2018-2019學年高中數學 第三講 柯西不等式與排序不等式 二 一般形式的柯西不等式講義(含解析)新人教A版選修4-5.doc
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二 一般形式的柯西不等式 名稱 形式 等號成立條件 三維形式的柯西不等式 設a1,a2,a3,b1,b2,b3∈R,則(a+a+a)(b+b+b)≥(a1b1+a2b2+a3b3)2 當且僅當b1=b2=b3=0或存在一個實數k使得ai=kbi(i=1,2,3) 一般形式的柯西不等式 設a1,a2,a3,…,an,b1,b2,b3,…,bn是實數,則(a+a+…+a)(b+b+…+b)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2 當且僅當bi=0(i=1,2,…,n)或存在一個實數k,使得ai=kbi(i=1,2,…,n) [點睛] 一般形式的柯西不等式是二維形式、三維形式、四維形式的柯西不等式的歸納與推廣,其特點可類比二維形式的柯西不等式來總結,左邊是平方和的積,右邊是積的和的平方.在使用時,關鍵是構造出符合柯西不等式的結構形式. 利用柯西不等式證明不等式 [例1] 設x1,x2,…,xn都是正數,求證:++…+≥. [思路點撥] 根據一般柯西不等式的特點,構造兩組數的積的形式,利用柯西不等式證明. [證明] ∵(x1+x2+…+xn) =[(1)2+()2+…+()2]≥ 2=n2, ∴++…+≥. 柯西不等式的結構特征可以記為: (a1+a2+…+an)(b1+b2+…+bn)≥(+ +…+)2. 其中ai,bi∈R+(i=1,2,…,n),在使用柯西不等式時要善于從整體上把握柯西不等式的結構特征,正確地配湊出公式兩側的數是解決問題的關鍵. 1.設a,b,c為正數,且不全相等. 求證:++>. 證明:構造兩組數,,;,,,則由柯西不等式得 (a+b+b+c+c+a)≥(1+1+1)2,①即2(a+b+c)≥9, 于是++≥. 由柯西不等式知,①中有等號成立?== ?a+b=b+c=c+a?a=b=c. 因為a,b,c不全相等,故①中等號不成立, 于是++>. 利用柯西不等式求最值 [例2] (1)已知x,y,z∈R+,且x+y+z=1. 求 + + 的最小值; (2)設2x+3y+5z=29, 求函數μ=++的最大值. [思路點撥] (1)利用++ =(x+y+z). (2)利用(++)2= (1+1+1)2. [解] (1)∵x+y+z=1, ∴++=(x+y+z); ≥2 =(1+2+3)2=36. 當且僅當x==, 即x=,y=,z=時取等號. 所以++的最小值為36. (2)根據柯西不等式,有 (1+1+1)2 ≤[(2x+1)+(3y+4)+(5z+6)](1+1+1) =3(2x+3y+5z+11) =340=120. 故++≤2, 當且僅當2x+1=3y+4=5z+6, 即x=,y=,z=時等號成立. 此時μmax=2. 利用柯西不等式求最值時,關鍵是對原目標函數進行配湊,以保證出現常數結果.同時,要注意等號成立的條件. 2.已知x,y,z∈R,且x-2y+2z=5,則(x+5)2+(y-1)2+(z+3)2的最小值是( ) A.20 B.25 C.36 D.47 解析:選C ∵[(x+5)2+(y-1)2+(z+3)2][12+(-2)2+22]≥[(x+5)+(-2)(y-1)+2(z+3)]2=324,當且僅當==,即x=-3,y=-3,z=1時取等號.故(x+5)2+(y-1)2+(z+3)2的最小值是36. 3.若2x+3y+4z=11,則x2+y2+z2的最小值為________. 解析:∵2x+3y+4z=11,∴由柯西不等式,得 (x2+y2+z2)(4+9+16)≥(2x+3y+4z)2, 故x2+y2+z2≥, 當且僅當==,即x=, y=,z=時取等號. 答案: 4.把一根長為12 m的細繩截成三段,各圍成三個正方形.問:怎樣截法,才能使圍成的三個正方形面積之和S最小,并求此最小值. 解:設三段繩子的長分別為x,y,z,則x+y+z=12,三個正方形的邊長分別為,,均為正數,三個正方形面積之和:S=2+2+2=(x2+y2+z2). ∵(12+12+12)(x2+y2+z2)≥(x+y+z)2=122, 即x2+y2+z2≥48.從而S≥48=3. 當且僅當==時取等號, 又x+y+z=12, ∴x=y(tǒng)=z=4時,Smin=3. 故把繩子三等分時,圍成的三個正方形面積之和最小,最小面積為3 m2. 1.已知a2+b2+c2+d2=5,則ab+bc+cd+ad的最小值為( ) A.5 B.-5 C.25 D.-25 解析:選B (ab+bc+cd+ad)2≤(a2+b2+c2+d2)(b2+c2+d2+a2)=25,當且僅當a=b=c=d=時,等號成立. ∴ab+bc+cd+bd的最小值為-5. 2.已知a+a+…+a=1,x+x+…+x=1,則a1x1+a2x2+…+anxn的最大值是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:選A (a1x1+a2x2+…+anxn)2≤(a+a+…+a)(x+x+…+x)=11=1,當且僅當==…==1時取等號. ∴a1x1+a2x2+…+anxn的最大值是1. 3.已知x,y,z∈R+,且++=1,則x++的最小值是( ) A.5 B.6 C.8 D.9 解析:選D x++=++≥+ + 2=9,當且僅當===時等號成立. 4.設a,b,c,x,y,z是正數,且a2+b2+c2=10,x2+y2+z2=40,ax+by+cz=20,則=( ) A. B. C. D. 解析:選C 由柯西不等式得,(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)≥(ax+by+cz)2=400,當且僅當===時取等號,因此有=. 5.已知2x+3y+z=8,則x2+y2+z2取得最小值時,x,y,z形成的點(x,y,z)=________. 解析:由柯西不等式(22+32+12)(x2+y2+z2)≥(2x+3y+z)2,即x2+y2+z2≥. 當且僅當==z時等號成立. 又2x+3y+z=8, 解得x=,y=,z=, 故所求點為. 答案: 6.設a,b,c為正數,則(a+b+c)的最小值是________. 解析:(a+b+c) =[()2+()2+()2] ≥2 =(2+3+6)2=121. 當且僅當===k(k為正實數)時,等號成立. 答案:121 7.已知實數x,y,z滿足3x+2y+z=1,則x2+2y2+3z2的最小值為________. 解析:由柯西不等式,得[x2+(y)2+(z)2]≥(3x+2y+z)2=1, 所以x2+2y2+3z2≥, 當且僅當==,即x=,y=,z=時,等號成立,所以x2+2y2+3z2的最小值為. 答案: 8.在△ABC中,設其各邊長為a,b,c,外接圓半徑為R,求證:(a2+b2+c2)≥36R2. 證明:∵===2R, ∴(a2+b2+c2) ≥2=36R2. 9.在直線5x+3y=2上求一點,使(x+2y-1)2+(3x-y+3)2取得最小值. 解:由柯西不等式得(22+12)[(x+2y-1)2+(3x-y+3)2]≥[2(x+2y-1)+(3x-y+3)]2=(5x+3y+1)2=9. ∴(x+2y-1)2+(3x-y+3)2≥. 當且僅當x+2y-1=2(3x-y+3) 即5x-4y+7=0時取等號. 解方程組 得故所求點的坐標為. 10.已知函數f(x)=m-|x-2|,m∈R,且f(x+2)≥0的解集為[-1,1]. (1)求m的值; (2)若a,b,c為正實數,且++=m,求證:a+2b+3c≥9. 解:(1)因為f(x+2)=m-|x|, 所以f(x+2)≥0等價于|x|≤m. 由|x|≤m有解,得m≥0,且其解集為{x|-m≤x≤m}, 又f(x+2)≥0的解集為[-1,1],故m=1. (2)證明:由(1)知++=1, 所以a+2b+3c=(a+2b+3c) ≥2=9.- 配套講稿:
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