊訓(xùn)練。他們同時(shí)從同一地點(diǎn)出發(fā),沿相反方向跑。每人跑完
4、第一圈到達(dá)出發(fā)點(diǎn)后,立即回頭加速跑第二圈,跑第一圈時(shí),乙的速度是甲的,甲跑第二圈時(shí)的速度比第一圈提高了,乙跑第二圈時(shí)速度提高了。已知甲、乙兩人第二次相遇點(diǎn)距第一次相遇點(diǎn)190米。這條橢圓形跑道長(zhǎng)多少米?
根據(jù)題意畫圖34-2:甲、乙從A點(diǎn)出發(fā),沿相反方向跑,他們的速度比是1:=3:2。第一次相遇時(shí),他們所行路程比是3:2,把全程平均分成5份,則他們第一次相遇點(diǎn)在B點(diǎn)。當(dāng)甲A點(diǎn)時(shí),乙又行了2÷3×2=1。這時(shí)甲反西骯而行,速度提高了。甲、乙速度比為[3×(1+):2]=2:1,當(dāng)乙到達(dá)A點(diǎn)時(shí),甲反向行了(3—1)×2=3。這時(shí)乙反向而行,甲、乙的速度比變成了[3×(1+)]:[2×(1+)
5、]=5:3。這樣,乙又行了(5—3)×=,與甲在C點(diǎn)相遇。B、C的路程為190米,對(duì)應(yīng)的份數(shù)為3—=2。列式為
1:=3:2
2÷3×2=1
[3×(1+):2]=2:1
(3—1)×2=3
[3×(1+)]:[2×(1+)]=5:3
(5—3)×=
190÷(3-)×5=400(米)
答:這條橢圓形跑道長(zhǎng)400米。
練習(xí)2:
1、小明繞一個(gè)圓形長(zhǎng)廊游玩。順時(shí)針走,從A處到C處要12分鐘,從B處到A處要15分鐘,從C處到B處要11分鐘。從A處到B處需要多少分鐘(如圖34-3所示)?
2、摩托車與小汽車同時(shí)從A地
6、出發(fā),沿長(zhǎng)方形的路兩邊行駛,結(jié)果在B地相遇。已知B地與C地的距離是4千米。且小汽車的速度為摩托車速度的。這條長(zhǎng)方形路的全長(zhǎng)是多少千米(如圖34-4所示)?
3、甲、乙兩人在圓形跑道上,同時(shí)從某地出發(fā)沿相反方向跑步。甲速是乙速的3倍,他們第一次與第二次相遇地點(diǎn)之間的路程是100米。環(huán)形跑道有多少米?
例題3:
繞湖的一周是24千米,小張和小王從湖邊某一地點(diǎn)同時(shí)出發(fā)反向而行。小王以每小時(shí)4千米速度走1小時(shí)后休息5分鐘,小張以每小時(shí)6千米的速度每走50分鐘后休息10分鐘。兩人出發(fā)多少時(shí)間第一次相遇?
小張的速度是每小時(shí)6千米,50分鐘走5千米,我們可以把他們出發(fā)后的時(shí)間與行程列出下表:
7、
小王
時(shí)間
1小時(shí)5分
2小時(shí)10分
3小時(shí)15分
行程
4千米
8千米
12千米
小張
時(shí)間
1小時(shí)
2小時(shí)
3小時(shí)
行程
5千米
10千米
15千米
12+15=27,比24大,從上表可以看出,他們相遇在出發(fā)后2小時(shí)10分至3小時(shí)15分之間。出發(fā)后2小時(shí)10分,小張已走了10+5÷(50÷10)=11(千米),此時(shí)兩人相距24—(8+11)=5(千米)。由于從此時(shí)到相遇以不會(huì)再休息,因此共同走完這5千米所需的時(shí)間是5÷(4+6)=0.5(小時(shí)),而2小時(shí)10分+0.5小時(shí)=2小時(shí)40分。
小張50分鐘走的路程:6÷60×50=5(千米)
小張2小時(shí)
8、10分后共行的路程:10+5÷(50÷10)=11(千米)
兩人行2小時(shí)10分后相距的路程:24—(8+11)=5(千米)
兩人共同行5千米所需時(shí)間:5÷(4+6)=0.5(小時(shí))
相遇時(shí)間:2小時(shí)10分+0.5小時(shí)=2小時(shí)40分
練習(xí)3:
1、在400米環(huán)行跑道上,A,B兩點(diǎn)相距100米。甲、乙兩人分別從A,B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),按逆時(shí)針方向跑步,甲每秒行5米,乙每秒行4米,每人跑100米都要停留10秒鐘。那么甲追上乙需要多少秒?
2、一輛汽車在甲、乙兩站之間行駛。往、返一次共用去4小時(shí)。汽車去時(shí)每小時(shí)行45千米,返回時(shí)每小時(shí)行駛30千米,那么甲、乙兩站相距多少千米?
3、龜、兔進(jìn)行
9、10000米跑步比賽。兔每分鐘跑400米,龜每分鐘跑80米,兔每跑5分鐘歇25分鐘,誰先到達(dá)終點(diǎn)?
例題4:
一個(gè)游泳池長(zhǎng)90米。甲、乙二人分別從游泳池的兩端同時(shí)出發(fā),游到另一端立即返回。找這樣往、返游,兩人游10分鐘。已知甲每秒游3米,乙每秒游2米。在出發(fā)后的兩分鐘 內(nèi),二人相遇了幾次?
設(shè)甲的速度為a,乙的速度為b,a:b的最簡(jiǎn)比為m:n,那么甲、乙在半個(gè)周期內(nèi)共走m+n個(gè)全程。若m>n,且m、n都是奇數(shù),在一個(gè)周期內(nèi)甲、乙相遇了2m次;若m>n,且m為奇數(shù)(或偶數(shù)),n為偶數(shù)(或奇數(shù)),在半個(gè)周期末甲、乙同時(shí)在乙(或甲)的出發(fā)位置,一個(gè)周期內(nèi),甲、乙共相遇(2m—1)次。
甲
10、速:乙速=3:2,由于3>2,且一奇數(shù)一偶數(shù),一個(gè)周期 內(nèi)共相遇(2×3—1=)5次,共跑了[(3+2)×2=]10個(gè)全程。
10分鐘兩人合跑周期的個(gè)數(shù)為:60×10÷[90÷(2+3)×10]=3(個(gè))
3個(gè)周期相遇(5×3=)15(次);個(gè)周期相遇2次。
一共相遇:15+2=17(次)
答:二人相遇了17次。
練習(xí)4:
1、甲、乙兩個(gè)運(yùn)動(dòng)員同時(shí)從游泳池的兩端相向下水做往、返游泳訓(xùn)練。從池的一端到另一端甲要3分鐘,乙要3.2分鐘。兩人下水后連續(xù)游了48分鐘,一共相遇了多少次?
2、一游泳池道長(zhǎng)100米,甲、乙兩個(gè)運(yùn)動(dòng)員從泳
11、道的兩端同時(shí)下水,做往、返訓(xùn)練15分鐘,甲每分鐘游81米,乙每分鐘游89米。甲運(yùn)動(dòng)員一共從乙運(yùn)動(dòng)員身邊經(jīng)過了多少次?
3、馬路上有一輛身長(zhǎng)為15米的公共汽車,由東向西行駛,車速為 每小時(shí)18千米。馬路一旁人行道上有甲、乙兩名年輕人正在練長(zhǎng)跑,甲由東向西跑,乙由西向東跑。某一時(shí)刻,汽車追上了甲,6秒爭(zhēng)后汽車離開了甲,半分鐘后,汽車遇到迎面跑來的乙,又經(jīng)過了2秒鐘,汽車離開乙,再過幾秒鐘,甲、乙兩人相遇?
例題5:
甲、乙兩地相距60千米。張明8點(diǎn)從甲地出發(fā)去乙地,前一半時(shí)間平均速度為每分鐘1千米,后一半時(shí)間平均速度為每分鐘0.8千米。張明經(jīng)過多少時(shí)間到達(dá)乙地?
因?yàn)榍耙话霑r(shí)間與后一半
12、時(shí)間相同,所以可假設(shè)為兩人同時(shí)相向而行的情形,這樣我們可以求出兩人合走60千米所需的時(shí)間為[60÷(1+0.8)=]33分鐘。因此,張明從甲地到乙地的時(shí)間列算式為
60÷(1+0.8)×2=66(分鐘)
答:張明經(jīng)過66分鐘到達(dá)乙地。
練習(xí)5:
1、A、B兩地相距90千米。一輛汽車從A地出發(fā)去B地,前一半時(shí)間平均每小時(shí)行60千米,后一半時(shí)間平均每小時(shí)行40千米。這輛汽車經(jīng)過多少時(shí)間可以到達(dá)B地?
2、甲、乙兩人同時(shí)從A點(diǎn)背向出發(fā),沿400米環(huán)行跑道行走。甲每分鐘走80米,乙蔑分鐘走50米。兩人至少經(jīng)過多少分鐘才能在A點(diǎn)相遇?
3、在300米的環(huán)行跑道
13、上,甲、乙兩人同時(shí)并排起跑。甲平均每秒行5米,乙平均每秒行4.4米。兩人起跑后第一次相遇在起跑線前面多少米?
答案:
練1
1、 甲、乙的速度和:2000÷(1+3)=400
甲速:400×=240米/分 乙速:400×=160米/分
1、 丙的速度和:2000÷(1+3+1)=320米/分
丙速:320-240=80米/分
2、 兄、妹二人共行一周的時(shí)間:30÷(1.3+1.2)=12秒
第10次相遇時(shí)妹所行的圈數(shù):1.2×10×12÷30=4.8圈 即4圈又24米
再行的米數(shù):30-24=6米。
3、 A到D的距離:80×3=240米
A到B(半周長(zhǎng))距離
14、:240-60=180米
圓的周長(zhǎng):180×2=360米
練2
1、 繞一圈所需的時(shí)間:(12+15+11)÷2=19分
從A到B處所需的時(shí)間:19-15=4分
2、 4×2÷=40千米
3、 100÷(2-1)×(3+1)=400米
練3
1、 每跑100米,乙比甲多用時(shí)間:100÷4-100÷5=5秒
甲追上乙要多跑100米需20秒,休息4次:20÷5=4次
100×4=400米 100×5=500米
停了4次,共用的時(shí)間:20×5+40=140秒
2、 45:30=3:2 4××45=72千米
3、 10000÷80=125分鐘
25×(1000
15、0÷400÷5-1)+10000÷400=125分鐘
練4
1、 【(+)】×48-1÷2+1=16次
2、 【(81+89)×15-100】÷(100×2)+1=13次(取整數(shù)部分)
3、 甲速:(5×6-15)÷6=2.5米/秒
乙速;(15-5×20÷2=2.5米/秒
汽車離開乙時(shí),兩人相距的路程:5×(30+2)-2.5×(30+2)=80米
相遇時(shí)間:80÷(2.5+2.5)=16秒
練5
1、 90÷(60+40)×2=1.8小時(shí)
2、 400÷80=5分 400÷50=8分 5和8的最小公倍數(shù)是5×8=40
3、 甲、乙兩人同時(shí)并排起跑到第一次相遇共用的時(shí)間:300÷(5-4.4)=500秒
第一次相遇時(shí),甲共行的路程:5×500=2500米
第一次相遇在起跑線前面的距離:2500÷300=8圈……100米
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