高三文科數(shù)學(xué)前三題訓(xùn)練 1在平面直角坐標(biāo)系中，以為始邊，角的終邊與單位圓的交點(diǎn)在第一象限，已知. （1）若,求的值. （2）若點(diǎn)橫坐標(biāo)為,求. 2． 市民李生居住在甲地,工作在乙地,他的小孩就讀的小學(xué)在丙地,三地之間的道路情況如圖所示.假設(shè)工作日不走其它道路,只在圖示的道路中往返,每次在路口選擇道路是隨機(jī)的.同一條道路去程與回程是否堵車互不影響.假設(shè)李生早上需要先開車送小孩去丙地小學(xué)，再返回經(jīng)甲地趕去乙地上班， （1）寫出李生可能走的所有路線；（比如DDA表示走D路從甲到丙，再走D路回到甲，然后走A路到達(dá)乙）; （2）假設(shè)從甲到乙方向的道路B和從丙到甲方向的 道路D道路擁堵，其它方向均通暢，但李生不知道 相關(guān)信息，那么從出發(fā)到回到上班地沒有遇到過擁堵的概率是多少？ 第2題圖 乙 甲 丙 第18題圖 3． 如圖，在四棱柱中， 已知底面是邊長為的正方形， 側(cè)棱垂直于底面，且． （1）點(diǎn)在側(cè)棱上，若， 求證：平面； （2）求三棱錐的體積． 4已知函數(shù)的一系列對(duì)應(yīng)值如下表： （1）求的解析式； （2）若在中，，，，求的面積． 5．（本題滿分12分） 某賽季，甲、乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員都參加了7場比賽，他們所有比賽得分的情況用如圖所示的莖葉圖表示 1 2 3 2 3 3 7 1 0 1 4 7 5 4 2 3 2 甲 乙 （1）求甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員得分的中位數(shù)； （2）你認(rèn)為哪位運(yùn)動(dòng)員的成績更穩(wěn)定？ （3）如果從甲、乙兩位運(yùn)動(dòng)員的7場得分中各隨機(jī)抽取一場的得分，求甲的得分大于乙的得分的概率．（參考數(shù)據(jù)：，） 6．（1）求證： EF⊥平面ABC； （2）求此三棱錐A—BCD的表面積； （3）若E、F分別是AC、AD上的中點(diǎn)，求點(diǎn)A到平面BEF的距離． 7已知函數(shù). （1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間； （2）若，求的值. 8．（本小題滿分12分） 某中學(xué)高三年級(jí)從甲、乙兩個(gè)班級(jí)各選出7名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽，他們?nèi)〉玫某煽儯M分100分）的莖葉圖如圖3，其中甲班學(xué)生的平均分是85，乙班學(xué)生成績的中位數(shù)是83. （1）求和的值； （2）計(jì)算甲班7位學(xué)生成績的方差； （3）從成績?cè)?0分以上的學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生， 求甲班至少有一名學(xué)生的概率. 參考公式：方差， 其中. 9 已知四棱錐的正視圖是一個(gè)底邊長為、腰長為的等腰三角形，圖4、圖5 分別是四棱錐的側(cè)視圖和俯視圖. （1）求證：； （2）求四棱錐的側(cè)面的面積. 高三文科數(shù)學(xué)前三題訓(xùn)練答案 1．⑴解法1、 由題可知：，， ……1分 ， ……2分 ，得 ……3分 ∴， ……4分 解法2、 由題可知：， ……1分 ， ……2分 ∵，∴ ……3分 ， 得 ……4分 解法3、 設(shè)，（列關(guān)于x、y的方程組2分，解方程組求得x、y的值1分，求正切1分） ⑵解法1、 由⑴， 記， ∴，（每式1分） ……6分 ∵ ，得（列式計(jì)算各1分） ……8分 （列式計(jì)算各1分）……10分 ∴（列式計(jì)算各1分）…12分 解法2、 由題意得：的直線方程為 ……6分 則 即（列式計(jì)算各1分） ……8分 則點(diǎn)到直線的距離為（列式計(jì)算各1分）……10分 又，∴（每式1分）…12分 解法3、 即 （每式1分） ……6分 即：， ， ……7分 ，，…9分 （模長、角的余弦各1分） ∴ ……10分 則（列式計(jì)算各1分）…12分 解法4、根據(jù)坐標(biāo)的幾何意義求面積（求B點(diǎn)的坐標(biāo)2分，求三角形邊長2分，求某個(gè)內(nèi)角的余弦與正弦各1分，面積表達(dá)式1分，結(jié)果1分） 2．⑴李生可能走的所有路線分別是：DDA，DDB，DDC，DEA，DEB，DEC，EEA，EEB，EEC，EDA，EDB，EDC（1-2個(gè)1分,3-5個(gè)2分,5-7個(gè)3分,7-11個(gè)4分，）………5分 共12種情況 ……6分 ⑵從出發(fā)到回到上班地沒有遇到過擁堵的走法有：DEA，DEC，EEA，EEC ……7分 共4種情況， ……8分 所以從出發(fā)到回到上班地沒有遇到過擁堵的概率（文字說明1分）…12分 3．⑴解法1、 依題意，，，在中， ……1分 同理可知，， （每式1分） ……3分 所以， ……4分 則， ……5分 同理可證，， ……6分 由于，平面，平面， ……7分 所以，平面． ……8分 解法2、 由（或）和證明平面（證明任何一個(gè)線線垂直關(guān)系給5分，第二個(gè)線線垂直關(guān)系給1分） ⑵解法1、 如圖1，易知三棱錐的體積等于四棱柱的體積減去四個(gè)體積相等的三棱錐的體積，即（文字說明1分）……11分 ……13分 ……14分 （第18題圖1） （第18題圖2） 解法2、 依題意知，三棱錐的各棱長分別是 ，（每式1分）……10分 如圖2，設(shè)的中點(diǎn)為，連接， 則，，且， 于是平面， ……12分 設(shè)的中點(diǎn)為，連接，則，且， 則三角形的面積為， ……13分 所以，三棱錐的體積． ……14分 4（本題滿分12分） 已知函數(shù)的一系列對(duì)應(yīng)值如下表： （1）求的解析式； （2）若在中，，，，求的面積． 解：（1）由題中表格給出的信息可知，函數(shù)的周期為， 所以. ……………………………………………2分 注意到，也即，由，所以 ………………………………………………4分 所以函數(shù)的解析式為（或者） ……………………5分 （2）∵，∴或 ……………………………6分 當(dāng)時(shí)，在中，由正弦定理得，， ∴， ……………………………………7分 ∵，∴，∴， ………………………………8分 ∴，…9分 ∴．…………………10分 同理可求得,當(dāng)時(shí), …………………12分 （注：本題中第一問由于取點(diǎn)的不同而導(dǎo)致求周期和方法眾多，只要言之有理并能正確求出即給分）. 5（本題滿分12分） 1 2 3 2 3 3 7 1 0 1 4 7 5 4 2 3 2 甲 乙 某賽季，甲、乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員都參加了7場比賽，他們所有比賽得分的情況用如圖所示的莖葉圖表示 （1）求甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員得分的中位數(shù)； （2）你認(rèn)為哪位運(yùn)動(dòng)員的成績更穩(wěn)定？ （3）如果從甲、乙兩位運(yùn)動(dòng)員的7場得分中各隨機(jī)抽取一場的得分，求甲的得分大于乙的得分的概率．（參考數(shù)據(jù)：，） 解：（1）運(yùn)動(dòng)員甲得分的中位數(shù)是22，運(yùn)動(dòng)員乙得分的中位數(shù)是23……………………2分 （2） ……………………3分 ………………………4分 …………………………………………………………………5分 ……………………………………………………………6分 ，從而甲運(yùn)動(dòng)員的成績更穩(wěn)定 ………………………………7分 （3）從甲、乙兩位運(yùn)動(dòng)員的7場得分中各隨機(jī)抽取一場的得分的基本事件總數(shù)為49 …8分 其中甲的得分大于乙的是：甲得14分有3場，甲得17分有3場，甲得15分有3場，甲得24分有4場，甲得22分有3場，甲得23分有3場，甲得32分有7場，共計(jì)26場 ……10分 從而甲的得分大于乙的得分的概率為 ………………………………12分 6. （本題滿分14分） 如圖，己知?BCD中，∠BCD = 900，BC＝CD＝2，AB⊥平面BCD，∠ADB=450，E、F分別是AC、AD上的動(dòng)點(diǎn)，且EF//CD （1）求證： EF⊥平面ABC； （2）求此三棱錐A—BCD的表面積； （3）若E、F分別是AC、AD上的中點(diǎn)，求點(diǎn)A到平面BEF的距離． （1）證明：因?yàn)锳B⊥平面BCD，所以AB⊥CD， 又在△BCD中，∠BCD = 900，所以，BC⊥CD，又AB∩BC＝B， 所以，CD⊥平面ABC， ………………………………………………3分 又因，所以EF⊥平面ABC ………………………4分 （2）因CD⊥平面ABC，所以CD⊥AC，CD⊥BC；又因AB⊥平面BCD，所以AB⊥BC、AB⊥BD； 所以三棱錐A-BCD的四個(gè)面都是直角三角形。因BC=CD=2，故BD=； 又∠ADB = 450，故BD=AB=，AC=，所以： （3）解：因EF⊥平面ABC，BE在面BCD內(nèi)，所以，EF⊥BE， 又因E，F(xiàn)分別是AC，CD的中點(diǎn)，所以，又AB⊥BC，因此BE是△ABC的中線， 所以，，所以： ，設(shè)A到面BEF的距離為h, 因EF⊥平面ABC， 根據(jù)，所以， 所以，A到面BEF的距離為 ……………………………14分 7．（本小題滿分12分） (本小題主要考查三角函數(shù)性質(zhì)、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、二倍角公式等知識(shí), 考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法和運(yùn)算求解能力) （1） 解： …………… 1分 . …………… 3分 由 …………… 4分 解得Z. …………… 5分 ∴的單調(diào)遞增區(qū)間是Z. ………… 6分 （2）解：由（1）可知， ∴，得. …………… 8分 ∴ …………… 9分 …………… 10分 …………… 11分 . …………… 12分 8．（本小題滿分12分） (本小題主要考查莖葉圖、樣本均值、樣本方差、概率等知識(shí), 考查或然與必然的數(shù)學(xué)思想方法，以及數(shù)據(jù)處理能力、運(yùn)算求解能力和應(yīng)用意識(shí)) （1）解：∵甲班學(xué)生的平均分是85， ∴. …………… 1分 ∴. …………… 2分 ∵乙班學(xué)生成績的中位數(shù)是83， ∴. …………… 3分 （2）解：甲班7位學(xué)生成績的方差為 . …… 5分 （3）解：甲班成績?cè)?0分以上的學(xué)生有兩名，分別記為， …………… 6分 乙班成績?cè)?0分以上的學(xué)生有三名，分別記為. …………… 7分 從這五名學(xué)生任意抽取兩名學(xué)生共有10種情況： . …………… 9分 其中甲班至少有一名學(xué)生共有7種情況： . ……………11分 記“從成績?cè)?0分以上的學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生，甲班至少有一名學(xué)生”為事 件，則. 答：從成績?cè)?0分以上的學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生，甲校至少有一名學(xué)生的概率為. ……………12分 9．（本小題滿分14分） （本小題主要考查空間線面位置關(guān)系、三視圖、幾何體的側(cè)面積等知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力） （1）證明：依題意，可知點(diǎn)在平面上的正射影是線段的中點(diǎn)，連接， 則平面. …………… 2分 ∵平面， ∴. …………… 3分 ∵，平面，平面， ∴平面. …………… 5分 ∵平面， ∴. …………… 6分 （2）解：依題意，在等腰三角形中，，， 在Rt△中，，…………… 7分 過作，垂足為，連接， ∵平面，平面， ∴. …………… 8分 ∵平面，平面，， ∴平面. …………… 9分 ∵平面， ∴. …………… 10分 依題意得. …………… 11分 在Rt△中， ， …………… 12分 ∴△的面積為. ∴四棱錐的側(cè)面的面積為.