第一章 計數(shù)原理 1　兩個計數(shù)原理的靈活應(yīng)用 計數(shù)問題是數(shù)學(xué)中的重要研究對象，除了分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理的理論支持，對于較復(fù)雜的計數(shù)問題要針對其問題特點，靈活的運用列舉法、列表法、樹形圖法等方法來幫助解決，使問題的解決更加實用、直觀．下面通過典例來說明.1.列舉法 例1　某公司電腦采購員計劃用不超過300元的資金購買單價分別為20元、40元的鼠標(biāo)和鍵盤，根據(jù)需要，鼠標(biāo)至少買5個，鍵盤至少買3個，則不同的選購方式共有________種． 解析　依據(jù)選購鼠標(biāo)和鍵盤的不同個數(shù)分類列舉求解． 若買5個鼠標(biāo)，則可買鍵盤3、4、5個； 若買6個鼠標(biāo)，則可買鍵盤3、4個； 若買7個鼠標(biāo)，則可買鍵盤3、4個； 若買8個鼠標(biāo)，則可買鍵盤3個； 若買9個鼠標(biāo)，則可買鍵盤3個． 根據(jù)分類計數(shù)原理，不同的選購方式共有3＋2＋2＋1＋1＝9(種)． 答案　9 點評　本題背景中的數(shù)量不少，要找出關(guān)鍵數(shù)字，通過恰當(dāng)分類和列舉可得．列舉看似簡單，但在解決問題中顯示出其實用性，并且我們還可以通過列舉的方法去尋求問題中的規(guī)律． 2．樹形圖法 例2　甲、乙、丙三人傳球，從甲開始傳出，并記為第一次，經(jīng)過5次傳球，球恰好回到甲手中，則不同的傳球方法的種數(shù)是________． 解析　本題數(shù)字不大，可用樹形圖法，結(jié)果一目了然． 如下圖，易知不同的傳球方法種數(shù)為10. 答案　10 點評　應(yīng)用兩個計數(shù)原理時，如果涉及的問題較抽象，且數(shù)量不太多時，可以用樹狀結(jié)構(gòu)直觀體現(xiàn)． 3．列表法 例3　四個人各寫一張賀年卡，放在一起，然后每個人取一張不是自己寫的賀年卡，共有多少種不同的取法？ 解　把四個人分別編號①、②、③、④，他們寫的4張賀年卡的各種方法全部列舉出來，如下表： 四個人 取賀年卡的方法 ① 2 2 2 3 3 3 4 4 4 ② 1 3 4 1 4 4 1 3 3 ③ 4 4 1 4 1 2 2 1 2 ④ 3 1 3 2 2 1 3 2 1 方法編號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 由表格可知，共有9種不同的方法． 點評　本題是一個錯排問題，難以直接運用兩個計數(shù)原理計算．借助表格，把各種情況一一列出，使問題直觀解決． 4．直接法 例4　已知某容器中，H有3種同位素，Cl有2種同位素，Na有3種同位素，O有4種同位素，請問共可組成多少種HCl分子和NaOH分子？ 解　因為HCl分子由兩個原子構(gòu)成，所以分兩步完成：第1步，選擇氫原子，共有3種；第2步，選擇氯原子，共有2種．由分步計數(shù)原理得共有6種HCl分子． 同理，對于NaOH而言，分三步完成：第1步，選擇鈉原子，有3種選法；第2步，選擇氧原子，有4種選法；第3步，選擇氫原子，有3種選法．由分步計數(shù)原理知，共有NaOH分子種數(shù)為343＝36(種)． 點評　當(dāng)問題情景中的規(guī)律明顯，已符合分類計數(shù)原理或分步計數(shù)原理中的某一類型時，可直接應(yīng)用公式計算結(jié)果，但此法的關(guān)鍵是分清是“分類”還是“分步”問題.  2　排列、組合的破解之術(shù) 排列、組合，說它難吧，其實挺簡單的，就是分析事件的邏輯步驟，然后計算就可．說簡單吧，排列、組合卻是同學(xué)們(包括很多學(xué)習(xí)很好的同學(xué))最沒把握的事情，同樣難度的幾道題，做順了，三下五除二，幾分鐘內(nèi)解決問題；做不順，則如一團亂麻，很長時間也理不順?biāo)悸罚旅婢蛠碚務(wù)勂平獬Ｒ娕帕小⒔M合模型的常用方法！ 1．特殊元素——優(yōu)先法 對于有特殊要求的元素的排列、組合問題，一般應(yīng)對有特殊要求的元素優(yōu)先考慮． 例1　將數(shù)字1,2,3,4,5,6排成一列，記第i個數(shù)為ai(i＝1,2，…，6)，若a1≠1，a3≠3，a5≠5，a1<a3<a5，則不同的排列方法有________種． 解析　由題意，a1≠1，a3≠3，a5≠5，a1<a3<a5.第一步，可以先排a1，a3，a5，只有5種方法；第二步，再排a2，a4，a6，有A種方法．由分步計數(shù)原理得，不同的排列方法有5A＝30(種)． 答案　30 2．相鄰問題——捆綁法 把相鄰的若干個特殊元素“捆綁”為一個大元素，然后再與其余“普通元素”全排列，最后再“松綁”，將特殊元素在這些位置上全排列． 例2　記者要為5名志愿者和他們幫助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相鄰但不排在兩端，不同的排法共有________種． 解析　先將兩位老人排在一起有A種排法，再將5名志愿者排在一起有A種排法，最后將兩位老人插入5名志愿者間的4個空位中有C種插入方法，由分步計數(shù)原理可得，不同的排法有AAC＝960(種)． 答案　960 3．不相鄰問題——插空法 某些元素不能相鄰或某些元素要在某個特殊位置時可采用插空法，即先安排好沒有限制條件的元素，然后再把有限制條件的元素按要求插入排好的元素之間． 例3　高三(一)班需要安排畢業(yè)晚會的4個音樂節(jié)目，2個舞蹈節(jié)目和1個曲藝節(jié)目的演出順序，要求兩個舞蹈節(jié)目不連排，則不同排法的種數(shù)是________． 解析　先排4個音樂節(jié)目和1個曲藝節(jié)目有A種方法，這5個節(jié)目之間以及兩端共有6個空位，從中選兩個放入舞蹈節(jié)目，共有A種放法．所以兩個舞蹈節(jié)目不連排的排法共有AA＝3 600(種)． 答案　3 600 4．至多至少問題——間接法 對于某些排列、組合問題的正面情況較復(fù)雜而其反面情況較簡單，可先考慮無限制條件的排列，再減去其反面情況的種數(shù)． 例4　從班委會5名成員中選出3名，分別擔(dān)任班級學(xué)習(xí)委員、文娛委員與體育委員，其中甲、乙二人不能擔(dān)任文娛委員，則不同的選法共有________種． 解析　從班委會5名成員中選出3名，分別擔(dān)任班級學(xué)習(xí)委員、文娛委員與體育委員共有A種選法，其中甲、乙中有一人擔(dān)任文娛委員的選法有CA種，故共有A－CA＝36(種)選法． 答案　 36 5．多類元素組合——分類取出 當(dāng)題目中元素較多，取出的情況也有多種時，可按結(jié)果要求，分成不相容的幾類情況分別計算，最后總計． 例5　如圖，用6種不同的顏色給圖中的4個格子涂色，每個格子涂一種顏色，要求最多使用3種顏色且相鄰的兩個格子顏色不同，則不同的涂色方法共有______種． 解析　如果用兩種顏色，則有C種顏色可以選擇，涂法有2種．如果用3種顏色涂色，有C種顏色可以選擇，涂法有CC(C＋1)＝18(種)． 所以，不同涂色種數(shù)為C2＋C18＝390(種)． 答案　390 6．排列、組合混合——先選后排 對于排列與組合的混合問題，宜先用組合選取元素，再進行排列． 例6　某校安排5個班到4個工廠進行社會實踐，每個班去一個工廠，每個工廠至少安排一個班，不同的安排方法共有________種． 解析　首先把5個班分成4組，即2,1,1,1，有種方法．然后把4組分配到4個工廠，每個工廠安排一組有A種方法．由分步計數(shù)原理可得不同的安排方法有A＝240(種)． 答案　240 3　排列、組合中的“分組”與“分配”辨析 分組分配問題在排列組合問題中占有很重要的位置，并且分組分配問題比較復(fù)雜，也是大家學(xué)習(xí)中的一個難點，下面通過實例來剖析各種各樣的分組分配問題． 1．互異元素的“均勻分組” 例1　6本不同的書，分成三份，每份2本，共有多少種不同的分法？ 解　因為平均分組與順序無關(guān)，在CCC＝90種分法中，每一種分法重復(fù)出現(xiàn)了A次，只能算作一次．如將6本書a，b，c，d，e，f分成ab，cd，ef三組是一種分法，而解答中考慮它們之間的順序有A種分法，具體如下表. 步驟 第一組 第二組 第三組 分法1 ab cd ef 分法2 ab ef cd 分法3 cd ab ef 分法4 cd ef ab 分法5 ef ab cd 分法6 ef cd ab 以上的分法，實際上加入了組的順序性，但像分法1,2,3,4,5,6，實際上是同一種分法，所以要除以A來消除順序，故共有＝15種分法． 2．互異元素的“均勻分配” 例2　6本不同的書，分給甲、乙、丙三人，每人2本，共有多少種不同的分法？ 解　由例1可知，將6本不同的書均勻分成3組，共有種分法，然后將3組書再分配給甲、乙、丙三人，與順序有關(guān)，所以共有A＝CCC＝90種分法． 也可這么理解：先取2本給甲有C種方法，再取2本給乙有C種方法，余下2本給丙有C種方法，取的過程實際已經(jīng)將書進行了分配，故共有CCC＝90種分法． 3．互異元素的“非均勻分組” 例3　6本不同的書，分成三份，一份3本，一份2本，一份1本，共有多少種不同的分法？ 解　先取1本作一堆有C種方法，再取2本作一堆有C種方法，余下3本作一堆有C種方法，由于每組的數(shù)目不同，所以不會出現(xiàn)重復(fù)的分法，故共有CCC＝60(種)分法． 4．互異元素的“非均勻分配” 例4　6本不同的書，分給甲、乙、丙三人，一人3本，一人2本，一人1本，共有多少種不同的分法？ 解　先分組，再分配，甲、乙、丙三人得到的書不同(數(shù)目不同或數(shù)目相同但書不同)應(yīng)視作是不同的分配方法，所以與順序有關(guān)．即：首先，不平均分成三堆有CCC種方法，然后再分給甲、乙、丙三人有A種方法，共有CCCA＝360(種)分法． 5．互異元素的“部分平均分組” 例5　6本不同的書，分成三份，有兩份各1本，另一份4本，共有多少種不同的分法？ 解　三組中有兩組是平均分組，這兩組是無序的，應(yīng)對這兩組消序．故共有＝15種分法． 以上五類問題是十分典型的“分組分配”問題，它的每一個小題都是一種類型，我們要認真領(lǐng)會．計數(shù)時常有下面的結(jié)論：“無對象的均勻分配”問題，只需按“有對象的均勻分配”問題列式后，再除以組數(shù)的全排列數(shù)，對于“無對象的非均勻分配”與“有對象的非均勻分配”問題，前者只需分步完成，后者先分組，后排列． 4　“隔板法”在計數(shù)問題中的妙用 “隔板法”在計數(shù)問題中有其特殊的適用背景，并且“隔板法”往往會使很復(fù)雜的問題得到巧妙的解決．下面剖析一下隔板法適用條件，并選擇幾個實例來加以說明． 1．隔板法的適用條件 排列組合中的相同小球放進不同的盒子、名額分配或相同物品的分配等問題，是排列組合中的難點問題，這類問題的基本模型是：將n個相同元素分組到m個不同對象中(n≥m)，每個對象至少有一個元素．這類問題必須滿足三個條件：①小球必須相同；②盒子必須不同；③每個盒子至少有一個小球．當(dāng)滿足這三個條件時，我們可以采用隔板法． 2．隔板法的實際應(yīng)用 應(yīng)用1　20個相同的小球放入編號為1號、2號、3號的三個盒子里，要求每個盒子都不空，問有多少種放法？ 解　如下圖，用“0”表示小球， 0000|00000000|00000000 在上圖中，在0與0之間的19個空檔中插入2塊隔板即可將小球分成3組，同時能夠保證每組中至少有一個小球，所以一共有C＝171種放法． 點評　解決此類問題的關(guān)鍵是，看題目情景是否滿足隔板法的條件，若滿足，則直接套用公式即可． 應(yīng)用2　方程x1＋x2＋x3＋x4＝20的正整數(shù)解有多少個？ 解　該問題轉(zhuǎn)化為：將方程左邊的x1、x2、x3、x4看成是4個盒子得到的小球數(shù)，右邊的20看成是20個相同的小球．這樣就相當(dāng)于20個相同的小球放入4個盒子里，要求每個盒子至少有一個小球，共有多少種不同的分配方法？這樣，類似應(yīng)用1可知，所以共有C＝969種． 點評　不定方程x1＋x2＋x3＋…＋xm＝n(n，m∈N*，n≥m)的正整數(shù)解個數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為“將n個相同元素分給m個不同對象(n≥m)，每個對象至少有一個元素”的模型，進而采用隔板法求解． 整體概括：通過對隔板法的應(yīng)用，可得下列結(jié)論． 結(jié)論1：把n個相同的元素分成m組分配給m個人，每組不允許落空，則可將n個元素排成一排，從n－1個間隔中，選出m－1個插上隔板，每一種隔板的插法對應(yīng)一種分配方法，則分配方法數(shù)N＝C. 結(jié)論2：把n個相同的元素分成m組分配給m個人，某些組允許落空，則可將m－1個隔板和n個元素排成一排，每一種隔板的插法對應(yīng)一種分配方法，則分配方法數(shù)N＝C. 試一試 1．將7個相同的小球放入4個不同的盒子中． (1)不出現(xiàn)空盒時的放入方式共有多少種？ (2)可出現(xiàn)空盒時的放入方式共有多少種？ 解　(1)將7個相同的小球排成一排，在中間形成的6個空格中插入無區(qū)別的3個“隔板”將球分成4份，每一種插入隔板的方式對應(yīng)一種球的放入方式，則不同的放入方式共有C＝20種． (2)每種放入方式對應(yīng)于將7個相同的小球與3個相同的“隔板”進行一次排列，即從10個位置中選3個位置安排隔板，故共有C＝120種放入方式． 2．某市教委準(zhǔn)備在當(dāng)?shù)氐?所重點中學(xué)中選派12名優(yōu)秀青年教師參加在職培訓(xùn)，每所學(xué)校至少一個名額，求不同的分配方案的種數(shù)． 解　從結(jié)果入手，理解相同元素的分堆問題，設(shè)計“隔板法分堆”，將一種分配方法和一個組合建立一一對應(yīng)，實際問題化歸為組合數(shù)求解．該事件的實質(zhì)為將12個相同的元素分成9堆，每一堆至少一個元素，“隔板法分堆”，即在12個相同元素構(gòu)成的11個空中插入8個隔板，其方法有C＝165種. 5　排列、組合中的數(shù)學(xué)思想 1．分類討論思想 例1　如果一個三位正整數(shù)形如“a1a2a3”，滿足a1<a2，且a3<a2，則稱這樣的三位數(shù)為凸數(shù)(120,363,374等)，那么所有的凸數(shù)個數(shù)為________． 解題提示　本題中的三位正整數(shù)，要求中間一位數(shù)字最大，需根據(jù)中間數(shù)字所有可能的情況分類討論；另外要注意首位與個位上的數(shù)字允許重復(fù)． 解析　由題意知：a1≠0，a2≥2.下面只需對a2＝2，a2＝3，…，a2＝9分別進行討論，并求其值后求和．當(dāng)a2＝2時，a1，a3只能從0,1中取，a1只能取1，a3可取0,1，排出“a1a2a3”共有2種；當(dāng)a2＝3時，a1從1,2中任取一個有C種，a3從0,1,2中任取一個有C種，所以共有CC種；當(dāng)a2＝4時，a1從1,2,3中任取一個有C種，a3從0,1,2,3中任取一個有C種，所以共有CC種；…；當(dāng)a2＝9時，a1從1,2,3，…，8中任取一個有C種，a3從0,1,2，…，8中任取一個有C種，共有CC種．綜上，可得組合成所有的凸數(shù)個數(shù)為2＋CC＋CC＋CC＋CC＋CC＋CC＋CC＝240. 答案　240 點評　本題中分類的標(biāo)準(zhǔn)非常明確，即中間數(shù)字的取值情況．對于分類標(biāo)準(zhǔn)明確、分類情況多的題目，要有耐心逐個求解，最后求和．正確地進行求解運算也是求解此類題目的一個關(guān)鍵點． 例2　從－3，－2，－1,0,1,2,3,4八個數(shù)字中任取3個不重復(fù)的數(shù)字分別作為a、b、c的值構(gòu)成二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c.試問： (1)共可組成多少個不同的二次函數(shù)？ (2)在這些二次函數(shù)圖象中，以y軸為對稱軸的有多少條？經(jīng)過原點且頂點在第一或第三象限的有多少條？ 解題提示　二次函數(shù)要求a≠0，可以優(yōu)先考慮a的取值；也可以用排除法．結(jié)合頂點在第一象限或第三象限對a，b，c的符號要求進行分析是解決第(2)問的關(guān)鍵． 解　(1)方法一　因為y＝ax2＋bx＋c是二次函數(shù)，所以a≠0.因此，可從－3，－2，－1,1,2,3,4中選取一個排在a的位置上，有C種選法．b，c的取值沒有特殊要求，所以從剩余的6個非零元素加上0共7個元素中選取兩個有C種選法，再把它們排在b，c的位置上有A種排法．由分步計數(shù)原理共有CCA＝72＝294(個)不同的二次函數(shù)． 方法二　利用排除法，從所有情況中去掉“0”排在a位置的情況． CA－CA＝321－2＝294(個)不同的二次函數(shù)． (2)當(dāng)對稱軸為y軸時，b＝0，這樣的拋物線有A＝42(條)． 當(dāng)拋物線過原點時，c＝0，拋物線的頂點為. ①當(dāng)頂點在第一象限時，有 故這樣的拋物線有AA＝12(條)； ②當(dāng)頂點在第三象限時，有 故這樣的拋物線有A＝12(條)． 故經(jīng)過原點且頂點在第一或第三象限的共有24條． 點評　當(dāng)排列、組合問題與相關(guān)數(shù)學(xué)問題背景聯(lián)系在一起時，要注意結(jié)合數(shù)學(xué)背景對涉及的字母a，b，c的要求，合理地轉(zhuǎn)化為a，b，c的直接要求，再進行分類．實際問題數(shù)學(xué)化，文字表述代數(shù)化是解決實際背景問題的常規(guī)思想方法． 2．?dāng)?shù)形結(jié)合思想 例3　以圓x2＋y2－2x－2y－1＝0內(nèi)橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點為頂點的三角形個數(shù)為________． 解題提示　將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，畫出圖形，結(jié)合圖形從所有情況中去掉三點共線的情況． 解析　本題是一個綜合問題，首先求出圓內(nèi)的整數(shù)點個數(shù)，然后求組合數(shù)，方程化為(x－1)2＋(y－1)2＝3.如圖，圓內(nèi)共有9個整數(shù)點，組成的三角形的個數(shù)為C－8＝76. 答案　76 點評　整點個數(shù)的計算，三點共線情況的尋找都需要我們在平面直角坐標(biāo)系下正確畫出本題中的圓以及與整點共線有關(guān)的8條直線．與幾何圖形探求有關(guān)的組合問題，畫出相關(guān)圖形，結(jié)合圖形求解是解決此類題目常用的方法． 3．轉(zhuǎn)化與化歸思想 例4　某電腦用戶計劃使用不超過500元的資金購買單價分別為60元、70元的單片軟件和盒裝磁盤，根據(jù)需要，軟件至少買3件，磁盤至少買2盒，則不同的選購方式共有________種． 解析　設(shè)買單片軟件x件，盒裝磁盤y盒，則命題轉(zhuǎn)化為不等式組(x，y∈N)的解的個數(shù)，不難求得(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(5,2)，(6,2)為其解，所以不同的選購方式共有7種． 答案　7 點評　本題若直接列舉討論，情況較復(fù)雜；根據(jù)題目條件設(shè)出相關(guān)變量x，y，列出不等式組縮小討論范圍，簡化了求解過程． 例5　如圖①，A，B，C，D為海上的四個小島，要建三座橋，將這四個小島連接起來，則不同的建橋方案共有________種． 解析　如圖②，構(gòu)造三棱錐A－BCD，四個頂點表示四個小島，六條棱表示連接任意兩島的橋梁． 由題意，只需求出從六條棱中任取三條不共面的棱的不同取法．從六條棱中任取三條棱的不同取法有C種，任取三條共面棱的不同取法為4種，所以從六條棱中任取三條不共面的棱的不同取法有C－4＝16(種)． 答案　16 點評　本題根據(jù)問題特征，巧妙地構(gòu)建恰當(dāng)?shù)牧Ⅲw幾何圖形，用幾何知識去解，顯得直觀清晰、簡潔明快． 6　排列、組合題錯解分類剖析 排列、組合問題類型繁多、方法豐富、富于變化，稍不注意，極易出錯．本文選擇一些在教學(xué)中學(xué)生常見的錯誤進行正誤解析． 1．沒有理解兩個基本原理出錯 排列、組合問題基于兩個基本計數(shù)原理，即分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理，故理解“分類用加、分步用乘”是解決排列、組合問題的前提． 例1　從6臺原裝計算機和5臺組裝計算機中任意選取5臺，其中至少有原裝與組裝計算機各兩臺，則不同的取法有________種． 錯解　因為可以取2臺原裝與3臺組裝計算機或是3臺原裝與2臺組裝計算機，所以只有2種取法． 錯因剖析　錯解的原因在于沒有意識到“選取2臺原裝與3臺組裝計算機或是3臺原裝與2臺組裝計算機”是完成任務(wù)的兩“類”辦法，每類辦法中都還有不同的取法． 正解　由分析，完成第一類辦法還可以分成兩步：第一步在原裝計算機中任意選取2臺，有C種方法；第二步是在組裝計算機中任意選取3臺，有C種方法，據(jù)分步計數(shù)原理共有CC種方法．同理，完成第二類辦法中有CC種方法．據(jù)分類計數(shù)原理完成全部的選取過程共有CC＋CC＝350(種)方法． 例2　在一次運動會上有四項比賽的冠軍在甲、乙、丙三人中產(chǎn)生，那么不同的奪冠情況的種數(shù)為________． 錯解　把四個冠軍，排在甲、乙、丙三個位置上，有A＝24(種)． 錯因剖析　錯解是沒有理解分步計數(shù)原理的概念，盲目地套用公式． 正解　四項比賽的冠軍依次在甲、乙、丙三人中選取，每項冠軍都有3種選取方法，由分步計數(shù)原理共有3333＝34(種)，故填81. 說明　本題還有同學(xué)這樣誤解，甲、乙、丙奪冠均有四種 情況，由乘法原理得43，這是由于沒有考慮到某項冠軍一旦被一人奪得后，其他人就不再有奪冠可能． 2．判斷不出是排列還是組合出錯 在判斷一個問題是排列還是組合問題時，主要看元素的組成有沒有順序性，有順序的是排列，無順序的是組合． 例3　有大小形狀相同的3個紅色小球和5個白色小球，排成一排，共有多少種不同的排列方法？ 錯解　因為是8個小球的全排列，所以共有A種方法． 錯因剖析　錯解中沒有考慮3個紅色小球是完全相同的，5個白色小球也是完全相同的，同色球之間互換位置是同一種排法． 正解　8個小球排好后對應(yīng)著8個位置，題中的排法相當(dāng)于在8個位置中選出3個位置給紅球，剩下的位置給白球，由于這3個紅球完全相同，所以沒有順序，是組合問題．這樣共有C＝56(種)排法． 3．重復(fù)計算出錯 在排列、組合中常會遇到元素分配問題、平均分組問題等，這些問題要注意避免重復(fù)計數(shù)，產(chǎn)生錯誤． 例4　5本不同的書全部分給4個學(xué)生，每個學(xué)生至少一本，不同的分法種數(shù)為________． 錯解　先從5本書中取4本分給4個人，有A種方法，剩下的1本書可以給任意一個人有4種分法， 共有4A＝480(種)不同的分法，填480. 錯因剖析　設(shè)5本書為a、b、c、d、e，四個人為甲、乙、丙、?。凑丈鲜龇址赡艿玫饺缦碌谋?和表2： 表1 甲 乙 丙 丁 a b c d e 表2 甲 乙 丙 丁 e b c d a 表1是甲首先分得a、乙分得b、丙分得c、丁分得d，最后一本書e給甲的情況；表2是甲首先分得e、乙分得b、丙分得c、丁分得d，最后一本書a給甲的情況．這兩種情況是完全相同的，而在錯解中計算成了不同的情況，正好重復(fù)了一次． 正解　首先把5本書轉(zhuǎn)化成4本書，然后分給4個人． 第一步：從5本書中任意取出2本捆綁成一本書，有C種方法； 第二步：再把4本書分給4個學(xué)生，有A種方法， 由分步計數(shù)原理，共有CA＝240(種)方法，故填240. 例5　某交通崗共有3人，從周一到周日的七天中，每天安排一人值班，每人至少值2天，其不同的排法共有多少種？ 錯解　第一個人先挑選2天，第二個人再挑選2天，剩下的3天給第三個人，這三個人再進行全排列．共有CCA＝1 260. 錯因剖析　這里是均勻分組問題．比如：第一人挑選的是周一、周二，第二人挑選的是周三、周四；也可能是第一個人挑選的是周三、周四，第二人挑選的是周一、周二，所以在全排列的過程中就重復(fù)計算了． 正解?。?30(種)． 4．遺漏某些情況出錯 在排列、組合問題中還可能由于考慮問題不夠全面，因為遺漏某些情況而出錯． 例6　用數(shù)字0,1,2,3,4組成沒有重復(fù)數(shù)字的比1 000大的奇數(shù)共有________個． 錯解　如圖，最后一位只能是1或3，有兩種取法， 1,3 又因為第1位不能是0，在最后一位取定后只有3種取法，剩下3個數(shù)排中間兩個位置有A種排法，共有23A＝36(個)． 錯因剖析　錯解只考慮了四位數(shù)的情況，而比1 000大的奇數(shù)還可能是五位數(shù)． 正解　任一個五位的奇數(shù)都符合要求，共有23A＝36(個)，再由前面分析知滿足題意的四位數(shù)和五位數(shù)共有72個． 5．忽視題設(shè)條件出錯 在解決排列、組合問題時，一定要注意題目中的每一句話甚至每一個字和符號，不然就可能多解或漏解． 例7　如圖，一個地區(qū)分為5個行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有______種． 錯解　先著色第一區(qū)域，有4種方法，剩下3種顏色涂四個區(qū)域，即有一種顏色涂相對的兩塊區(qū)域，有C2A＝12(種)，由分步計數(shù)原理共有412＝48(種)． 錯因剖析　據(jù)報道，在高考中有很多考生填了48種．這主要是沒有看清題設(shè)“有4種顏色可供選擇”，不一定需要4種顏色全部使用，用3種也可以完成任務(wù)． 正解　當(dāng)使用四種顏色時，由前面的錯解知有48種著色方法；當(dāng)僅使用三種顏色時，從4種顏色中選取3種有C種方法，先著色第一區(qū)域，有3種方法，剩下2種顏色涂四個區(qū)域，只能是一種顏色涂第2、4區(qū)域，另一種顏色涂第3、5區(qū)域，有2種著色方法，由分步計數(shù)原理有C32＝24(種)．綜上，共有48＋24＝72(種)． 例8　已知ax2－b＝0是關(guān)于x的一元二次方程，其中a、b∈{1,2,3,4}，求解集不同的一元二次方程的個數(shù)． 錯解　從集合{1,2,3,4}中任意取兩個元素作為a、b，方程有A個，當(dāng)a、b取同一個數(shù)時方程有1個，共有A＋1＝13(個)． 錯因剖析　錯解中沒有注意到題設(shè)中：“求解集不同的……”所以在上述解法中要去掉同解情況，由于和同解，和同解，故要減去2個． 正解　由分析，共有13－2＝11(個)解集不同的一元二次方程． 6．未考慮特殊情況出錯 在排列、組合中要特別注意一些特殊情況，一有疏漏就會出錯． 例9　現(xiàn)有1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元、50元人民幣各一張，100元人民幣2張，從中至少取一張，共可組成不同的幣值種數(shù)是________． 錯解　因為共有人民幣10張，每張人民幣都有取和不取2種情況，減去全不取的1種情況，共有210－1＝1 023(種)，故填1 023. 錯因剖析　這里100元面值比較特殊有兩張，在錯解中被計算成4種情況，實際上只有不取、取一張和取二張3種情況． 正解　除100元人民幣以外每張均有取和不取2種情況，100元人民幣的取法有3種情況，再減去全不取的1種情況，所以共有283－1＝767(種)，故填767. 7．題意的理解偏差出錯 例10　現(xiàn)有8個人排成一排照相，其中甲、乙、丙三人不能相鄰的排法有________種．(用式子作答) 錯解　除了甲、乙、丙三人以外的5人先排，有A種排法，5人排好后產(chǎn)生6個空檔，插入甲、乙、丙三人有A種方法，這樣共有AA種排法． 錯因剖析　錯解中沒有理解“甲、乙、丙三人不能相鄰”的含義，得到的結(jié)果是“甲、乙、丙三人互不相鄰”的情況．“甲、乙、丙三人不能相鄰”是指甲、乙、丙三人不能同時相鄰，但允許其中有兩人相鄰． 正解　在8個人全排列的方法數(shù)中減去甲、乙、丙全相鄰的方法數(shù)，就得到甲、乙、丙三人不相鄰的方法數(shù)， 即A－AA. 排列、組合問題雖然種類繁多，但只要能把握住最常見的原理和方法，即“分步用乘、分類用加、有序排列、無序組合”，留心容易出錯的地方就能夠以不變應(yīng)萬變，把排列、組合學(xué)好． 　　　7　用五種意識求解二項式問題 在歷年高考中都有涉及二項式定理的試題，本文總結(jié)了五種解題意識，旨在強化同學(xué)們解此類問題的目的性及方向性，避免低效性和盲目性，使解題能力得以提高． 1．通項意識 凡涉及到展開式的項及其系數(shù)問題，常是先寫出其通項公式Tr＋1＝Can－rbr，再根據(jù)題意進行求解．因此通項意識是解二項式問題的首選意識． 例1　若n的展開式中含有常數(shù)項，則最小的正整數(shù)n為________． 解析　展開式的通項為 Tr＋1＝C(2x3)n－rr＝C2n－r. 令3n－＝0，得r＝， ∵r∈N且r≤n， ∴n必須能被7整除， ∴滿足條件的最小正整數(shù)n＝7. 答案　7 2．方程意識 已知展開式中若干項系數(shù)的關(guān)系，求指數(shù)n及二項式中參數(shù)的值等，可借助展開式中的通項，根據(jù)題意建立方程解決． 例2　已知9展開式中x3的系數(shù)為，則常數(shù)a＝________. 解析　Tr＋1＝C9－rr ＝(－1)rCa9－r， 依題意，令r－9＝3，解得r＝8. 故含x3的項為第9項， 其系數(shù)為(－1)82－4Ca＝， 即a＝，解得a＝4. 答案　4 3．特殊化意識 在求展開式中的各系數(shù)之和及某些組合數(shù)之和時，有意識地對未知數(shù)試取某些特殊值是一種非常有效的方法． 例3　若對于任意的實數(shù)x，有x3＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3，則a2的值為________ 解析　a3＝1，a2＋a3C13(－2)＝0，∴a2＝6. 答案　6 點評　解決本題也可令x3＝[(x－2)＋2]3，利用展開式求解． 4．轉(zhuǎn)化意識 轉(zhuǎn)化意識是高考重點考查的內(nèi)容之一．在二項式定理的有關(guān)問題中，主要表現(xiàn)在單項式和三項式轉(zhuǎn)化配湊為二項式來求解；多個二項式的積的某項系數(shù)問題轉(zhuǎn)化為乘法分配律問題． 例4　(1＋2x2)(x－)8的展開式中常數(shù)項為________． 解析　(1＋2x2)8＝8＋2x28， ∴常數(shù)項為C48x4(－x－1)4＋2x2C58x3(－x－1)5， 即70－256＝－42. 答案?。?2 5．應(yīng)用意識 應(yīng)用是數(shù)學(xué)的歸宿，二項式定理主要應(yīng)用于近似計算、證明整除、求組合數(shù)及求余數(shù)等問題． 例5　若C＝C (n∈N*)，且(2－x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，則a0－a1＋a2－…＋(－1)nan＝________. 解析　由題知，2n＋6＝n＋2或2n＋6＋n＋2＝20， 得n＝－4(舍)或n＝4. 此時令x＝－1，得a0－a1＋a2－…＋(－1)nan＝34＝81. 答案　81 　　　8　二項式定理中易混概念辨析 在學(xué)習(xí)二項式定理時，極易忽略一些條件或混淆一些概念，下面對解題中常見的錯誤加以剖析，以提高同學(xué)們的警惕性． 1．項與項的系數(shù) (a＋b)n的展開式中的第r＋1項是Can－rbr(注意a，b可以是實數(shù)，還可以是代數(shù)式)，而第r＋1項的系數(shù)是對應(yīng)單項式中的數(shù)字因數(shù)． 例1　(x－1)10的展開式中的第6項的系數(shù)為________．(用組合數(shù)表示) 解析　因為(x－1)10的展開式的第6項是 T6＝Cx10－5(－1)5＝－Cx5， 故第6項的系數(shù)是－C. 答案?。瑿 2．項的系數(shù)與項的二項式系數(shù) (a＋b)n的展開式中的第r＋1項的二項式系數(shù)是C(r＝0,1,2，…，n)，僅與n，r有關(guān)；而第r＋1項的系數(shù)不是二項式系數(shù)C，但有時這個系數(shù)與二項式系數(shù)相等．注意二項式系數(shù)C一定為正，而對應(yīng)項的系數(shù)有時可能為負． 例2　(x3＋2x)7的展開式中第4項的二項式系數(shù)是________，第4項的系數(shù)是________． 解析　因為(x3＋2x)7的展開式的第4項是 T4＝C(x3)4(2x)3， 故該項的二項式系數(shù)是C＝35， 該項的系數(shù)是23C＝280. 答案　35　280 3．各項的二項式系數(shù)和與各項的系數(shù)和 設(shè)a，b為常數(shù)，則(ax＋b)n的展開式中各項的二項式系數(shù)和為C＋C＋C＋…＋C＝2n. 在(ax＋b)n的展開式中令x＝1，則得(ax＋b)n的展開式中各項的系數(shù)和為(a＋b)n. 例3　在(1－2x)7的展開式中，各項的二項式系數(shù)和為________；各項的系數(shù)和為________；各項系數(shù)的絕對值之和為________． 解析　各項的二項式系數(shù)和為27＝128； 令x＝1，則得各項的系數(shù)和為(1－2)7＝－1； 令x＝－1，則得各項系數(shù)的絕對值之和為 (1＋2)7＝2 187. 答案　128?。?　2 187 4．奇(偶)數(shù)項系數(shù)與奇(偶)次項系數(shù) 例4　(1－x)6的展開式中，x的奇次項系數(shù)之和是________． 錯解　∵(1－x)6＝C－Cx＋Cx2－…＋Cx6， ∴奇次項系數(shù)之和為C＋C＋C＋C＝32， 故填32. 錯因剖析　混淆了奇數(shù)項系數(shù)與奇次項系數(shù)的概念，誤以為是奇數(shù)項系數(shù)之和，從而導(dǎo)致錯誤． 正解　∵(1－x)6＝C－Cx＋Cx2－…＋Cx6， ∴奇次項系數(shù)之和為－C－C－C＝－32，故填－32. 答案　－32 5．顛倒公式(a＋b)n中a，b的順序 例5　若n展開式中，第3項是常數(shù)，則中間項是第幾項？ 錯解　T3＝Cxn－2＝C， 因為第3項是常數(shù)，所以令＝0， 解得n＝.由于n為自然數(shù)， 所以此題無解． 錯因剖析　此題并不是無解．二項式(a＋b)n與(b＋a)n全部展開項是相同的，只是前后順序顛倒而已；但具體涉及到二項展開式的某一項時就不一定相同了，因為二項展開式的項是按照(a＋b)n第一個數(shù)a的降冪排列的，不可隨意顛倒a，b的順序，如(a＋b)n的第r＋1項是Can－rbr，(b＋a)n的第r＋1項是Cbn－rar，因此要注意項數(shù)與順序的關(guān)系． 正解　T3＝C2＝C，因為第3項是常數(shù)，所以令＝0， 解得n＝8. 故展開式總共有9項，中間項是第5項．