2.2.3　向量數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義 課時(shí)目標(biāo)　1.掌握向量數(shù)乘的定義.2.理解向量數(shù)乘的幾何意義.3.了解向量數(shù)乘的運(yùn)算律.4.理解向量共線的條件． 1．向量數(shù)乘運(yùn)算 實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)__________，這種運(yùn)算叫做向量的__________，記作________，其長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下： (1)|λa|＝__________. (2)λa (a≠0)的方向； 特別地，當(dāng)λ＝0或a＝0時(shí)，0a＝________或λ0＝________. 2．向量數(shù)乘的運(yùn)算律 (1)λ(μa)＝________. (2)(λ＋μ)a＝____________. (3)λ(a＋b)＝____________. 特別地，有(－λ)a＝____________＝________； λ(a－b)＝____________. 3．共線向量定理 向量a (a≠0)與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使______________． 4．向量的線性運(yùn)算 向量的____、____、________運(yùn)算統(tǒng)稱(chēng)為向量的線性運(yùn)算，對(duì)于任意向量a、b，以及任意實(shí)數(shù)λ、μ1、μ2，恒有 λ(μ1a±μ2b)＝__________________. 一、選擇題 1．設(shè)e1，e2是兩個(gè)不共線的向量，若向量m＝－e1＋ke2 (k∈R)與向量n＝e2－2e1共線，則(　　) A．k＝0 B．k＝1 C．k＝2 D．k＝ 2．已知向量a、b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，則一定共線的三點(diǎn)是(　　) A．B、C、D B．A、B、C C．A、B、D D．A、C、D 3．已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C及平面內(nèi)一點(diǎn)P，且＋＋＝，則(　　) A．P在△ABC內(nèi)部 B．P在△ABC外部 C．P在AB邊上或其延長(zhǎng)線上 D．P在AC邊上 4．已知△ABC和點(diǎn)M滿(mǎn)足＋＋＝0.若存在實(shí)數(shù)m使得＋＝m成立，則m的值為(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 5．在△ABC中，點(diǎn)D在直線CB的延長(zhǎng)線上，且＝4＝r＋s，則r－s等于(　　) A．0 B. C. D．3 6．設(shè)點(diǎn)M是線段BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A在直線BC外，2＝16，|＋|＝|－|，則||等于(　　) A．8 B．4 C．2 D．1 題　號(hào) 1 2 3 4 5 6 答　案 二、填空題 7．若2－(c＋b－3y)＋b＝0，其中a、b、c為已知向量，則未知向量y＝_______. 8．已知平面內(nèi)O，A，B，C四點(diǎn)，其中A，B，C三點(diǎn)共線，且＝x＋y，則x＋y＝________. 9. 如圖所示，D是△ABC的邊AB上的中點(diǎn)，則向量＝______.(填寫(xiě)正確的序號(hào)) ①－＋ ②－－ ③－ ④＋ 10. 如圖所示，在?ABCD中，＝a，＝b，＝3，M為BC的中點(diǎn)，則＝______.(用a，b表示) 三、解答題 11．兩個(gè)非零向量a、b不共線． (1)若A＝a＋b，B＝2a＋8b，C＝3(a－b)，求證：A、B、D三點(diǎn)共線； (2)求實(shí)數(shù)k使ka＋b與2a＋kb共線． 12. 如圖所示，在?ABCD中，＝a，＝b，＝3，M為BC的中點(diǎn)，則＝______.(用a，b表示) 能力提升 13．已知O是平面內(nèi)一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足＝＋λ(λ∈[0，＋∞))，則點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)△ABC的(　　) A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心 14．在平行四邊形ABCD中，AC與BD交于點(diǎn)O，E是線段OD的中點(diǎn)，AE的延長(zhǎng)線與CD交于點(diǎn)F.若＝a，＝b，則等于(　　) A.a＋b B.a＋b C.a＋b D.a＋b 1．實(shí)數(shù)與向量可以進(jìn)行數(shù)乘運(yùn)算，但不能進(jìn)行加減運(yùn)算，例如λ＋a，λ－a是沒(méi)有意義的． 2．λa的幾何意義就是把向量a沿著a的方向或反方向擴(kuò)大或縮小為原來(lái)的|λ|倍．向量表示與向量a同向的單位向量． 3．共線向量定理是證明三點(diǎn)共線的重要工具，即三點(diǎn)共線問(wèn)題通常轉(zhuǎn)化為向量共線問(wèn)題． 2．2.3　向量數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義 知識(shí)梳理 1．向量　數(shù)乘　λa　(1)|λ||a|　(2)λ>0　λ<0　0　0 2．(1)(λμ)a　(2)λa＋μa　(3)λa＋λb?。?λa)　λ(－a)　λa－λb 3．b＝λa 4．加　減　數(shù)乘　λμ1a±λμ2b 作業(yè)設(shè)計(jì) 1．D　[當(dāng)k＝時(shí)，m＝－e1＋e2，n＝－2e1＋e2. ∴n＝2m，此時(shí)，m，n共線．] 2．C　[∵＝＋＝2a＋4b＝2， ∴A、B、D三點(diǎn)共線．] 3．D　[＋＋＝－， ∴＝－2，∴P在AC邊上．] 4．B　[∵＋＋＝0， ∴點(diǎn)M是△ABC的重心． ∴＋＝3，∴m＝3.] 5．C　[∵＝＋＝4， ∴＝3. ∴＝－＝＋－ ＝＋－ ＝＋(－)－ ＝－ ∴r＝，s＝－，r－s＝.] 6．C　[∵2＝16， ∴||＝4.又|－|＝||＝4， ∴|＋|＝4. ∵M(jìn)為BC中點(diǎn)，∴＝(＋)， ∴||＝|＋|＝2.] 7.a－b＋c 8．1 解析　∵A，B，C三點(diǎn)共線，∴?λ∈R使＝λ. ∴－＝λ(－)． ∴＝(1－λ)＋λ. ∴x＝1－λ，y＝λ，∴x＋y＝1. 9．① 解析?。剑剑? 10.(b－a) 解析?。剑? ＝－b－a＋ ＝－b－a＋(a＋b) ＝(b－a)． 11．(1)證明　∵A＝A＋B＋C＝a＋b＋2a＋8b＋3a－3b＝6a＋6b＝6A，∴A、B、D三點(diǎn)共線． (2)解　∵ka＋b與2a＋kb共線，∴ka＋b＝λ(2a＋kb)． ∴(k－2λ)a＋(1－λk)b＝0， ∴?k＝±. 12．證明　設(shè)＝a，＝b，則由向量加法的三角形法則可知： ＝－＝－＝a－b. 又∵N在BD上且BD＝3BN， ∴＝＝(＋)＝(a＋b)， ∴＝－＝(a＋b)－b＝a－b＝， ∴＝，又∵與共點(diǎn)為C， ∴C、M、N三點(diǎn)共線． 13．B　[為上的單位向量，為上的單位向量，則＋的方向?yàn)椤螧AC的角平分線的方向． 又λ∈[0，＋∞)，∴λ的方向與＋的方向相同．而＝＋λ，∴點(diǎn)P在上移動(dòng)． ∴點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)△ABC的內(nèi)心．] 14．B　[ 如圖所示， ∵E是OD的中點(diǎn)， ∴＝＝b. 又∵△ABE∽△FDE， ∴＝＝. ∴＝3，∴＝. 在△AOE中，＝＋＝a＋b. ∴＝＝a＋b.]