《2016年四川數(shù)學學科高考的認識與思考展現(xiàn)本質(zhì)促進發(fā)展》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2016年四川數(shù)學學科高考的認識與思考展現(xiàn)本質(zhì)促進發(fā)展（31頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 體現(xiàn)本質(zhì) 促動發(fā)展 ——2016年數(shù)學學科高考的理解與思考 1 2016年高考考試說明（四川卷）解讀 四川卷考試說明，基于普通高中課程標準和教育部考試大綱編寫，對2016年高考的考試性質(zhì)、命題原則及指導思想、考試內(nèi)容、考試形式與試卷結構實行說明，并給出題型示例．考試說明是命題最直接的依據(jù)． 1.1 考試性質(zhì) 普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試是合格的高中畢業(yè)生和具有同等學力的考生參加的選拔性考試．高等學校根據(jù)考生成績，按已確定的招生計劃，德、智、體全面衡量，擇優(yōu)錄?。裕呖紤哂休^高的信度、效度，必要的區(qū)分度和適當?shù)碾y度． 1.2 命題原則及指導思想 原則：有利于科

2、學選拔人才，有利于促動學生健康發(fā)展，有利于維護社會公平． 指導思想：以水平測試為主導，在考查考生基本知識、基本水平的同時，注重考查考生綜合使用所學知識解決實際問題的水平和科學探究水平，突出考查學科意識、學科思維、科學素質(zhì)和人文素養(yǎng)，力求做到科學、準確、公平、規(guī)范． 1.3 考試內(nèi)容（含考核目標與考查要求） 注重考查中學數(shù)學的基礎知識、基本技能、基本思想方法，考查空間想象水平、抽象概括水平、推理論證水平、運算求解水平、數(shù)據(jù)處理水平以及應用意識、創(chuàng)新意識，體現(xiàn)對中學數(shù)學主要的思想方法的考查，滲透對個性品質(zhì)的考查． 1.3.1 知識要求 知識是指《課程標準》所規(guī)定的必修課程、選修課程中

3、的數(shù)學概念、性質(zhì)、法則、公式、公理、定理以及由其內(nèi)容反映的數(shù)學思想方法，還包括按照一定程序與步驟實行運算，處理數(shù)據(jù)、繪制圖表等基本技能. 對知識的要求由低到高分為了解、理解、掌握三個層次(分別用A、B、C表示)，且高一級的層次要求包含低一級的層次要求． 數(shù)學基礎知識的考查既要全面又要突出重點，對于支撐學科知識體系的重點內(nèi)容，要占有較大的比例，構成數(shù)學試卷的主體．考查應注重學科的內(nèi)在聯(lián)系和知識的綜合性，不刻意追求知識的覆蓋面．從學科的整體高度和思維價值的高度設計問題，在知識網(wǎng)絡交匯點設計試題，使對數(shù)學基礎知識的考查達到必要的深度． 例 2015年全國卷2第4,5題． ·等比數(shù)列滿足a1

4、＝3，a1+ a3+ a5＝21，則a3+ a5+ a7＝ (A) 21 (B) 42 (C) 63 (D) 84 ·設函數(shù)則 (A) 3 (B) 6 (C) 9 (D) 12 例 如圖，圓O的半徑為1，A是圓上的定點，P是圓上的動點，角的始邊為射線，終邊為射線，過點作直線的垂線，垂足為，將點到直線的距離表示為的函數(shù)，則=在[0,]上的圖象大致為 立意：考查三角函數(shù)的定義、圖象等基礎知識，考查抽象概括水平，考查數(shù)形結合思想． 解析：在Rt△OMP中，，且|OP|=1．而當時，|MP|=sinα，|OM|=|cosα|，所以，．由此

5、可知，答案為C． 評注：三角函數(shù)的定義．幾何圖形、函數(shù)圖象．背景與設問． 例 2015年全國卷1第11，13題． ·圓柱被一個平面截去一部分后與半球(半徑為)組成一個幾何體，該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示．若該幾何體的表面積為 ，則r= (A) 1 (B) 2 (C) 4 (D) 8 若函數(shù)為偶函數(shù)，則________． 例 2015年全國卷2第13,15,16題． ·設向量a，b不平行，向量與平行，則實數(shù)_________． ·的展開式中x的奇數(shù)次冪項的系數(shù)之和為32，則a＝_________． ·設Sn是數(shù)列{an}

6、的前n項和，且a1＝－1，αn+1=SnSn+1，則Sn=_________． 例 已知偶函數(shù)在單調(diào)遞減，．若，則的取值范圍是__________. 立意：考查函數(shù)的性質(zhì)等基礎知識，考查抽象概括水平，考查屬性結合思想． 解析：因為為偶函數(shù)，函數(shù)在單調(diào)遞減，故函數(shù)在單調(diào)遞增．因為，由知，所以，即．答案為． 評注：掌握．分類與整合、數(shù)形結合． 1.3.2 水平要求 對數(shù)學水平的考查以數(shù)學知識為載體，從問題入手，把握學科的整體意義，用統(tǒng)一的數(shù)學觀點組織材料，體現(xiàn)對考生各種數(shù)學水平的要求． 高考的數(shù)學命題，強調(diào)“以水平立意”，側重體現(xiàn)對知識的理解和應用，尤其是綜合和靈活的應用，以此來

7、檢測考生將知識遷移到不同情境中去的水平，從而檢測出考生個體理性思維的廣度和深度以及進一步學習的潛能．水平的考查以推理論證水平和抽象概括水平的考查為核心，全面涉及各種數(shù)學水平，并要切合考生實際，強調(diào)其科學性、嚴謹性、抽象性，強調(diào)探究性、綜合性和應用性．對空間想象水平的考查主要體現(xiàn)在對文字語言、符號語言及圖形語言的互相轉(zhuǎn)化上；對運算求解水平的考查主要是對算法和推理的考查，考查以代數(shù)運算為主；對數(shù)據(jù)處理能力的考查主要是考查運用概率統(tǒng)計的基本方法和思想解決實際問題的能力． 運算求解能力．會根據(jù)法則、公式進行正確運算、變形和數(shù)據(jù)處理，能根據(jù)問題的條件尋找與設計合理、簡捷的運算途徑，能根據(jù)要求對數(shù)據(jù)進行

8、估計和近似計算. 例 已知函數(shù)=． (Ⅰ) 討論的單調(diào)性； (Ⅱ) 設，當時，，求的最大值； (Ⅲ) 已知，估計ln2的近似值(精確到0.001)． 立意：考查函數(shù)的性質(zhì)、導數(shù)的運用等基礎知識，考查運算求解能力，考查分類與整合思想、創(chuàng)新意識． 解析：(Ⅰ) =，等號僅當時成立． 所以在單調(diào)遞增． (Ⅱ) =， ==． ( i ) 當時，，等號僅當時成立，所以在單調(diào)遞增．而=0，所以對任意． ( ii ) 當時，若滿足，即時， ＜0．而=0，因此當時，＜0，不滿足題意． 綜上，b的最大值為2. (Ⅲ) 由(Ⅱ)知，. 當b=2時，＞0；＞＞0.6928； 當時，

9、， =＜0，＜＜0.6934． 所以的近似值為0.693． 評注：設問的方式．運算能力的深刻考查． 運算求解能力是思維能力和運算技能的結合．運算包括對數(shù)字的計算、估值和近似計算，對式子的組合變形與分解變形，對幾何圖形和幾何量的計算求解等，運算能力包括分析運算條件、探究運算方向、選擇運算公式、確定運算程序等過程中的思維能力，也包括在實施運算過程中遇到障礙而調(diào)整運算的能力. 對運算能力的考查，數(shù)值計算、字符運算和各種式子的變換都是重要內(nèi)容，其考查要求可概括為“準確、熟練、快捷、合理”.在突出考查算理和算法的同時，對運算的靈活性和實用性也有一定要求，還要求能夠恰當運用估算、圖算和近似計算.

10、運算能力與學生的知識水平、推理論證能力和心理因素都密切相關. 推理論證能力．根據(jù)已知的事實和已獲得的正確數(shù)學命題，論證某一數(shù)學命題的真實性的初步的推理能力． 推理是思維的基本形式之一，它由前提和結論兩部分組成；論證是由已有的正確的前提到被論證的結論的一連串的推理過程. 推理既包括演繹推理，也包括合情推理；論證方法既包括按形式劃分的演繹法和歸納法，也包括按思考方法劃分的直接證法和間接證法 .一般運用合情推理進行猜想，再運用演繹推理進行證明 . 例 設函數(shù)，是公差為的等差數(shù)列，，則 (A) 0 (B) (C) (D) 立意：考查函數(shù)、數(shù)列的概念與性質(zhì)，考查推理論證能力，考

11、查數(shù)形結合思想． 解析：法一：回到基礎： 是公差為的等差數(shù)列：直接用ai表示；a1和表示；a3-2，a3-，a3，a3+，a3+2表示． ： 目標：求出ai． 猜想：，=0． 驗證：…… 法二：深入思考： 函數(shù)問題-數(shù)形結合-上升下降、對稱-函數(shù)性質(zhì)．從而有這樣的思考： 因為>0，所以為增函數(shù)； 又因為，其圖象關于對稱. 而是公差為的等差數(shù)列，則 ，所以，且． 因此：． 推理是思維的基本形式之一，它由前提和結論兩部分組成；論證是由已有的正確的前提到被論證的結論的一連串的推理過程. 中學數(shù)學的推理論證能力主要是根據(jù)已知的事實和已獲得的正確數(shù)學命題，論證某一數(shù)學命題

12、真實性的初步的推理能力 . 空間想象能力．能根據(jù)條件作出正確的圖形，根據(jù)圖形想象出直觀形象；能正確地分析出圖形中基本元素及其相互關系；能對圖形進行分解、組合；會運用圖形與圖表等手段形象地揭示問題的本質(zhì)． 空間想象能力是對空間形式的觀察、分析、抽象的能力，主要表現(xiàn)為識圖、畫圖和對圖形的想象能力.識圖是指觀察研究所給圖形幾何元素之間的相互關系；畫圖是指將文字語言和符號語言轉(zhuǎn)化為圖形語言以及對圖形添加輔助圖形或?qū)D形進行各種變換；對圖形的想象主要包括有圖想圖和無圖想圖兩種，是空間想象能力高層次的標志. 空間想象能力是基本的、重要的數(shù)學能力.考查中強調(diào)的是對圖形的認識、理解和應用，要求考生既會用

13、圖形表現(xiàn)空間形體，也能由圖形想象出直觀的形象；既會觀察、分析各種幾何要素(點、線、面、體)的相互位置關系，又能對圖形進行變換分解和組合.教學中應注意強化空間觀念，培訓直覺思維的習慣，結合抽象思維和形象思維解決問題. 抽象概括能力．對具體的、生動的實例，在抽象概括的過程中，發(fā)現(xiàn)研究對象的本質(zhì)；從給定的大量信息材料中，概括出一些結論，并能將其用于解決問題或做出新的判斷． 例 設、都是非零向量，下列四個條件中，使成立的充分條件是 (A) (B) ∥ (C) (D) ∥且 立意：本題考查向量、充要條件等基礎知識. 解答：的充要條件是與同向，故選C. 例 2015年全國2卷第10題

14、． 如圖，長方形ABCD的邊AB=2，BC=1，O是AB的中點，點P沿著邊BC，CD與DA運動，記∠BOP＝x．將動點P到A，B兩點距離之和表示為x的函數(shù)f(x)，則f(x)的圖象大致為 數(shù)據(jù)處理能力．會收集、整理、分析數(shù)據(jù)，能從大量數(shù)據(jù)中抽取對研究問題有用的信息，并作出判斷、解決給定的實際問題．數(shù)據(jù)處理能力主要依據(jù)統(tǒng)計中的方法對數(shù)據(jù)進行整理、分析，并解決給定的實際問題． 例 2015年全國2卷第18題 某公司為了解用戶對其產(chǎn)品的滿意度，從A，B兩地區(qū)分別隨機調(diào)查了20個用戶，得到用戶對產(chǎn)品的滿意度評分如下： A地區(qū)：62 73 81 92 95 85 74

15、64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B地區(qū)：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79 (Ⅰ) 根據(jù)兩組數(shù)據(jù)完成兩地區(qū)用戶滿意度評分的莖葉圖，并通過莖葉圖比較兩地區(qū)滿意度評分的平均值及分散程度(不要求計算出具體值，給出結論即可)； (Ⅱ) 根據(jù)用戶滿意度評分，將用戶的滿意度從低到高分為三個不等級： 滿意度評分 低于70分 70分到89分 不低于90分

16、 滿意度等級 不滿意 滿意 非常滿意 記事件C：“A地區(qū)用戶的滿意度等級高于B地區(qū)用戶的滿意度等級”．假設兩地區(qū)用戶的評價結果相互獨立．根據(jù)所給數(shù)據(jù)，以事件發(fā)生的頻率作為相應事件發(fā)生的概率，求C的概率． 應用意識．能綜合應用所學數(shù)學知識、思想和方法解決問題，包括解決相關學科、生產(chǎn)、生活中簡單的數(shù)學問題；能理解對問題陳述的材料，并對所提供的信息資料進行歸納、整理和分類，將實際問題抽象為數(shù)學問題；能應用相關的數(shù)學方法解決問題進而加以驗證，并能用數(shù)學語言正確地表達和說明. 應用的主要過程是依據(jù)現(xiàn)實的生活背景，提煉相關的數(shù)量關系，將現(xiàn)實問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，構造數(shù)學模型，并加以解決. 對應

17、用意識的考查主要采用解決應用問題的形式．應用問題的命題要堅持“貼近生活，背景公平，控制難度”的原則，試題設計要充分考慮中學數(shù)學教學的實際和考生的年齡特點，并結合考生具有的實踐經(jīng)驗，使數(shù)學應用問題的難度符合考生的實際水平． 例 某花店每天以每枝5元的價格從農(nóng)場購進若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的價格出售，如果當天賣不完，剩下的玫瑰花作垃圾處理. (Ⅰ)若花店一天購進16枝玫瑰花，求當天的利潤y(單位：元)關于當天需求量n(單位：枝，)的函數(shù)解析式； (Ⅱ)花店記錄了100天玫瑰花的日需求量(單位：枝)，整理得下表： 日需求量n 14 15 16 17 18 19 20

18、頻數(shù) 10 20 16 16 15 13 10 以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率. (1)若花店一天購進16枝玫瑰花，X表示當天的利潤(單位：元)，求X的分布列，數(shù)學期望及方差； (2)若花店計劃一天購進16枝或17枝玫瑰花，你認為應購進16枝還是17枝？請說明理由. 立意：考查統(tǒng)計概率相關基礎知識，考查統(tǒng)計與概率思想． 解析：(Ⅰ)當日需求量時，利潤． 當日需求量時，利潤． 所以y關于n的函數(shù)解析式為：． (Ⅱ)(1)可能的取值為，，，并且 ． 的分布列為 的數(shù)學期望為： ． 的方差為： ． (2

19、)答案一： 花店應購進16枝玫瑰花．理由如下： 若花店一天購進17枝玫瑰花，Y表示當天的利潤(單位：元)，那么Y的分布列為 Y 55 65 75 85 P 0.1 0.2 0.16 0.54 Y的數(shù)學期望為： ． Y的方差為： DY= =112.04． 由以上的計算結果可以看出，DX

20、 P 0.1 0.2 0.16 0.54 Y的數(shù)學期望為： ． 由以上的計算結果可以看出，EX

21、數(shù)學主體內(nèi)容、體現(xiàn)數(shù)學素質(zhì)；試題主要以反映數(shù)、形運動變化及其相互聯(lián)系的問題出現(xiàn)，主要為研究型、探索型、開放型等類型的問題． 1.3.3 數(shù)學方法與數(shù)學思想要求 1 數(shù)學方法主要包括歸納推理、類比推理、演繹推理、綜合法、分析法、反證法等． （1）歸納推理：歸納推理就是從個別事實中推演出一般性的結論，依據(jù)特殊現(xiàn)象推斷出一般現(xiàn)象，從已知的特殊的相同性質(zhì)中推出一個明確表述的一般性命題等的推理．簡言之，歸納推理是由特殊到一般的推理． （2）類比推理：由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理稱為類比推理．簡言之，類比推理是由特殊到特殊的推理．

22、 （3）演繹推理：演繹推理是由一般性的命題推出特殊性命題的一種推理模式，是一種必然性推理．演繹推理的主要形式，就是由大前提、小前提推出結論的三段論式推理． （4）綜合法：綜合法就是利用已知條件和數(shù)學定義、公理、定理等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導出所要證明的結論成立的證明方法．即PQ1→Q1Q2→Q2Q3 →…→QnQ（其中P表示已知條件，Q表示結論）．綜合法是“執(zhí)因?qū)Ч?，從已知出發(fā)，順著推理，逐漸地靠近結論． （5）分析法：分析法就是從結論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件直至最后，把要證明的結論歸結為判定一個明顯成立的條件（已知條件、定義、定理、公理等）的證明方法．即QP1→P1P2

23、→P2P3→…→．分析法是“執(zhí)果索因”，從要證的結論出發(fā)，倒著分析，逐漸地靠近已知． （6）反證法：反證法就是假設原命題不成立，經(jīng)過正確的推理，得出矛盾，因此說明假設錯誤，從而證明了原命題成立的證明方法．它是從反面的角度思考問題的證明方法，即肯定題設而否定結論，從而導出矛盾推理而得，主要步驟是：否定結論 → 推導出矛盾 → 結論成立． 2 數(shù)學思想主要包括函數(shù)與方程、數(shù)形結合、分類與整合、化歸與轉(zhuǎn)化、特殊與一般、有限與無限思想等． （1）函數(shù)與方程的思想：函數(shù)思想就是利用運動變化的觀點分析和研究具體問題中的數(shù)量關系，通過函數(shù)的形式把這種數(shù)量關系表示出來并加以研究，從而使問題獲解．方程思

24、想是從問題的數(shù)量關系入手，運用數(shù)學語言將問題中的條件轉(zhuǎn)化為方程問題，然后通過解方程（組）使問題獲解．函數(shù)與方程的思想既是函數(shù)思想與方程思想的體現(xiàn)，也是兩種思想綜合運用的體現(xiàn)，是研究變量與函數(shù)、相等與不等過程中的基本數(shù)學思想． （2）數(shù)形結合的思想：數(shù)形結合的思想就是充分運用“數(shù)”的嚴謹和“形”的直觀，將抽象的數(shù)學語言與直觀的圖形語言結合起來，使抽象思維和形象思維結合，通過圖形的描述、代數(shù)的論證來研究和解決數(shù)學問題的一種數(shù)學思想方法．數(shù)形結合思想是數(shù)學的規(guī)律性與靈活性的有機結合，通過“以形助數(shù)，以數(shù)輔形”，變抽象思維為形象思維，使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，有助于把握數(shù)學問題的本質(zhì)，有利于

25、達到優(yōu)化解題的目的． （3）分類與整合的思想：分類與整合就是當問題所給的對象不能進行統(tǒng)一研究時，就需要對研究對象按某個標準分類，然后對每一類分別研究得出每一類的結論，最后綜合各類結果得到整個問題的解答．分類與整合就是“化整為零，各個擊破，再積零為整”的數(shù)學思想． （4）化歸與轉(zhuǎn)化的思想：化歸與轉(zhuǎn)化的思想是在研究和解決數(shù)學問題時采用某種方式，借助某些數(shù)學知識，將問題進行等價轉(zhuǎn)化，使抽象問題具體化，復雜問題簡單化、未知問題已知化等，進而達到解決問題的數(shù)學思想． （5）特殊與一般的思想：特殊與一般的思想就是通過對問題的特殊情形（如特殊函數(shù)、特殊數(shù)列、特殊點、特殊位置、特殊值、特殊方程等）的解決

26、，尋求一般的、抽象的、運動變化的、不確定的等問題的解決思路和方法的數(shù)學思想． （6）有限與無限的思想：有限與無限的思想就是通過對有限情形的研究和解決，使無限情形的問題得以解決；反之當積累了解決無限問題的經(jīng)驗之后，也可以將有限問題轉(zhuǎn)化成無限問題來解決，即無限化有限，有限化無限的解決問題的數(shù)學思想． 對數(shù)學方法與數(shù)學思想的考查是對數(shù)學知識在更高層次上的抽象和概括的考查．考查時，必然要與數(shù)學知識相結合，從數(shù)學學科整體意義和思想含義上立意，注重通性通法，淡化特殊技巧，從而反映考生對數(shù)學方法與數(shù)學思想的掌握程度． 對數(shù)學思想與方法的考查是對數(shù)學知識在更高層次上的抽象和概括的考查．考查時，必然要與數(shù)

27、學知識相結合，從數(shù)學學科整體意義和思想含義上立意，注重通性通法，淡化特殊技巧，從而反映考生對數(shù)學思想與數(shù)學方法的掌握程度． 函數(shù)與方程思想 例 已知，，，，則下列等式一定成立的是 (A) (B) (C) (D) 立意：本題考查對數(shù)的概念，對數(shù)的運算性質(zhì)，對數(shù)換底公式等基礎知識，考查運算求解、推理論證能力． 評注：變形思路的選擇．以教材必修1第82頁復習參考題A組第3題為背景改編． 化歸與轉(zhuǎn)化思想 例 設d為非零實數(shù)， ()． (Ⅰ)寫出a1，a2,，a3并判斷{an}是否為等比數(shù)列．若是，給出證明；若不是，說明理由； (Ⅱ)設bn=ndan()，求數(shù)列{bn}的

28、前n項和Sn． 立意：考查組合數(shù)運算、二項式定理、等比數(shù)列的概念、數(shù)列求和等基礎知識，考查運算求解能力、推理論證能力，考查轉(zhuǎn)化與化歸、分類與整合等數(shù)學思想，并考查思維的嚴謹性． 分析：寫出并判斷的要求，屬于基本要求(對于分類思想的運用，則是概念這一數(shù)學本質(zhì)的體現(xiàn)；求和是數(shù)列中基本問題，教材中“過程與方法”如何反映？ 評注：審題的程序與方式．如何得分？本題以教材內(nèi)容為背景，需要學生根據(jù)問題特征入手進行思考，要求學生具有良好的審題意識和能力、良好的解題習慣．解決第(Ⅰ)題，需要從an的表達結構聯(lián)想二項式定理，并消除差異(即對比二項式定理變換組合數(shù))，當然，從題目的提示也可以考慮從特殊到一般的

29、思路；第(Ⅱ)題的解決，仍然是從bn的結構入手，聯(lián)想數(shù)列求和的“錯位相減法”．從獲得分數(shù)的角度看，“整體審題”(整體思考題干、兩個小題的設問及其聯(lián)系——如求{bn}的和與知識體系、方法體系的關系)更加有利． 數(shù)形結合思想 例 ①設點P在曲線上，點Q在曲線上，則|PQ|最小值為( ) ② 已知函數(shù)f (x)=-ln(x+m). (Ι) 設x=0是f (x)的極值點，求m，并討論f (x)的單調(diào)性； (Ⅱ)當m ≤2時，證明f (x)>0. 立意：考查函數(shù)的性質(zhì)、導數(shù)的簡單運用等基礎知識，考查運算求解、推理論證能力，考查數(shù)形結合思想． 解析：(Ⅰ)f

30、 '(x ) = - x = 0是f (x )的極值點 ? f '(0) = 0 ? m = 1. 此時，f '(x ) = - 在(-1, +∞)上是增函數(shù)， 又知f '(0) = 0， 所以x ∈(-1, 0)時, f '(x ) < 0；x ∈(0, +∞)時, f '(x ) > 0. 所以f (x )在(-1, 0)上是減函數(shù)，在(0, +∞) 上是增函數(shù). (Ⅱ)如圖所示，當m ≤2時，x + 1≥x + m – 1,只需證明≥x + 1，且ln(x + m) ≤x + m- 1,再指出“=”不能成立即可. 設g (x ) = - (x +1)，g '(x ) =

31、 -1.x1 = 0是g (x )的極小值點，也是最小值點，即g (x ) ≥ g (0) = 0 ?≥x + 1. 設h (x ) = ln(x + m) - (x + m - 1), 則 = -1. x2 = 1-m是h (x )的極大值點，也是最大值點，即 g (x ) ≤ h (1-m) = 0 ? ln(x + m) ≤x + m -1?≥ln(x + m) ?f (x ) ≥ 0，“=”成立的條件是：x1 = x2 且x + 1 = x + m - 1． 即m =1且m =2(矛盾)，所以f (x ) > 0． ③ 已知函數(shù)，. (Ⅰ) 求函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交點處的

32、公切線方程； (Ⅱ) 若，比較與的大小. ●數(shù)形結合探索： ●利用已有的成果： . ， ， 比較 與的大小即可. ●比較的大小. 評注：數(shù)形結合．轉(zhuǎn)化化歸． 特殊與一般思想 例 如圖，橢圓E：() 的離心率是，過點P(0，1)的動直線l與橢圓相交于A，B兩點．當直線l平行于x軸時，直線l被橢圓E截得的線段長為． (Ⅰ) 求橢圓E的方程； (Ⅱ) 在平面直角坐標系xOy中，是否存在與點P不同的定點Q，使得恒成立？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由． 第(Ⅱ)小題解答： 當直線l與x軸平行時，設直線l與橢圓相交于C，D兩點． 如果存在定點Q滿足

33、條件，則有，即． 所以Q點在y軸上，可設Q點的坐標為(0，)． 當直線l與x軸垂直時，設直線l與橢圓相交于M，N兩點， 則M，N的坐標分別為，． 由，有，解得，或． 所以，若存在不同于點P的定點Q滿足條件，則Q點坐標只可能為(0，2)． 下面證明：對任意直線l，均有． 當直線l的斜率不存在時，由上可知，結論成立． 當直線l的斜率存在時，可設直線l的方程為，A，B的坐標分別為 (，)，(，)． 聯(lián)立 得． 其判別式， 所以，，． 因此． 易知，點B關于y軸對稱的點的坐標為(，)． 又， ， 所以，即Q，A，三點共線． 所以． 故存在與P不同的定點Q(0，2

34、)，使得恒成立． 深刻考查特殊與一般、數(shù)形結合思想． 1.3.4 個性品質(zhì)要求 個性品質(zhì)是指考生個體的情感、態(tài)度和價值觀. 數(shù)學的高考，要求考生具有一定的數(shù)學視野，認識數(shù)學的科學價值和人文價值，崇尚數(shù)學的理性精神，形成審慎的思維習慣，體會數(shù)學的美學意義． 就考試而言，要求考生克服緊張情緒，以平和的心態(tài)參加考試，合理支配考試時間，以實事求是的科學態(tài)度解答試題，樹立戰(zhàn)勝困難的信心，體現(xiàn)鍥而不舍的精神． 數(shù)學學科的系統(tǒng)性和嚴密性決定了數(shù)學知識之間內(nèi)在聯(lián)系的深刻性，包括各部分知識的縱向聯(lián)系和橫向聯(lián)系．數(shù)學學科的考試要從本質(zhì)上體現(xiàn)這些聯(lián)系，進而通過分類、梳理、綜合，構建數(shù)學試卷的框架結構．

35、 數(shù)學學科的命題，在考查基礎知識的基礎上，注重對數(shù)學思想方法的考查，注重對數(shù)學能力的考查，展現(xiàn)數(shù)學的科學價值和人文價值，同時兼顧試題的基礎性、綜合性和現(xiàn)實性，重視試題間的層次性，合理調(diào)控綜合程度，堅持多角度、多層次的考查，努力體現(xiàn)對考生綜合數(shù)學素養(yǎng)和數(shù)學學習現(xiàn)狀及潛能的考查． 2 四川卷命題的總體特點與基本規(guī)律 四川卷與全國卷的命題共性突出，依據(jù)考試大綱、學科本質(zhì)命制，體現(xiàn)出相同的特點和規(guī)律． 2.1 遵循考綱，注重基礎 試卷設計緊扣考試大綱，貼近教學實際，從考生熟悉的基礎知識入手，多數(shù)題目都屬于基本試題，無論是必修內(nèi)容，還是選修內(nèi)容，許多題目都注重對數(shù)學基礎的考查． （對基礎

36、、教材的理解） 2.2 全面考查，注重聯(lián)系 試卷全面考查了考試大綱所規(guī)定的考試內(nèi)容，具有較好的覆蓋面．集合、復數(shù)、常用邏輯用語、線性規(guī)劃、向量、算法等內(nèi)容在選擇題、填空題中得到了有效的考查；三角函數(shù)（數(shù)列）、概率統(tǒng)計、立體幾何、解析幾何、函數(shù)與導數(shù)等主干知識在解答題中得到了考查．選修4系列的內(nèi)容以選做題的形式出現(xiàn)，體現(xiàn)了新課程的選擇性． 堅持在知識交匯處設計試題的傳統(tǒng)，注重考查知識間的內(nèi)在聯(lián)系，反映數(shù)學學科的綜合性． （對覆蓋面、冷熱點的理解） 2.3 能力立意，注重算理 試題設計突出能力立意，全面考查學生的數(shù)學能力．運算能力在試卷中的考查比重較大，但考查重點不是單純計算，而是

37、注重對算理的考查． （多種能力的全面考查、運算能力與推理論證能力，運算能力的考查） 2.2.4 強化思想，注重應用 突出考查對圖形、圖表的運用水平，注重對數(shù)學思想方法的考查．試題保持對應用意識的考查力度，問題背景貼近實際生活，具有現(xiàn)實意義，強調(diào)培養(yǎng)學生應用意識、提升學生解決實際問題的能力，體現(xiàn)了新課程注重情感態(tài)度與價值觀，過程、實踐與應用的教學理念． （應用問題的考查與試題設計、數(shù)學思想的考查設計） 3 近年來四川卷的基本數(shù)據(jù)與試題具體分析 四川卷的數(shù)學命題，在體現(xiàn)數(shù)學學科高考的數(shù)學價值、評價功能和教學價值等方面，形成了自己的特色，得到教育部考試中心、高校和中學數(shù)學界的廣泛肯定

38、．2016年數(shù)學學科的四川自主命題，應該會在繼承傳統(tǒng)的基礎上，貫徹數(shù)學學科命題指導思想，落實命題原則，設置合理的難度、區(qū)分度，有效體現(xiàn)高考的考試性質(zhì)． 3.1 幾組數(shù)據(jù) 3.1.1 2014、2015年分小題數(shù)據(jù) 科類 理科 文科 年份 2014年 2015年 2014年 2015年 選擇題1-10 36.37 34.31 32.60 29.27 填空題11-15 12.39 13.14 12.07 8.98 16 7.19 9.34 7.98 5.87 17 7.65 9.51 4.23 7.10 18 6.35 10.6

39、3 5.08 7.24 19 5.30 3.80 2.61 3.25 20 3.35 5.04 2.31 3.29 21 2.73 1.95 1.56 1.34 解答題合計 32.57 40.26 23.76 28.09 全卷合計 81.33 87.72 68.43 66.34 3.3.2 近三年四川卷與全國卷難度對比 數(shù)學學科2013-2015四川卷難度系數(shù)與區(qū)分度統(tǒng)計表 科類 年份 難度系數(shù) 區(qū)分度 滿分 理科 2013 0.63 0.46 150 2014 0.54 0.43 150 2015

40、 0.58 0.41 150 文科 2013 0.46 0.58 150 2014 0.46 0.50 150 2015 0.45 0.50 150 數(shù)學學科2013-2015四川卷與全國卷平均分難度系數(shù)統(tǒng)計表 理 科 年份 四川卷平均分 四川卷難度 全國卷平均分 全國卷難度 2013年 94.17 0.6278 Ⅰ卷78.21 Ⅱ卷68.24 Ⅰ卷0.521 Ⅱ卷0.455 2014年 81.54 0.5436 Ⅰ卷84.33 Ⅱ卷68.86 Ⅰ卷0.5622 Ⅱ卷0.4591 2015年 88.38 0

41、.5892 Ⅰ卷81.15 Ⅱ卷77.40 Ⅰ卷0.541 Ⅱ卷0.516 文 科 年份 四川卷平均分 四川卷難度 全國卷平均分 全國卷難度 2013年 69.19 0.4613 Ⅰ卷69.67 Ⅱ卷49.59 Ⅰ卷0.464 Ⅱ卷0.331 2014年 68.49 0.4566 Ⅰ卷69.76 Ⅱ卷61.11 Ⅰ卷0.4649 Ⅱ卷0.4074 2015年 67.02 0.4468 Ⅰ卷66.15 Ⅱ卷61.80 Ⅰ卷0.441 Ⅱ卷0.412 說明：四川卷為全員數(shù)據(jù)，全國卷為抽樣數(shù)據(jù)． 3.2 四川卷試題的

42、具體特點 近年來四川卷試題風格基本一致，命題遵循《考試大綱》及《考試說明（四川版）》要求，切合當前數(shù)學教學實際，體現(xiàn)課程改革理念，符合高考考試性質(zhì)，在平穩(wěn)推進的基礎上有所創(chuàng)新．試題設計立足于學科核心和主干，充分體現(xiàn)數(shù)學的科學價值和人文價值，將知識、能力和素質(zhì)融為一體，深化能力立意，強化知識交匯，重點考查支撐數(shù)學學科體系的內(nèi)容，充分考查基礎知識、基本方法、基本思想，深入考查考生的運算求解能力、推理論證能力、抽象概括能力、空間想象能力、應用意識和創(chuàng)新意識，突出考查數(shù)學思維、數(shù)學思想方法，合理考查學生的探究意識和學習潛能． 全卷難度設置符合高中學生數(shù)學學習現(xiàn)狀，重視教材考基礎，突出思維考能力，體

43、現(xiàn)課改考探究，展現(xiàn)了數(shù)學的抽象性、邏輯性、應用性和創(chuàng)造性，突出試題的基礎性、綜合性、原創(chuàng)性和選拔性，試卷布局合理、層次分明，問題設計科學、表述規(guī)范，有利于準確測試不同層次考生的學習水平． 3.2.1 重視教材與基礎，突出核心內(nèi)容 試題高度重視教材價值的挖掘與聯(lián)系，有的題目直接由教材的例題或習題改編，有的問題產(chǎn)生于教材背景．文理科1-8、11-13、6-19等題源于教材，又高于教材，充分發(fā)揮了教材在理解數(shù)學、理解教學等方面的價值． 全卷重視基礎知識的全面考查，覆蓋了整個高中數(shù)學的所有知識板塊；試題設計立足于高中數(shù)學的核心和主干，對高中數(shù)學中的函數(shù)與導數(shù)、三角函數(shù)、概率統(tǒng)計、解析幾何、立體

44、幾何、數(shù)列、向量、不等式等進行了重點考查．理科4、8、9、13、15、21，文科4、5、8、15、21等題，全面考查函數(shù)概念、性質(zhì)等基礎知識；理科5、10、20，文科7、10、20等題，考查直線、圓、圓錐曲線的方程及其簡單應用，是解析幾何的基礎和主體內(nèi)容；理科14、18題考查空間線面關系和面面夾角的計算，文科14、18題考查空間線面關系、三視圖和體積的計算；理科17題，文科3、17題，考查概率統(tǒng)計相關知識；文理科16題，考查數(shù)列相關知識；文科3題考查分層抽樣的概念，需要考生認識其本質(zhì)屬性；理科14題考查空間線線角的計算，如果概念不清，即使運算無誤也不能獲得正確結果． 例 (理科13) 某食

45、品的保鮮時間y（單位：小時）與儲藏溫度x（單位：℃）滿足函數(shù)關系（為自然對數(shù)的底數(shù)，k，b為常數(shù)）．若該食品在0℃的保鮮時間設計192小時，在22℃的保鮮時間是48小時，則該食品在33℃的保鮮時間是 小時. 例 (文理科18)一個正方體的平面展開圖及該正方體的直觀圖的示意圖如圖所示．在正方體中，設BC的中點為M，GH的中點為N． (Ⅰ) 請將字母F，G，H標記在正方體相應的頂點處（不需說明理由）； (Ⅱ) 證明：直線MN∥平面BDH； (Ⅲ) 求二面角A－EG－M的余弦值． 例 （理科19）如圖，A，B，C，D為平面四邊形的四個內(nèi)角． (Ⅰ) 證明：；

46、(Ⅱ) 若，，，求的值． 例 （理科14）如圖，四邊形ABCD和ADPQ均為正方形，它們所在的平面互相垂直，動點M在線段PQ上，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點．設異面直線EM與AF所成的角為，則的最大值為 . 以A為坐標原點，，，方向為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標系Axyz．設AB=1，QM=m (0≤m≤1)，則 ． 易知，EP⊥AF． 過E作AF的平行線與DA的延長線相交于N，連接NQ． 設AB=4，則AN=1，且，，． 所以 ． 從而易得答案． 問題背景：正方體，線面角，線線角；線段，直線． (2014年理科8)如圖

47、，在正方體-中，點O為線段BD的中點．設點P在線段CC1上，直線OP與平面所成的角為，則的取值范圍是 (A) (B) (C) (D) 法一：如圖，可以證明，平面AA1C1C⊥平面A1BD．當P是線段CC1的中點P0時，，=；當P在線段C1P0上時，，；當P在線段P0C上時，，，所以的取值范圍是．答案為(B)． 法二：設棱長為1，CP=x，分別以DA，DC，DD1的方向為x，y，z軸的方向建立直角坐標系，則面的一個法向量為，，＝ ()，令，則，由，得或，可知當時，有最大值1，當時，有最小值． 3.2.2 注重能力與方法，強化數(shù)學思維 試卷以能力立意設計試題，多角

48、度、多層次地考查了運算求解能力、推理論證能力、空間想象能力、抽象概括能力、數(shù)據(jù)處理能力、應用意識和創(chuàng)新意識．在此基礎上，特別突出了對數(shù)學思維的全面、深刻考查，大量題目充分考查了觀察、聯(lián)想、類比、猜想、估算等數(shù)學思維方法與能力，對函數(shù)與方程、數(shù)形結合、分類與整合、化歸與轉(zhuǎn)化、特殊與一般等數(shù)學思想進行了全面考查．理科15、16、21題，文科15、21題，既考查了幾何直觀、聯(lián)想、猜想、估算等直覺思維，又要求考生進行精確計算、嚴密推理；理科13、17題，文科8、17題，考查了運算求解能力、應用意識；文理科15題，考查了直覺猜想、抽象概括、推理論證和創(chuàng)新意識，對數(shù)學思維進行了全面考查，其特點是運算量小、

49、思維量大；文理科16-21等題重點考查運算求解能力和推理論證能力；文理科20、21題，要求考生具備高水平的抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力、數(shù)學探究意識和創(chuàng)新意識，考查了多種數(shù)學思想與方法． 全卷注重考查學生對數(shù)學基本概念、重要定理等的理解與應用，注意控制和減少繁瑣的運算．理科7、9、10、14、15、20、21題，文科7、9、10、14、15、21等題，如果靈活運用數(shù)形結合、化歸與轉(zhuǎn)化、特殊與一般等數(shù)學思想，就可簡化解題過程、避免繁瑣運算；文理科15題，雖然思維要求高，但在深刻理解問題本質(zhì)的基礎上，運用函數(shù)與方程、數(shù)形結合思想解答，并不需要特殊技巧與復雜運算． 例 （理科5）過

50、雙曲線的右焦點且與x軸垂直的直線，交該雙曲線的兩條漸近線于A，B兩點，則 (A) （B） （C）6 （D） （理科7）設四邊形ABCD為平行四邊形，，．若點M，N滿足，，則 （A）20 （B）15 （C）9 （D）6 （理科8）設a，b都是不等于1的正數(shù)，則“”是“”的 （A）充要條件 （B）充分不必要條件 （C）必要不充分條件 （D）既不充分也不必要條件 （理科9）如果函數(shù) 在區(qū)間上單調(diào)遞減，那么mn的最大值為 （A）16 （B）18 （C）25 （D） （理科12）的值是 . 3.2.3 關注探究與創(chuàng)新，體現(xiàn)課改理念

51、試卷從學科整體和思維價值的高度設置問題情境，注重知識間的內(nèi)在聯(lián)系與交匯；通過適當增強試題的綜合性，分層次設置試題難度，能更好地體現(xiàn)考試的選拔功能．理科9題涉及函數(shù)單調(diào)性、線性規(guī)劃與基本不等式，文理科10題聯(lián)系拋物線、圓、圓的切線和數(shù)形結合思想，具有較強的綜合性和一定的難度；理科19題綜合三角恒等變換與解三角形，立意鮮明、情境新穎、形式優(yōu)美，考查考生思維的靈活性；文理科21題，以對數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)、導數(shù)、函數(shù)零點、不等式等知識為載體，考查考生綜合運用數(shù)學知識、數(shù)學方法、數(shù)學思想的能力． 試題設計緊密結合數(shù)學學科特點，通過對探究意識、應用意識和創(chuàng)新意識的考查，充分體現(xiàn)了課程改革理念．文理科10、

52、15、20、21等題考查了探究意識，考生需要深入分析問題情境，從特殊到一般、從直觀到抽象進行不同側面的探究，并合理運用相應的數(shù)學方法和思想才能準確、迅速解答．理科20題要求考生探究定點是否存在，若假設定點坐標直接求解則有不少運算障礙；若通過特殊情形的解決，尋求一般的、運動變化的問題的解決思路和方法，對具體的對象進行抽象概括，完成解答則相對簡單．理科13、17，文科8、17等題以考生熟悉的現(xiàn)實生活背景考查考生提煉數(shù)量關系、將現(xiàn)實問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題并構造數(shù)學模型加以解決的能力，體現(xiàn)了應用意識和實踐能力的考查特點．文理21題展示了數(shù)學學科的抽象性和嚴謹性，要求考生具有高層次的理性思維，考生解答時可以

53、采用“聯(lián)系幾何直觀—探索解題思路—提出合情猜想—構造輔助函數(shù)—結合估算精算—進行推理證明”的思路，整個解答過程與數(shù)學研究的過程基本一致，能較好地促進考生在數(shù)學學習的過程中掌握數(shù)學知識、探究數(shù)學問題和發(fā)現(xiàn)數(shù)學規(guī)律． 例 （理科10）設直線l與拋物線相交于A，B兩點，與圓相切于點M，且M為線段AB的中點.若這樣的直線l恰有4條，則r的取值范圍是 （A） （B） （C） （D） 例 （理科15） 已知函數(shù)，（其中）．對于不相等的實數(shù)，設，．現(xiàn)有如下命題： ① 對于任意不相等的實數(shù)，都有； ② 對于任意的a及任意不相等的實數(shù)，都有； ③ 對于任意的a，存在不相等的實數(shù)，使得；

54、④ 對于任意的a，存在不相等的實數(shù)，使得． 其中的真命題有 （寫出所有真命題的序號）． 4 關于復習教學的思考 4.1 基本理念 4.1.1 關注改革、促進發(fā)展 關注課程改革的深化，關注數(shù)學教學的發(fā)展，加強對知識的理解和應用的教學，在教學中強化學科特點，注意科學性、嚴謹性、抽象性、探究性、綜合性和應用性，培養(yǎng)考生將知識、方法遷移到不同情境的能力． 4.1.2 立足基礎、挖掘背景 在教學中重視教材、深刻理解教材，貫徹課程改革理念，注重支撐學科體系的主干與核心內(nèi)容，重視通性通法，培養(yǎng)數(shù)學素養(yǎng)，回歸數(shù)學本質(zhì)． 4.1.3 依據(jù)學生、切合思維 依據(jù)學生合理選

55、擇素材，體現(xiàn)思維價值，鼓勵學生積極、主動、探究地學習，在數(shù)學教學中注重提高學生的思維能力． 4.2 教學策略 4.2.1 繼承優(yōu)良傳統(tǒng) 四川廣大中學教師在數(shù)學教學中積累了豐富的經(jīng)驗，本年級的數(shù)學復習教學應繼承優(yōu)良傳統(tǒng)，充分領會全國考試大綱和四川考試說明提出的命題原則與指導思想，注重數(shù)學本質(zhì)，促進學生發(fā)展。 4.2.2 重視基礎知識 基礎知識復習應以數(shù)學知識的聯(lián)系為主線，幫助學生梳理知識，優(yōu)化認知結構，構建知識網(wǎng)絡。應精選例題和習題，關注學生在知識、方法、能力上的缺陷，將復習過程轉(zhuǎn)化為學生提出問題、解決問題的探索過程，引導學生主動對知識、方法進行歸納、概括，真正提高復習教學實效。

56、 4.2.3 加強能力培養(yǎng) 數(shù)學學科命題強調(diào)“能力立意”，以數(shù)學知識為載體，以思維能力為核心，全面考查各種能力。 4.2.3.1 推理論證能力 注重數(shù)學思維能力的訓練，合理利用有關材料，在知識交匯處設置問題，培養(yǎng)學生觀察、分析、解決問題的能力，要求學生能夠合乎邏輯地準確表述推理過程，訓練推理論證能力。復習教學必須全面加強能力培養(yǎng)。 4.2.3.2 運算能力 高考提倡“多想少算”，其實質(zhì)是強調(diào)思維之下的運算。教學中應重視學生運算能力的訓練，培養(yǎng)學生合理、準確的運算能力。運算能力的培養(yǎng)，應著重抓好分析運算條件、探究運算方向、選擇運算公式、確定運算程序等一系列過程中思維能力的培養(yǎng)。

57、 4.2.3.3 空間想象能力 合理借助三視圖和直觀圖，重視從直觀感知、操作確認、思辨論證、度量計算等方面提高學生不同層次的思維水平，促進學生空間想象能力的提高。 4.2.3.4 數(shù)據(jù)處理能力 重視培養(yǎng)學生的數(shù)據(jù)處理能力，注意從函數(shù)、數(shù)列、概率與統(tǒng)計等方面尋找素材，進行適度、合理的訓練。 4.2.3.5 應用意識與創(chuàng)新意識 高考對應用意識和創(chuàng)新意識有適度考查，教學中應加強這兩方面能力的訓練。 4.2.4 注重思想方法 數(shù)學學科高度重視數(shù)學思想的考查，復習教學應注重滲透函數(shù)與方程、數(shù)形結合、化歸與轉(zhuǎn)化、特殊與一般等數(shù)學思想，要注意通性通法的訓練，淡化特殊技巧，應注意知識的

58、交叉、融合和滲透，幫助學生進行歸納、梳理、總結和提升，從中把握規(guī)律、領會本質(zhì)，掌握數(shù)學思想方法，提高學科素養(yǎng)。 4.2.5 強化教學落實 4.2.5.1 立足基礎、挖掘背景 在教學中重視教材、深刻理解教材，體現(xiàn)數(shù)學學科本質(zhì)、貫徹課程改革理念，避免單一“刷題”類的機械式解題練習。 4.2.5.2 明確目標，落實任務 根據(jù)教學進程，明確不同階段的復習目標，采取措施完成任務。 4.2.5.3 狠抓課堂，合理訓練 針對不同的教學內(nèi)容，加強知識與技能復習、例題分析與方法培養(yǎng)、訓練測試與講評等相關課型的研究，大力提高課堂教學效益。在后期的訓練中，注意“小、巧、靈”與“綜合練習”的結合，合理安排訓練的量與度，促進學生學習水平有效提高。 4.2.5.4 注重差異，分層提高 復習教學應從學生學習現(xiàn)狀出發(fā)，根據(jù)學生需求安排進度與方式，進行教學設計。應注意不同學生的差異，在教學內(nèi)容和練習、考試等方面提出不同的要求，推進其學習水平在原有基礎上得到相應提高。