2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第3章 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 章末小結(jié) 知識(shí)整合與階段檢測(cè)(含解析)蘇教版選修2-2.doc
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第3章 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 1.虛數(shù)單位i (1)i2=-1(即-1的平方根是i). (2)實(shí)數(shù)可以與i進(jìn)行四則運(yùn)算,進(jìn)行運(yùn)算時(shí)原有的加、乘運(yùn)算律仍然成立. (3)i的冪具有周期性:i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i(n∈N*),則有in+in+1+in+2+in+3=0(n∈N*). 2.復(fù)數(shù)的分類 復(fù)數(shù) (z=a+bi,a,b∈R). 3.共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì) 設(shè)復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為,則 (1)z=|z|2=||2; (2)z為實(shí)數(shù)?z=,z為純虛數(shù)?z=-. 4.復(fù)數(shù)的幾何意義 5.復(fù)數(shù)相等的條件 (1)代數(shù)形式:復(fù)數(shù)相等的充要條件為a+bi=c+di(a,b,c,d∈R)?a=c,b=d.特別地,a+bi=0(a,b∈R)?a=b=0. 注意:兩復(fù)數(shù)不是實(shí)數(shù)時(shí),不能比較大?。? (2)幾何形式:z1,z2∈C,z1=z2?對(duì)應(yīng)點(diǎn)Z1,Z2重合?與重合. 6.復(fù)數(shù)的運(yùn)算 (1)加法和減法運(yùn)算:(a+bi)(c+di)=(ac)+(bd)i(a,b,c,d∈R). (2)乘法和除法運(yùn)算:復(fù)數(shù)的乘法按多項(xiàng)式相乘進(jìn)行運(yùn)算,即(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i;復(fù)數(shù)除法是乘法的逆運(yùn)算,其實(shí)質(zhì)是分母實(shí)數(shù)化. (時(shí)間:120分鐘,總分:160分) 一、填空題(本大題共14個(gè)小題,每小題5分,共70分,把答案填在題中橫線上) 1.(新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ改編)設(shè)復(fù)數(shù)z1,z2在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱,z1=2+i,則z1z2=________. 解析:∵z1=2+i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)(2,1),又z1與z2在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱, 則z2的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為(-2,1),則z2=-2+i, ∴z1z2=(2+i)(-2+i)=i2-4=-5. 答案:-5 2.(山東高考改編)若a-i與2+bi互為共軛復(fù)數(shù),則(a+bi)2=________. 解析:根據(jù)已知得a=2,b=1,所以(a+bi)2=(2+i)2=3+4i. 答案:3+4i 3.若復(fù)數(shù)z滿足 (3-4i)z=|4+3i|,則z的虛部為_(kāi)_______. 解析:∵(3-4i)z=|4+3i|, ∴z====+i, ∴z的虛部是. 答案: 4.已知=1-ni,其中m,n是實(shí)數(shù),i是虛數(shù)單位,則m+ni等于________. 解析:=1-ni,所以m=(1+n)+(1-n)i, 因?yàn)閙,n∈R, 所以所以 即m+ni=2+i. 答案:2+i 5.定義運(yùn)算=ad-bc,則滿足條件=4+2i的復(fù)數(shù)z為_(kāi)_______. 解析:=zi+z, 設(shè)z=x+yi, ∴zi+z=xi-y+x+yi=x-y+(x+y)i=4+2i, ∴∴ ∴z=3-i. 答案:3-i 6.在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第________象限. 解析:===-i, 對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限. 答案:四 7.=________. 解析:== =1-38i. 答案:1-38i 8.設(shè)a是實(shí)數(shù),且+是實(shí)數(shù),則a等于________. 解析:∵+=+=+i是實(shí)數(shù), ∴=0,即a=1. 答案:1 9.復(fù)數(shù)z滿足方程=4,那么復(fù)數(shù)z的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P組成圖形為_(kāi)_______. 解析:=|z+(1-i)|=|z-(-1+i)|=4. 設(shè)-1+i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為C(-1,1),則|PC|=4, 因此動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以C(-1,1)為圓心,4為半徑的圓. 答案:以(-1,1)為圓心,以4為半徑的圓 10.已知集合M={1,2,zi},i為虛數(shù)單位,N={3,4},M∩N={4},則復(fù)數(shù)z=________. 解析:由M∩N={4},知4∈M, 故zi=4,∴z==-4i. 答案:-4i 11.若復(fù)數(shù)z滿足|z|-=,則z=________. 解析:設(shè)z=a+bi(a,b∈R), ∴|z|-=-(a-bi)=-a+bi, ===2+4i, ∴解得 ∴z=3+4i. 答案:3+4i 12.若=3i+4,=-1-i,i是虛數(shù)單位,則=________.(用復(fù)數(shù)代數(shù)形式表示) 解析:由于=3i+4,=-1-i,i是虛數(shù)單位, 所以=-=(-1-i)-(3i+4)=-5-4i. 答案:-5-4i 13.復(fù)數(shù)z滿足|z+1|+|z-1|=2,則|z+i+1|的最小值是________. 解析:由|z+1|+|z-1|=2,根據(jù)復(fù)數(shù)減法的幾何意義可知,復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到兩點(diǎn)(-1,0)和(1,0)的距離和為2,說(shuō)明該點(diǎn)在線段y=0(x∈[-1,1])上,而|z+i+1|為該點(diǎn)到點(diǎn)(-1,-1)的距離,其最小值為1. 答案:1 14.已知關(guān)于x的方程x2+(1+2i)x-(3m-1)=0有實(shí)根,則純虛數(shù)m的值是________. 解析:方程有實(shí)根,不妨設(shè)其一根為x0,設(shè)m=ai代入方程得x+(1+2i)x0-(3ai-1)i=0, 化簡(jiǎn)得,(2x0+1)i+x+x0+3a=0, ∴ 解得a=,∴m=i. 答案:i 二、解答題(本大題共6個(gè)小題,共90分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟) 15.(本小題滿分14分)計(jì)算: (1);(2). 解:(1)= ==2. (2)= === =-+i. 16.(本小題滿分14分)求實(shí)數(shù)k為何值時(shí),復(fù)數(shù)(1+i)k2-(3+5i)k-2(2+3i)分別是: (1)實(shí)數(shù); (2)虛數(shù); (3)純虛數(shù); (4)零. 解:由z=(1+i)k2-(3+5i)k-2(2+3i)=(k2-3k-4)+(k2-5k-6)i. (1)當(dāng)k2-5k-6=0時(shí),z∈R, ∴k=6或k=-1. (2)當(dāng)k2-5k-6≠0時(shí),z是虛數(shù),即k≠6且k≠-1. (3)當(dāng)時(shí),z是純虛數(shù), ∴k=4. (4)當(dāng)時(shí),z=0,解得k=-1. 綜上,當(dāng)k=6或k=-1時(shí),z∈R. 當(dāng)k≠6且k≠-1時(shí),z是虛數(shù). 當(dāng)k=4時(shí),z是純虛數(shù),當(dāng)k=-1時(shí),z=0. 17.(本小題滿分14分)已知復(fù)數(shù)z滿足|z|=1+3i-z,求的值. 解:設(shè)z=a+bi(a,b∈R),由|z|=1+3i-z, 得-1-3i+a+bi=0, 則所以 所以z=-4+3i. 則===3+4i. 18.(本小題滿分16分)已知ω=-+i. (1)求ω2及ω2+ω+1的值; (2)若等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1=1,公比q=ω,求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn. 解:(1)ω2=2=-i-=--i. ω2+ω+1=++1=0. (2)由于ω2+ω+1=0, ∴ωk+2+ωk+1+ωk=ωk(ω2+ω+1)=0,k∈Z. ∴Sn=1+ω+ω2+…+ωn-1= ∴Sn = 19.(本小題滿分16分)已知z=(a∈R且a>0),復(fù)數(shù)ω=z(z+i)的虛部減去它的實(shí)部所得的差等于,求復(fù)數(shù)ω的模. 解:把z=(a>0)代入ω中, 得ω= =+i. 由-=,得a2=4. 又a>0,所以a=2. 所以|ω|=|+3i|=. 20.(本小題滿分16分)已知復(fù)數(shù)z滿足|z|=,z2的虛部為2. (1)求復(fù)數(shù)z; (2)設(shè)z,z2,z-z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A,B,C,求△ABC的面積. 解:(1)設(shè)z=a+bi(a,b∈R), 由已知條件得:a2+b2=2,z2=a2-b2+2abi, 所以2ab=2. 所以a=b=1或a=b=-1,即z=1+i或z=-1-i. (2)當(dāng)z=1+i時(shí),z2=(1+i)2=2i,z-z2=1-i,所以點(diǎn)A(1,1),B(0,2), C(1,-1),所以S△ABC=|AC|1=21=1; 當(dāng)z=-1-i時(shí),z2=(-1-i)2=2i,z-z2=-1-3i. 所以點(diǎn)A(-1,-1),B(0,2),C(-1,-3), 所以S△ABC=|AC|1=21=1. 即△ABC的面積為1.- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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