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操作探究 一.選擇題 1．（xx?臨安?3 分.）z 如圖，正方形硬紙片 ABCD 的邊長是 4，點(diǎn) E.F 分別是 AB.BC 的中 點(diǎn)，若沿左圖中的虛線剪開，拼成如圖的一座“小別墅”，則圖中陰影部分的面積是（ ） A．2 B．4 C．8 D．10 【分析】本題考查空間想象能力． 【解答】解：陰影部分由一個(gè)等腰直角三角形和一個(gè)直角梯形組成， 由第一個(gè)圖形可知：陰影部分的兩部分可構(gòu)成正方形的四分之一， 正方形的面積=44=16， ∴圖中陰影部分的面積是 164=4． 故選：B． 【點(diǎn)評】解決本題的關(guān)鍵是得到陰影部分的組成與原正方形面積之間的關(guān)系%@z#step~.co& 2. （xx?嘉興?3 分）將一張正方形紙片按如圖步驟①,②沿虛線對折兩次,然后沿③中平 行于底邊的虛線剪去一個(gè)角,展開鋪平后的圖形是（ ） A. （A） B. （B） C. （C） D. （D） 【答案】A 【解析】【分析】根據(jù)兩次折疊都是沿著正方形的對角線折疊, 展開后所得圖形的頂點(diǎn)一定 在正方形的對角線上, 根據(jù)③的剪法，中間應(yīng)該是一個(gè)正方形. 【解答】根據(jù)題意，兩次折疊都是沿著正方形的對角線折疊的，根據(jù)③的剪法，展開后所得 圖形的頂點(diǎn)一定在正方形的對角線上,而且中間應(yīng)該是一個(gè)正方形. 故選 A． 【點(diǎn)評】關(guān)鍵是要理解折疊的過程，得到關(guān)鍵信息，如本題得到展開后的圖形的頂點(diǎn)在正方 形的對角線上是解題的關(guān)鍵． 3. （xx?廣西南寧?3 分）如圖，矩形紙片 ABCD，AB=4，BC=3，點(diǎn) P 在 BC 邊上，將△CDP 沿 DP 折疊，點(diǎn) C 落在點(diǎn) E 處，PE.DE 分別交 AB 于點(diǎn) O、F，且 OP=OF，則 cos∠ADF 的值為 （ ） A． B． C． D． 【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得出 DC=DE.CP=EP，由∠EOF=∠BOP、∠B=∠E.OP=OF 可得出 △OEF≌△OBP（AAS），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得出 OE=OB.EF=BP，設(shè) EF=x，則 BP=x、DF=4 ﹣x、BF=PC=3﹣x，進(jìn)而可得出 AF=1+x，在 Rt△DAF 中，利用勾股定理可求出 x 的值，再利 用余弦的定義即可求出 cos∠ADF 的值． 【解答】解：根據(jù)折疊，可知：△DCP≌△DEP， ∴DC=DE=4，CP=EP． 在△OEF 和△OBP 中，， ∴△OEF≌△OBP（AAS）， ∴OE=OB，EF=BP． 設(shè) EF=x，則 BP=x，DF=DE﹣EF=4﹣x， 又∵BF=OB+OF=OE+OP=PE=PC，PC=BC﹣BP=3﹣x， ∴AF=AB﹣BF=1+x． 在 Rt△DAF 中，AF2+AD2=DF2，即（1+x）2+32=（4﹣x）2， 解得：x=， ∴DF=4﹣x=， ∴cos∠ADF==． 故選：C． 【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理以及解直角三角形，利用勾股定理 結(jié)合 AF=1+x，求出 AF 的長度是解題的關(guān)鍵． 4.（xx?海南?3 分）如圖 1，分別沿長方形紙片 ABCD 和正方形紙片 EFGH 的對角線 AC，EG 剪開，拼成如圖 2 所示的?KLMN，若中間空白部分四邊形 OPQR 恰好是正方形，且?KLMN 的面 積為 50，則正方形 EFGH 的面積為（ ） A．24 B．25 C．26 D．27 【分析】如圖，設(shè) PM=PL=NR=AR=a，正方形 ORQP 的邊長為 b，構(gòu)建方程即可解決問題； 【解答】解：如圖，設(shè) PM=PL=NR=AR=a，正方形 ORQP 的邊長為 b． 由題意：a2+b2+（a+b）（a﹣b）=50， ∴a2=25， ∴正方形 EFGH 的面積=a2=25， 故選：B． 【點(diǎn)評】本題考查圖形的拼剪，矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用 參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，學(xué)會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題，屬于中考選擇題中的壓軸題． 二.填空題 1. （xx?杭州?4 分）折疊矩形紙片 ABCD 時(shí)，發(fā)現(xiàn)可以進(jìn)行如 下操作：①把△ADE 翻折，點(diǎn) A 落在 DC 邊上的點(diǎn) F 處，折痕為 DE，點(diǎn) E 在 AB 邊上；②把紙 片展開并鋪平；③把△CDG 翻折，點(diǎn) C 落在直線 AE 上的點(diǎn) H 處，折痕為 DG，點(diǎn) G 在 BC 邊上， 若 AB=AD+2，EH=1，則 AD= 。 【答案】或 3 【考點(diǎn)】勾股定理，矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，翻折變換（折疊問題） 【解析】【解答】∵當(dāng)點(diǎn) H 在線段 AE 上時(shí)把△ADE 翻折，點(diǎn) A 落在 DC 邊上的點(diǎn) F 處，折痕 為 DE，點(diǎn) E 在 AB 邊上 ∴四邊形 ADFE 是正方形 ∴AD=AE ∵AH=AE-EH=AD-1 ∵把△CDG 翻折，點(diǎn) C 落在直線 AE 上的點(diǎn) H 處，折痕為 DG，點(diǎn) G 在 BC 邊上 ∴DC=DH=AB=AD+2 在Rt△ADH 中，AD2+AH2=DH2 ∴AD2+（AD-1）2=（AD+2）2 解之：AD=，AD=（舍去） ∴AD= 當(dāng)點(diǎn) H 在線段 BE 上時(shí) 則 AH=AE-EH=AD+1 在Rt△ADH中，AD2+AH2=DH2 ∴AD2+（AD+1）2=（AD+2）2 解之：AD=3，AD=-1（舍去） 故答案為： 或 3 【分析】分兩種情況：當(dāng)點(diǎn) H 在線段 AE 上；當(dāng)點(diǎn) H 在線段 BE 上。根據(jù)①的折疊，可得出四 邊形 ADFE 是正方形，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得出 AD=AE，從而可得出 AH=AD-1（或 AH=AD+1）， 再根據(jù)②的折疊可得出 DH=AD+2，然后根據(jù)勾股定理求出 AD 的長。 2.（xx?臨安?3 分.）馬小虎準(zhǔn)備制作一個(gè)封閉的正方體盒子，他先用 5 個(gè)大小一樣的正 方形制成如圖所示的拼接圖形（實(shí)線部分），經(jīng)折疊后發(fā)現(xiàn)還少一個(gè)面，請你在圖中的拼接 圖形上再接一個(gè)正方形，使新拼接成的圖形經(jīng)過折疊后能成為一個(gè)封閉的正方體盒子（添加 所有符合要求的正方形，添加的正方形用陰影表示） ． 【分析】由平面圖形的折疊及正方體的展開圖解題． 【解答】解：， 故答案為：． 【點(diǎn)評】本題通過考查正方體的側(cè)面展開圖，展示了這樣一個(gè)教學(xué)導(dǎo)向，教學(xué)中要讓學(xué)生確 實(shí)經(jīng)歷活動(dòng)過程，而不要將活動(dòng)層次停留于記憶水平．我們有些老師在教學(xué)“展開與折疊” 時(shí)，不是去引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手操作，而是給出幾種結(jié)論，這樣教出的學(xué)生肯定遇到動(dòng)手操作題型 時(shí)就束手無策了． 3. （xx?金華、麗水?4 分）如圖 2，小靚用七巧板拼成一幅裝飾圖，放入長方形 ABCD 內(nèi)， 裝飾圖中的三角形頂點(diǎn) E ，F(xiàn) 分別在邊 AB ，BC 上，三角形①的邊 GD 在邊 AD 上，則 的值是 ． 【解析】【解答】解：如圖，過 G 作 GH⊥BC 交 BC 于 H，交三角形②斜邊于點(diǎn) I， 則 AB=GH=GI+HI，BC=AD=AG+GD=EI+GD。 設(shè)原來七巧板的邊長為 4， 則三角形②斜邊的長度=4，GI= ，三角形③斜邊長 IH= ， 則 AB=GI+IH= +2， 而 AG=EI=4，GD=4， 則 BC=8，∴ 故答案為： 。 【分析】可設(shè)原來七巧板的邊長為 4（或一個(gè)字母），在圖 2 中，可分別求出 AB 與 BC 的長。 過 G 作 BC 的垂線段，垂足為 H，則 AB=GH，而 GH 恰好是三角形②斜邊上高的長度與三角形 ③斜邊長度的和；同樣的可求出 BC 的，求比值即可。 4. （xx湖北省恩施3 分）在 Rt△ABC 中，AB=1，∠A=60，∠ABC=90，如圖所示 將 Rt△ABC 沿直線 l 無滑動(dòng)地滾動(dòng)至 Rt△DEF，則點(diǎn) B 所經(jīng)過的路徑與直線 l 所圍成的封閉 圖形的面積為 ．（結(jié)果不取近似值） 【分析】先得到∠ACB=30，BC=，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得到點(diǎn) B 路徑分部分：第一部分為 以直角三角形 30的直角頂點(diǎn)為圓心，為半徑，圓心角為 150的弧長；第二部分為以 直角三角形 60的直角頂點(diǎn)為圓心，1 為半徑，圓心角為 120的弧長，然后根據(jù)扇形的面 積公式計(jì)算點(diǎn) B 所經(jīng)過的路徑與直線 l 所圍成的封閉圖形的面積． 【解答】解：∵Rt△ABC 中，∠A=60，∠ABC=90， ∴∠ACB=30，BC=， 將 Rt△ABC 沿直線 l 無滑動(dòng)地滾動(dòng)至 Rt△DEF，點(diǎn) B 路徑分部分：第一部分為以直角三角形 30的直角頂點(diǎn)為圓心 為半徑，圓心角為 150的弧長；第二部分為以直角三角形 60 的直角頂點(diǎn)為圓心，1 為半徑，圓心角為 120的弧長； ∴ 點(diǎn) B 所 經(jīng) 過 的 路 徑 與 直 線 l 所 圍 成 的 封 閉 圖 形 的 面 積 =． 故答案為． 【點(diǎn)評】本題考查了軌跡：利用特殊幾何圖形描述點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡，然后利用幾何性質(zhì)計(jì)算相 應(yīng)的幾何量． 5.（xx?貴州貴陽?8 分）如圖①，在 Rt△ABC 中，以下是小亮探究與之間關(guān)系 的方法： ∵sinA=，sinB= ∴c=，c= ∴= 根據(jù)你掌握的三角函數(shù)知識．在圖②的銳角△ABC 中，探究、、之間的關(guān) 系，并寫出探究過程． 【分析】三式相等，理由為：過 A 作 AD⊥BC，BE⊥AC，在直角三角形 ABD 中，利用銳角三 角函數(shù)定義表示出 AD，在直角三角形 ADC 中，利用銳角三角函數(shù)定義表示出 AD，兩者相等 即可得證． 【解答】解：==，理由為： 過 A 作 AD⊥BC，BE⊥AC， 在 Rt△ABD 中，sinB=，即 AD=csinB， 在 Rt△ADC 中，sinC=，即 AD=bsinC， ∴csinB=bsinC，即= ， 同理可得= 則= =． 【點(diǎn)評】此題考查了解直角三角形，熟練掌握銳角三角函數(shù)定義是解本題的關(guān)鍵． 三.解答題 1.（xx?江蘇無錫?10 分）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn) B 的坐標(biāo)為（6，4）． （1）請用直尺（不帶刻度）和圓規(guī)作一條直線 AC，它與 x 軸和 y 軸的正半軸分別交于點(diǎn) A 和點(diǎn) C，且使∠ABC=90，△ABC 與△AOC 的面積相等．（作圖不必寫作法，但要保留作圖痕 跡．） （2）問：（1）中這樣的直線 AC 是否唯一？若唯一，請說明理由；若不唯一，請?jiān)趫D中畫出 所有這樣的直線 AC，并寫出與之對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式． 【分析】（1）①作線段 OB 的垂直平分線 AC，滿足條件，②作矩形 OA′BC′，直線 A′C′， 滿足條件； （2）分兩種情形分別求解即可解決問題； 【解答】（1）解：如圖△ABC 即為所求； （2）解：這樣的直線不唯一． ①作線段 OB 的垂直平分線 AC，滿足條件，此時(shí)直線的解析式為 y=﹣x+ ②作矩形 OA′BC′，直線 A′C′，滿足條件，此時(shí)直線 A′C′的解析式為 y=﹣x+4． 【點(diǎn)評】本題考查作圖﹣復(fù)雜作圖，待定系數(shù)法等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識， 屬于中考常考題型． 2.（xx?江蘇徐州?7 分）如圖，方格紙中的每個(gè)小方格都是邊長為 1 個(gè)單位的正方形，在 建立平面直角坐標(biāo)系后，△ABC 的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，點(diǎn) B 的坐標(biāo)為（1，0） ①畫出△ABC 關(guān)于 x 軸對稱的△A1B1C1； ②畫出將△ABC 繞原點(diǎn) O 按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90所得的△A2B2C2； ③△A1B1C1 與△A2B2C2 成軸對稱圖形嗎？若成軸對稱圖形，畫出所有的對稱軸； ④△A1B1C1 與△A2B2C2 成中心對稱圖形嗎？若成中心對稱圖形，寫出所有的對稱中心的坐標(biāo)． 【分析】（1）將三角形的各頂點(diǎn)，向 x 軸作垂線并延長相同長度得到三點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)，順次連 接； （2）將三角形的各頂點(diǎn)，繞原點(diǎn) O 按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90得到三點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)．順次連接各對應(yīng) 點(diǎn)得△A2B2C2； （3）從圖中可發(fā)現(xiàn)成軸對稱圖形，根據(jù)軸對稱圖形的性質(zhì)畫出對稱軸即連接兩對應(yīng)點(diǎn)的線 段，做它的垂直平分線； （4）成中心對稱圖形，畫出兩條對應(yīng)點(diǎn)的連線，交點(diǎn)就是對稱中心． 【解答】解：如下圖所示： （3）成軸對稱圖形，根據(jù)軸對稱圖形的性質(zhì)畫出對稱軸即連接兩對應(yīng)點(diǎn)的線段，作它的垂 直平分線， 或連接 A1C1，A2C2 的中點(diǎn)的連線為對稱軸． （4）成中心對稱，對稱中心為線段 BB2 的中點(diǎn) P，坐標(biāo)是（，）． 【點(diǎn)評】本題綜合考查了圖形的變換，在圖形的變換中，關(guān)鍵是找到圖形的對應(yīng)點(diǎn)． 3.（xx?山東東營市?10 分）（1）某學(xué)?！爸腔鄯綀@”數(shù)學(xué)社團(tuán)遇到這樣一個(gè)題目： 如圖 1，在△ABC 中，點(diǎn) O 在線段 BC 上，∠BAO=30，∠OAC=75，AO=，BO：CO=1： 3，求 AB 的長． 經(jīng)過社團(tuán)成員討論發(fā)現(xiàn)，過點(diǎn) B 作 BD∥AC，交 AO 的延長線于點(diǎn) D，通過構(gòu)造△ABD 就可以 解決問題（如圖 2）． 請回答：∠ADB= 75 ，AB= 4 ． （2）請參考以上解決思路，解決問題： 如圖 3，在四邊形 ABCD 中，對角線 AC 與 BD 相交于點(diǎn) O，AC⊥AD，AO=，∠ABC=∠ACB=75， BO：OD=1：3，求 DC 的長． 【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得出∠ADB=∠OAC=75，結(jié)合∠BOD=∠COA 可得出 △BOD∽△COA，利用相似三角形的性質(zhì)可求出 OD 的值，進(jìn)而可得出 AD 的值，由三角形內(nèi)角 和定理可得出∠ABD=75=∠ADB，由等角對等邊可得出 AB=AD=4，此題得解； （2）過點(diǎn) B 作 BE∥AD 交 AC 于點(diǎn) E，同（1）可得出 AE=4，在 Rt△AEB 中，利用勾股定 理可求出 BE 的長度，再在 Rt△CAD 中，利用勾股定理可求出 DC 的長，此題得解． 【解答】解：（1）∵BD∥AC， ∴∠ADB=∠OAC=75． ∵∠BOD=∠COA， ∴△BOD∽△COA， ∴==． 又∵AO=， ∴OD=AO=， ∴AD=AO+OD=4． ∵∠BAD=30，∠ADB=75， ∴∠ABD=180﹣∠BAD﹣∠ADB=75=∠ADB， ∴AB=AD=4． 故答案為：75；4． （2）過點(diǎn) B 作 BE∥AD 交 AC 于點(diǎn) E，如圖所示． ∵AC⊥AD，BE∥AD， ∴∠DAC=∠BEA=90． ∵∠AOD=∠EOB， ∴△AOD∽△EOB， ∴==． ∵BO：OD=1：3， ∴==． ∵AO=3， ∴EO=， ∴AE=4． ∵∠ABC=∠ACB=75， ∴∠BAC=30，AB=AC， ∴AB=2BE． 在 Rt△AEB 中，BE2+AE2=AB2，即（4）2+BE2=（2BE2， 解得：BE=4， ∴AB=AC=8，AD=12． 在 Rt△CAD 中，AC2+AD2=CD2，即 82+122=CD2， 解得：CD=4． 【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理以及平行線的 性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）利用相似三角形的性質(zhì)求出 OD 的值；（2）利用勾股定理求出 BE.CD 的長度． 4.（xx?山東濟(jì)寧市?7 分）在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)課中，某數(shù)學(xué)小組探究求環(huán)形花壇（如圖所 示） 面積的方法，現(xiàn)有以下工具；①卷尺；②直棒 EF；③T 型尺（CD 所在的直線垂 直 平分線段 AB）． （1）在圖 1 中，請你畫出用 T 形尺找大圓圓心的示意圖（保留畫圖痕跡，不寫 畫法）； （2）如圖 2，小華說：“我只用一根直棒和一個(gè)卷尺就可以求出環(huán)形花壇的面積， 具體做 法如下： 將直棒放置到與小圓相切，用卷尺量出此時(shí)直棒與大圓兩交點(diǎn) M，N 之間的距離， 就可 求出環(huán)形花壇的面積”如果測得 MN=10m，請你求出這個(gè)環(huán)形花壇的面積． 【解答】解：（1）如圖點(diǎn) O 即為所求； （2）設(shè)切點(diǎn)為C，連接OM，OC． ∵M(jìn)N 是切線， ∴OC⊥MN， ∴CM=CN=5，∴OM2﹣OC2=CM2=25， ∴S 圓環(huán)=π ?OM2﹣π ?OC2=25π ． 5.一節(jié)數(shù)學(xué)課上，老師提出了這樣一個(gè)問題：如圖 1，點(diǎn) P 是正方形 ABCD 內(nèi)一點(diǎn)，PA=1， PB=2，PC=3．你能求出∠APB 的度數(shù)嗎？ 小明通過觀察、分析、思考，形成了如下思路： 思路一：將△BPC 繞點(diǎn) B 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90，得到△BP′A，連接 PP′，求出∠APB 的度數(shù)； 思路二：將△APB 繞點(diǎn) B 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90，得到△CPB，連接 PP′，求出∠APB 的度數(shù)． 請參考小明的思路，任選一種寫出完整的解答過程． 【類比探究】 如圖 2，若點(diǎn) P 是正方形 ABCD 外一點(diǎn)，PA=3，PB=1，PC=，求∠APB 的度數(shù)． 【分析】（1）思路一、先利用旋轉(zhuǎn)求出∠PBP=90，BP=BP=2，AP=CP=3，利用勾股定理 求出 PP，進(jìn)而判斷出△APP是直角三角形，得出∠APP=90，即可得出結(jié)論； 思路二、同思路一的方法即可得出結(jié)論； （2）同（1）的思路一的方法即可得出結(jié)論． 【解答】解：（1）思路一、如圖 1， 將△BPC 繞點(diǎn) B 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90，得到△BP′A，連接 PP′， ∴△ABP≌△CBP， ∴∠PBP=90，BP=BP=2，AP=CP=3， 在 Rt△PBP中，BP=BP=2， ∴∠BPP=45，根據(jù)勾股定理得，PP=BP=2， ∵AP=1， ∴AP2+PP2=1+8=9， ∵AP2=32=9， ∴AP2+PP2=AP2， ∴△APP是直角三角形，且∠APP=90， ∴∠APB=∠APP+∠BPP=90+45=135； 思路二、同思路一的方法； （2）如圖 2， 將△BPC 繞點(diǎn) B 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90，得到△BP′A，連接 PP′， ∴△ABP≌△CBP， ∴∠PBP=90，BP=BP=1，AP=CP=， 在 Rt△PBP中，BP=BP=1， ∴∠BPP=45，根據(jù)勾股定理得，PP=BP=， ∵AP=3， ∴AP2+PP2=9+2=11， ∵AP2=（）2=11， ∴AP2+PP2=AP2， ∴△APP是直角三角形，且∠APP=90， ∴∠APB=∠APP﹣∠BPP=90﹣45=45． 【點(diǎn)評】此題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì) 和判定，勾股定理，正確作出輔助線是解本題的關(guān)鍵． 6. （xx?金華、麗水?8 分）如圖，在 66 的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長為 1，點(diǎn) A 在 格點(diǎn)（小正方形的頂點(diǎn)）上．試在各網(wǎng)格中畫出頂點(diǎn)在格點(diǎn)上，面積為 6，且符合相應(yīng)條件 的圖形．