姓名： 學(xué)號(hào)： 離散數(shù)學(xué)作業(yè)2 離散數(shù)學(xué)集合論部分形成性考核書(shū) 得分： 面作業(yè) 教師簽名： 本課程形成性考核書(shū)面作業(yè)共3次，內(nèi)容主要分別是集合論部分、圖論部分、 數(shù)理邏輯部分的綜合練習(xí)，基本上是按照考試的題型(除單項(xiàng)選擇題外)安排練習(xí)題目，目的是通過(guò)綜合性書(shū)面作業(yè)，使同學(xué)自己檢驗(yàn)學(xué)習(xí)成果，找出掌握的薄弱知識(shí)點(diǎn)，重點(diǎn)復(fù)習(xí)，爭(zhēng)取盡快掌握.本次形考書(shū)面作業(yè)是第一次作業(yè)，大家要認(rèn)真及時(shí)地完成集合論部分的綜合練習(xí)作業(yè). 要求：學(xué)生提交作業(yè)有以下三種方式可供選擇： 1 .可將此次作業(yè)用A4紙打印出來(lái)，手工書(shū)寫(xiě)答題，字跡工整，解答題要有 解答過(guò)程，完成作業(yè)后交給輔導(dǎo)教師批閱. 2 .在線提交word文檔 3 .自備答題紙張，將答題過(guò)程手工書(shū)寫(xiě)，并拍照上傳. 一、填空題 1 .設(shè)集合A{1,2,3},B{1,2},則P(A)-P(B尸{{1,2},{2,3},{1,3}, (1,2,3)},AB={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>,<3,1>,<3, 2>J? 2 .設(shè)集合A有10個(gè)元素，那么A的募集合RA)的元素個(gè)數(shù)為1024. 3 .設(shè)集合A={0,1,2,3},B={2,3,4,5},R是A到B的二元關(guān)系， 則R的有序?qū)蠟閧<2,2>,<2,3>,<>, 方? 4 .設(shè)集合A={1,2,3,4},B={6,8,12},A到B的二元關(guān)系 R={x,yy2x,xA,yB) 那么R1={<6,3>,<8,4>}. 5 .設(shè)集合A={a,b,c,d},A上的二元關(guān)系R={<a,b>,<b,a>,<b,c>, <c,d>},則R具有的性質(zhì)是反自反性. 6.設(shè)集合A={a,b,c,d},A上的二元關(guān)系R={<a,a>,<b,b>,<b,c>, <c,d>},若在R中再增加兩個(gè)元素<c,b>,<d,c>,則新得到的 關(guān)系就具有對(duì)稱性. 7 .如果R和R是A上的自反關(guān)系，則RUR,RAR,R-R中自反關(guān)系有2 個(gè). 8 .設(shè)A={1,2}上的二元關(guān)系為R={<x,y>|xA,yAx+y=10},則R的自反 閉包為卜1,1>,<,2,2}. 9 .設(shè)R是集合A上的等價(jià)關(guān)系，且1,2,3是A中的元素，則R中至少包含<1,1>,<>,<>等元素. 10 .設(shè)A={1,2},B={a,b},C={3,4,5},從A到B的函數(shù)f={<1,a>,<2,b>},從B到C的函數(shù)g={<a,4>,<b,3>},貝URan(gf)={<1,a>,<2,b>}or{<1,b>,<2,a>}. 二、判斷說(shuō)明題(判斷下列各題，并說(shuō)明理由.) 11 若集合A={1,2,3}上的二元關(guān)系R={<1,1>,<2,2>,<1,2>},則 (1)R是自反的關(guān)系；(2)R是對(duì)稱的關(guān)系. 解：(1)結(jié)論不成立.因?yàn)殛P(guān)系R要成為自反的，其中缺少元素 <3,3>.(2)結(jié)論不成立.因?yàn)殛P(guān)系R中缺少元素<2,1> <1, 2> , <2, 1>},則R是等價(jià)關(guān) 但<3,3>不在關(guān)系R中。等價(jià)關(guān)系 2 .設(shè)A={1,2,3},R={<1,1>,<2,2>,系. 不是等價(jià)關(guān)系。因?yàn)?是A的一個(gè)元素，R必須有：對(duì)A中任意元素a,R含<a,a> 3 .若偏序集加，心的哈斯圖如圖一所示，則集合A的最大元為a,最小元不存在. 錯(cuò)誤，按照定義，圖中不存在最大元和最小元 4 .設(shè)集合 A={1,2, 3, 4} 數(shù)f : A B,并說(shuō)明理由. ，B={2, 4, 6, 8} (1) f={<1,4>, <2, 2,>, <4, 6>, <1, 8>} <2, 2>}; (3) f={<1, 8>, <2, 6>, <3, 4>, <4, 2,>) 判斷汴列為系f是否構(gòu)成函 ；(2) f e f={<1,6>, <3, 4>, 圖一 (1)不構(gòu)成函數(shù)，因?yàn)樗亩x域 Dom⑴手A (2)也不構(gòu)成函數(shù)，因?yàn)樗亩x域 Dom(f)半A (3)構(gòu)成函數(shù)，首先它的定義域Dom(f)={1,2,3,4}=A 元素a,在B中都有一個(gè)唯一的元素 b,使<a,b>f 三、計(jì)算題 其次對(duì)于A中的每一個(gè) 1.設(shè) E {1,2,3, 4,5}, A {1,4}, B {1,2, 5}, C {2,4},求: ⑴(AB~C; (2) ( AB- (BA ⑶ RA)—P(C； (4) AB 解：(1) (AB)~C={1}{1 , 3, (2) (AB)- (BA)={1 , 2, 4, (3) P(A) - P(C)={ (, {1}, 5}={1,3,5} 5}-{1}={2,4,5} {4}，{1，4}}-{小，{2},{4},{2,4}}={{1},{1，4}} ，5}={2 , 4, 5} ⑷AB=(A-B)(B-A)={4}{22.設(shè)A={{1},{2},1,2},B={1,2,{1,2}},試計(jì)算 (1)(AB);⑵(APB);(3)AXB. (1) (AB)={{1},{2}} (2) (APB)={1,2} (3) AXB={<1},1>,{{1},2>, yA 3.設(shè)A={1,2,3,4,5},R={<x,y>|xA,yA且x+y4},S={<x,y>|xA, 且x+y<0},試求R,S,RSSRR1,S1,r(S),s(R). 解：R={〈1,1〉，〈1,2〉，〈1,3〉，〈2,1〉，〈2,2〉，〈3,1〉},S=([) RS=(|) SR=([) R1={〈1,1〉，〈2,1〉，〈3,1〉，〈1,2〉，〈2,2〉，〈1,3〉} S-1= r(即{〈1,1〉，〈2,2〉，〈3,3〉，〈4,4〉，〈5,5〉} s(R={〈1,1〉,〈1,2〉,〈1,3〉,〈2,1〉,〈2,2〉,〈3,1〉} 4.設(shè)A={1,2,3,4,5,6,7,8},R是A上的整除關(guān)系，B={2,4,6} (1)寫(xiě)出關(guān)系R的表示式；(2)畫(huà)出關(guān)系R的哈斯圖； (3)求出集合B的最大元、最小元. 解：(1)R={〈1,1〉，〈1,2〉，〈1,3〉，〈1,4〉，〈1,5〉，<1,6 〈2, 6〉，〈2,8〉，〈3, 3〉 〈6, 6〉， 〈7,7〉， 〈8, 8〉 〈1,7〉，〈1,8〉，〈2,2〉，〈2,4〉 〈3,6〉，〈4,4〉，〈4,8〉，〈5,5〉 (2)關(guān)系R的哈斯圖 (3)集合B的沒(méi)有最大元，最小元是2. 四、證明題 1 .試證明集合等式：A(Bq=(A§(A。. 證明：設(shè)任意XEA(BC,那么冷A或XBC, 也就是xeA或xeB,且恁A或在C; 由此得xeAB且xAC,即x[AB(AC. 所以，A(BC二(AB(AC 又因?yàn)閷?duì)任意x(AB(AC,由冷AB且xWAC, 也就是xeA或xwB,且xA或xeC; 得xeA或xeBC,即x€A(BC. 所以，(AB(ACQA(BC 故A(BC=(AB(AC. 2 .試證明集合等式A(BC=(AE)(A。. 證明：設(shè)S=AA(BUC),T=(AAB)U(AAC),若xGS,則xGA且xEBUC,即xGA且xGB或xGA且xGC, 也即xGAHB或xGAHC,即xGT, 所以ST.反之，若xGT,則xGAHB或xGAHC, 即xGA且xGB或xGA且xGC 也即xGA且xGBUC, 即xGS,所以TS. 因此T=S 3 .對(duì)任意三個(gè)集合AB和C,試證明：若AB=AC,且A，則B=C.證明：(1)對(duì)于任意〈a,b〉GAB,其中aGA,bGB,因?yàn)锳B=AC,必有〈a,b>GAC,其中bGC,因此BG (2)同理，對(duì)于任意〈a,c〉GAC,其中aGAcGC,因?yàn)锳B=AC,必有〈a,c>GAB,其中cGB,因此CB。 由(1)、(2)得：B=C. 4.試證明：若R與S是集合A上的自反關(guān)系，則RAS也是集合A上的自反關(guān)系. 證明：若R與S是集合A上的自反關(guān)系，則任意xGA,vx,x>GR,vx,x S, 從而vx,x>6RnS,注意x是A的任意元素，所以RnS也是集合A上的自反 關(guān)系。