高三文科數(shù)學前三題訓練 1在平面直角坐標系中，以為始邊，角的終邊與單位圓的交點在第一象限，已知. （1）若,求的值. （2）若點橫坐標為,求. 2． 市民李生居住在甲地,工作在乙地,他的小孩就讀的小學在丙地,三地之間的道路情況如圖所示.假設工作日不走其它道路,只在圖示的道路中往返,每次在路口選擇道路是隨機的.同一條道路去程與回程是否堵車互不影響.假設李生早上需要先開車送小孩去丙地小學，再返回經甲地趕去乙地上班， （1）寫出李生可能走的所有路線；（比如DDA表示走D路從甲到丙，再走D路回到甲，然后走A路到達乙）; （2）假設從甲到乙方向的道路B和從丙到甲方向的 道路D道路擁堵，其它方向均通暢，但李生不知道 相關信息，那么從出發(fā)到回到上班地沒有遇到過擁堵的概率是多少？ 第2題圖 乙 甲 丙 第18題圖 3． 如圖，在四棱柱中， 已知底面是邊長為的正方形， 側棱垂直于底面，且． （1）點在側棱上，若， 求證：平面； （2）求三棱錐的體積． 4已知函數(shù)的一系列對應值如下表： （1）求的解析式； （2）若在中，，，，求的面積． 5．（本題滿分12分） 某賽季，甲、乙兩名籃球運動員都參加了7場比賽，他們所有比賽得分的情況用如圖所示的莖葉圖表示 1 2 3 2 3 3 7 1 0 1 4 7 5 4 2 3 2 甲 乙 （1）求甲、乙兩名運動員得分的中位數(shù)； （2）你認為哪位運動員的成績更穩(wěn)定？ （3）如果從甲、乙兩位運動員的7場得分中各隨機抽取一場的得分，求甲的得分大于乙的得分的概率．（參考數(shù)據(jù)：，） 6．（1）求證： EF⊥平面ABC； （2）求此三棱錐A—BCD的表面積； （3）若E、F分別是AC、AD上的中點，求點A到平面BEF的距離． 7已知函數(shù). （1）求函數(shù)的單調遞增區(qū)間； （2）若，求的值. 8．（本小題滿分12分） 某中學高三年級從甲、乙兩個班級各選出7名學生參加數(shù)學競賽，他們取得的成績（滿分100分）的莖葉圖如圖3，其中甲班學生的平均分是85，乙班學生成績的中位數(shù)是83. （1）求和的值； （2）計算甲班7位學生成績的方差； （3）從成績在90分以上的學生中隨機抽取兩名學生， 求甲班至少有一名學生的概率. 參考公式：方差， 其中. 9 已知四棱錐的正視圖是一個底邊長為、腰長為的等腰三角形，圖4、圖5 分別是四棱錐的側視圖和俯視圖. （1）求證：； （2）求四棱錐的側面的面積. 高三文科數(shù)學前三題訓練答案 1．⑴解法1、 由題可知：，， ……1分 ， ……2分 ，得 ……3分 ∴， ……4分 解法2、 由題可知：， ……1分 ， ……2分 ∵，∴ ……3分 ， 得 ……4分 解法3、 設，（列關于x、y的方程組2分，解方程組求得x、y的值1分，求正切1分） ⑵解法1、 由⑴， 記， ∴，（每式1分） ……6分 ∵ ，得（列式計算各1分） ……8分 （列式計算各1分）……10分 ∴（列式計算各1分）…12分 解法2、 由題意得：的直線方程為 ……6分 則 即（列式計算各1分） ……8分 則點到直線的距離為（列式計算各1分）……10分 又，∴（每式1分）…12分 解法3、 即 （每式1分） ……6分 即：， ， ……7分 ，，…9分 （模長、角的余弦各1分） ∴ ……10分 則（列式計算各1分）…12分 解法4、根據(jù)坐標的幾何意義求面積（求B點的坐標2分，求三角形邊長2分，求某個內角的余弦與正弦各1分，面積表達式1分，結果1分） 2．⑴李生可能走的所有路線分別是：DDA，DDB，DDC，DEA，DEB，DEC，EEA，EEB，EEC，EDA，EDB，EDC（1-2個1分,3-5個2分,5-7個3分,7-11個4分，）………5分 共12種情況 ……6分 ⑵從出發(fā)到回到上班地沒有遇到過擁堵的走法有：DEA，DEC，EEA，EEC ……7分 共4種情況， ……8分 所以從出發(fā)到回到上班地沒有遇到過擁堵的概率（文字說明1分）…12分 3．⑴解法1、 依題意，，，在中， ……1分 同理可知，， （每式1分） ……3分 所以， ……4分 則， ……5分 同理可證，， ……6分 由于，平面，平面， ……7分 所以，平面． ……8分 解法2、 由（或）和證明平面（證明任何一個線線垂直關系給5分，第二個線線垂直關系給1分） ⑵解法1、 如圖1，易知三棱錐的體積等于四棱柱的體積減去四個體積相等的三棱錐的體積，即（文字說明1分）……11分 ……13分 ……14分 （第18題圖1） （第18題圖2） 解法2、 依題意知，三棱錐的各棱長分別是 ，（每式1分）……10分 如圖2，設的中點為，連接， 則，，且， 于是平面， ……12分 設的中點為，連接，則，且， 則三角形的面積為， ……13分 所以，三棱錐的體積． ……14分 4（本題滿分12分） 已知函數(shù)的一系列對應值如下表： （1）求的解析式； （2）若在中，，，，求的面積． 解：（1）由題中表格給出的信息可知，函數(shù)的周期為， 所以. ……………………………………………2分 注意到，也即，由，所以 ………………………………………………4分 所以函數(shù)的解析式為（或者） ……………………5分 （2）∵，∴或 ……………………………6分 當時，在中，由正弦定理得，， ∴， ……………………………………7分 ∵，∴，∴， ………………………………8分 ∴，…9分 ∴．…………………10分 同理可求得,當時, …………………12分 （注：本題中第一問由于取點的不同而導致求周期和方法眾多，只要言之有理并能正確求出即給分）. 5（本題滿分12分） 1 2 3 2 3 3 7 1 0 1 4 7 5 4 2 3 2 甲 乙 某賽季，甲、乙兩名籃球運動員都參加了7場比賽，他們所有比賽得分的情況用如圖所示的莖葉圖表示 （1）求甲、乙兩名運動員得分的中位數(shù)； （2）你認為哪位運動員的成績更穩(wěn)定？ （3）如果從甲、乙兩位運動員的7場得分中各隨機抽取一場的得分，求甲的得分大于乙的得分的概率．（參考數(shù)據(jù)：，） 解：（1）運動員甲得分的中位數(shù)是22，運動員乙得分的中位數(shù)是23……………………2分 （2） ……………………3分 ………………………4分 …………………………………………………………………5分 ……………………………………………………………6分 ，從而甲運動員的成績更穩(wěn)定 ………………………………7分 （3）從甲、乙兩位運動員的7場得分中各隨機抽取一場的得分的基本事件總數(shù)為49 …8分 其中甲的得分大于乙的是：甲得14分有3場，甲得17分有3場，甲得15分有3場，甲得24分有4場，甲得22分有3場，甲得23分有3場，甲得32分有7場，共計26場 ……10分 從而甲的得分大于乙的得分的概率為 ………………………………12分 6. （本題滿分14分） 如圖，己知?BCD中，∠BCD = 900，BC＝CD＝2，AB⊥平面BCD，∠ADB=450，E、F分別是AC、AD上的動點，且EF//CD （1）求證： EF⊥平面ABC； （2）求此三棱錐A—BCD的表面積； （3）若E、F分別是AC、AD上的中點，求點A到平面BEF的距離． （1）證明：因為AB⊥平面BCD，所以AB⊥CD， 又在△BCD中，∠BCD = 900，所以，BC⊥CD，又AB∩BC＝B， 所以，CD⊥平面ABC， ………………………………………………3分 又因，所以EF⊥平面ABC ………………………4分 （2）因CD⊥平面ABC，所以CD⊥AC，CD⊥BC；又因AB⊥平面BCD，所以AB⊥BC、AB⊥BD； 所以三棱錐A-BCD的四個面都是直角三角形。因BC=CD=2，故BD=； 又∠ADB = 450，故BD=AB=，AC=，所以： （3）解：因EF⊥平面ABC，BE在面BCD內，所以，EF⊥BE， 又因E，F(xiàn)分別是AC，CD的中點，所以，又AB⊥BC，因此BE是△ABC的中線， 所以，，所以： ，設A到面BEF的距離為h, 因EF⊥平面ABC， 根據(jù)，所以， 所以，A到面BEF的距離為 ……………………………14分 7．（本小題滿分12分） (本小題主要考查三角函數(shù)性質、同角三角函數(shù)的基本關系、二倍角公式等知識, 考查化歸與轉化的數(shù)學思想方法和運算求解能力) （1） 解： …………… 1分 . …………… 3分 由 …………… 4分 解得Z. …………… 5分 ∴的單調遞增區(qū)間是Z. ………… 6分 （2）解：由（1）可知， ∴，得. …………… 8分 ∴ …………… 9分 …………… 10分 …………… 11分 . …………… 12分 8．（本小題滿分12分） (本小題主要考查莖葉圖、樣本均值、樣本方差、概率等知識, 考查或然與必然的數(shù)學思想方法，以及數(shù)據(jù)處理能力、運算求解能力和應用意識) （1）解：∵甲班學生的平均分是85， ∴. …………… 1分 ∴. …………… 2分 ∵乙班學生成績的中位數(shù)是83， ∴. …………… 3分 （2）解：甲班7位學生成績的方差為 . …… 5分 （3）解：甲班成績在90分以上的學生有兩名，分別記為， …………… 6分 乙班成績在90分以上的學生有三名，分別記為. …………… 7分 從這五名學生任意抽取兩名學生共有10種情況： . …………… 9分 其中甲班至少有一名學生共有7種情況： . ……………11分 記“從成績在90分以上的學生中隨機抽取兩名學生，甲班至少有一名學生”為事 件，則. 答：從成績在90分以上的學生中隨機抽取兩名學生，甲校至少有一名學生的概率為. ……………12分 9．（本小題滿分14分） （本小題主要考查空間線面位置關系、三視圖、幾何體的側面積等知識，考查數(shù)形結合、化歸與轉化的數(shù)學思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力） （1）證明：依題意，可知點在平面上的正射影是線段的中點，連接， 則平面. …………… 2分 ∵平面， ∴. …………… 3分 ∵，平面，平面， ∴平面. …………… 5分 ∵平面， ∴. …………… 6分 （2）解：依題意，在等腰三角形中，，， 在Rt△中，，…………… 7分 過作，垂足為，連接， ∵平面，平面， ∴. …………… 8分 ∵平面，平面，， ∴平面. …………… 9分 ∵平面， ∴. …………… 10分 依題意得. …………… 11分 在Rt△中， ， …………… 12分 ∴△的面積為. ∴四棱錐的側面的面積為.