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1、
課程代碼:09010021 19020020
高等數(shù)學(xué)(下) 課程教學(xué)大綱
(總學(xué)時(shí)數(shù):64,學(xué)分?jǐn)?shù):4)
一、課程的性質(zhì),任務(wù)和目的
高等數(shù)學(xué)課程是高等工科院校各專業(yè)學(xué)生必修的重要的基礎(chǔ)理論課。為學(xué)生培養(yǎng)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力,抽象思維和邏輯思維能力,為學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)后繼課程打下扎實(shí)的基礎(chǔ)。
二、課程基本內(nèi)容和要求
1.通過(guò)本課程的學(xué)習(xí),要使學(xué)生獲得:向量代數(shù)和空間解析幾何;多元函數(shù)微積分學(xué);無(wú)窮級(jí)數(shù)(包括傅里葉級(jí)數(shù))等方面的基本概念、基本理論和基本運(yùn)算技能,為學(xué)習(xí)后繼課程和進(jìn)一步獲得數(shù)學(xué)知識(shí)奠定必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。
2.在傳授知識(shí)的同時(shí),要通過(guò)各個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)逐步培養(yǎng)學(xué)生具
2、有抽象概括問(wèn)題的能力、邏輯推理能力、空間想象能力和自學(xué)能力,還要特別注意培養(yǎng)學(xué)生具有比較熟練的運(yùn)算能力和綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)去分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。
3.本課程的教學(xué)就把重點(diǎn)放在培養(yǎng)學(xué)生正確理解和運(yùn)用基本概念與基本方法上,并注意理論聯(lián)系實(shí)際的原則,力求反應(yīng)這些基本概念的實(shí)際背景及其應(yīng)用。使學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)來(lái)源于實(shí)踐又服務(wù)于實(shí)際,從而有助于樹(shù)立辯證唯物主義觀點(diǎn)。
4.教材的選取與課堂講授要貫徹少而精原則,著重于基本概念,基本理論的講授和基本技能的培養(yǎng),不要追求內(nèi)容上的完備和全面。
本大綱包括(一)教學(xué)內(nèi)容(二)教學(xué)要求(三)重點(diǎn)與難點(diǎn)
教學(xué)要求的高低用不同的詞匯加以區(qū)分,對(duì)概念、理論從高到
3、低用“理解”、“了解”、“知道”三級(jí)區(qū)分,對(duì)運(yùn)算、方法從高到低用“熟練掌握”、“掌握”、“會(huì)”三級(jí)區(qū)分。熟悉一詞相當(dāng)于“理解”、“熟練掌握”。
空間解析幾何與向量代數(shù)
一)教學(xué)內(nèi)容
空間直角坐標(biāo)系,向量及其加減法,向量與數(shù)的乘法,向量的坐標(biāo), 數(shù)量積,向量積, 曲面及其方程, 空間曲線及其方程,平面及其方程, 空間直線及其方程,二次曲面。
其中:
基本概念:空間直角坐標(biāo)的概念,向量的概念,曲面及其方程、空間曲線與方程。
基本理論:平面與三元一次方程的對(duì)應(yīng)。
基本方法:向量代數(shù)的線性運(yùn)算、數(shù)量積與向量積的運(yùn)算方法,根據(jù)已知條件建立各類平面、直線方程的方法。
二)教學(xué)要求
1.理
4、解空間直角坐標(biāo)系,理解向量的概念。
2.掌握向量的運(yùn)算(線性運(yùn)算、數(shù)量積、向量積),掌握兩個(gè)向量夾角的求法,與平行與垂直的條件。
3.熟悉單位向量、方向余弦及向量的坐標(biāo)表示式。熟練掌握用坐標(biāo)表達(dá)式進(jìn)行向量的運(yùn)算。
4.熟練掌握平面的點(diǎn)法式方程與一般方程及求法、掌握平面的截距式方程
5.熟悉空間直線的標(biāo)準(zhǔn)式(點(diǎn)向式)方程與一般方程及求法。掌握空間直線的參數(shù)方程。
6.掌握兩直線間、兩平面間、平面與直線問(wèn)的夾角公式。熟練掌握應(yīng)用“平行、垂直”條件建立平面、直線方程。
7.理解曲面方程的概念,掌握常用二次曲面的方程及其圖形。掌握以坐標(biāo)軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)曲面及母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程。
5、8.掌握空間曲線的參數(shù)方程及一般方程。
9、掌握求空間曲線在坐標(biāo)平面上的投影曲線的方法。
三)重點(diǎn)與難點(diǎn)
重點(diǎn):向量概念,向量的坐標(biāo),數(shù)量積與向量積,平面的點(diǎn)法式方程,直線的標(biāo)準(zhǔn)方程,曲面方程的概念。
難點(diǎn):向量積的概念,繪制幾個(gè)曲面圍成的圖形。
多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用
一)教學(xué)內(nèi)容
多元函數(shù)的基本概念,偏導(dǎo)數(shù),全微分及其應(yīng)用,多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則,隱函數(shù)的求導(dǎo)公式,微分在幾何上的應(yīng)用,方向?qū)?shù)的與梯度,多元函數(shù)的極值及其求法。
其中:
基本概念:多元函數(shù)的概念,偏導(dǎo)數(shù)的概念,全微分的概念,多元函數(shù)極值的概念。
基本理論:全微分與偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系。
基本方法:復(fù)合函數(shù)微分法
6、,應(yīng)用偏導(dǎo)數(shù)求極值的方法。
二)教學(xué)要求
1.理解多元函數(shù)等概念,知道點(diǎn)函數(shù)的概念。
2.知道二元函數(shù)的極限與連續(xù)性的概念,以及有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。
3.理解偏導(dǎo)數(shù)、全微分等概念。并掌握偏導(dǎo)數(shù)與全微分的計(jì)算方法。了解全微分存在的充要條件,了解多元函數(shù)的可微與可偏導(dǎo)之間的區(qū)別和聯(lián)系。
4.熟練掌握復(fù)合函數(shù)的求偏導(dǎo)數(shù)方法,掌握二階偏導(dǎo)數(shù)的求法。
5.掌握求隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的方法,會(huì)求由方程組確定的隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)。
6.了解曲線的切線與法平面及曲面的切平面和法線,并掌握它們的方程的求法。
7.理解多元函數(shù)的極值和條件極值的概念,會(huì)求二元函數(shù)的極值,會(huì)用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值。
7、會(huì)求解一些較簡(jiǎn)單的最大值和最小值的應(yīng)用問(wèn)題。
三)重點(diǎn)和難點(diǎn)
重點(diǎn):偏導(dǎo)數(shù)的概念,全微分的概念,復(fù)合函數(shù)微分法。
難點(diǎn):全微分的概念,復(fù)合函數(shù)(抽象式子)的二階偏導(dǎo)數(shù)的求法。
多元函數(shù)積分
一)教學(xué)內(nèi)容
二重積分的概念與性質(zhì),二重積分的計(jì)算法,二重積分的應(yīng)用。
其中:
基本概念:二重積分的概念。
基本理論:重積分的性質(zhì)。
基本方法:重積分的計(jì)算方法,對(duì)坐標(biāo)的曲線積分。
二)教學(xué)要求
1.理解二重積分,了解重積分的性質(zhì)。
2.熟練掌握二重積分的計(jì)算方法(直角坐標(biāo)系,極坐標(biāo)系)。對(duì)坐標(biāo)的曲線積分,格林公式
3.能應(yīng)用重積分來(lái)表
8、達(dá)和計(jì)算一些幾何量與物理量(如體積、質(zhì)量、重心等)。
三)重點(diǎn)與難點(diǎn)
重點(diǎn):重積分的計(jì)算法。
難點(diǎn):對(duì)坐標(biāo)的曲線積分,格林公式。
無(wú)窮級(jí)數(shù)
一)教學(xué)內(nèi)容
常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì),常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法,冪級(jí)數(shù),函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù),付立葉級(jí)數(shù),正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù),周期為2L的周期函數(shù)的付立葉級(jí)數(shù)。
其中:
基本概念:級(jí)數(shù)收斂與發(fā)散的定義,冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間,傅氏級(jí)數(shù)的定義。
基本理論:數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較法,冪級(jí)數(shù)的四則運(yùn)算與逐項(xiàng)微分、逐項(xiàng)積分。
基本方法:比值審斂法,函數(shù)的冪級(jí)數(shù)表達(dá)式以及定義在上的函
數(shù)展成傅氏級(jí)數(shù)的方法。
二
9、)教學(xué)要求
1.理解無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂、發(fā)散以及和的概念,了解無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂的必要 條件。知道無(wú)窮級(jí)數(shù)的性質(zhì)。
2.熟練掌握幾何級(jí)數(shù)和P級(jí)數(shù)的斂散性。
3.掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較審斂法,熟練掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值審斂法。
4.掌握交錯(cuò)項(xiàng)級(jí)數(shù)的萊布尼茲定理,并能估計(jì)交錯(cuò)級(jí)數(shù)的余項(xiàng)。
5.了解無(wú)窮級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂與條件收斂的概念以及絕對(duì)收斂與條件收斂的關(guān)系。
6.了解函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域及和函數(shù)的概念。
7.熟練掌握較簡(jiǎn)單的冪級(jí)數(shù)的收斂半徑與收斂區(qū)域的求法(可不考慮端點(diǎn)的斂散性)
8.知道冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的一些基本性質(zhì)。
9.知道函數(shù)展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)的充要條件。
10.掌握的馬克勞林展開(kāi)式。掌握把
10、初等函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)的直接方法,熟練掌握把初等函數(shù)展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)的“間接方法”。
11.了解三角函數(shù)組在上的正交性。知道函數(shù)展開(kāi)成付立葉級(jí)數(shù)的充分條件(狄克雷條件),會(huì)將定義在和[-1,1]上的函數(shù)展成付立葉級(jí)數(shù)。并會(huì)將定義在上和[0,1]的函數(shù)展成正弦或余弦付立葉級(jí)數(shù)。
三)重點(diǎn)與難點(diǎn)
重點(diǎn):無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂和發(fā)散的概念,正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值審斂法,把函數(shù)展開(kāi)為冪
級(jí)數(shù)的“間接法”以及收斂區(qū)間的求法,定義在上的函數(shù)展成傅氏級(jí)數(shù) 的方法。
難點(diǎn):正項(xiàng)級(jí)數(shù)比值審斂法的證明,函數(shù)展成冪級(jí)數(shù)的直接法和余項(xiàng)的估計(jì)。
三、學(xué)時(shí)分配表
序號(hào)
內(nèi)容
講授
習(xí)題課
小計(jì)
1
空間解析幾何
11、與向量代數(shù)
10
2
12
2
多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用
14
4
18
3
多元函數(shù)積分
12
6
18
4
無(wú)窮級(jí)數(shù)
12
4
16
合 計(jì)
48
16
64
四、有關(guān)說(shuō)明
實(shí)踐教學(xué)環(huán)節(jié) 無(wú)
考核方式:
本課程為考試科目,課程成績(jī)由平時(shí)成績(jī)、考試成績(jī)組成比例為3:7。
教材及教學(xué)參考書(shū)
教材;《高等數(shù)學(xué)》,盛祥耀 編,高等教育出版社,高等教育出版社。
參考書(shū):其它同名教材。
執(zhí)筆人:許定亮
審定人:劉 坤
批準(zhǔn)人:沈京一