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三角形 04 三角形 限時(shí):45分鐘　滿分:100分 一、選擇題(每題4分,共32分) 1.若一個(gè)角為65,則它的補(bǔ)角的度數(shù)為 (　　) A.25 B.35 C.115 D.125 2.下列各組線段中,能夠組成直角三角形的一組是 (　　) A.1,2,3 B.1,3,4 C.4,5,6 D.1,2,3 3.已知直線m∥n,將一塊含30角的直角三角尺ABC按如圖D4-1方式放置(∠ABC=30),其中A,B兩點(diǎn)分別落在直線m,n上.若∠1=20,則∠2的度數(shù)為 (　　) 圖D4-1 A.20 B.30 C.45 D.50 4.如圖D4-2,在△ABC和△DEF中,AB=DE,∠B=∠DEF,添加下列條件,仍無法證明△ABC≌△DEF的是 (　　) 圖D4-2 A.AC∥DF B.∠A=∠D C.AC=DF D.∠ACB=∠F 5.如圖D4-3,直線l1∥l2∥l3,直線a,b與l1,l2,l3分別交于點(diǎn)A,B,C和點(diǎn)D,E,F.若ABBC=23,DE=4,則EF的長是 (　　) 圖D4-3 A.83 B.203 C.6 D.10 6.下列命題中,真命題是 (　　) A.a2=(a)2一定成立 B.位似圖形不可能全等 C.正多邊形都是軸對(duì)稱圖形 D.圓錐的主視圖一定是等邊三角形 7.如圖D4-4,AB⊥CD,且AB=CD,E,F是AD上兩點(diǎn),CE⊥AD,BF⊥AD.若CE=a,BF=b,EF=c,則AD的長為 (　　) 圖D4-4 A.a+c B.b+c C.a-b+c D.a+b-c 8.如圖D4-5,點(diǎn)A在線段BD上,在BD的同側(cè)作等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE,CD與BE,AE分別交于點(diǎn)P,M.對(duì)于下列結(jié)論: 圖D4-5 ①△BAE∽△CAD;②MPMD=MAME;③2CB2=CPCM.其中正確的是 (　　) A.①②③ 　 B.① C.①② D.②③ 二、填空題(每題4分,共16分) 9.如圖D4-6,在Rt△ABC中,∠ABC=90,D為AC的中點(diǎn).若∠C=55,則∠ABD=　　　　. 圖D4-6 10.如圖D4-7,在△ABC中,∠ACB=90,M,N分別是AB,AC的中點(diǎn),延長BC至點(diǎn)D,使CD=13BD,連接DM,DN,MN.若AB=6,則DN=　　　　. 圖D4-7 11.如圖D4-8,△AOB三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(8,0),O(0,0),B(8,-6),點(diǎn)M為OB的中點(diǎn).以點(diǎn)O為位似中心,把△AOB縮小為原來的12,得到△AOB,點(diǎn)M為OB的中點(diǎn),則MM的長為　　　　. 圖D4-8 12.如圖D4-9,在?ABCD中,∠B=30,AB=AC,O是兩條對(duì)角線的交點(diǎn),過點(diǎn)O作AC的垂線分別交邊AD,BC于點(diǎn)E,F,點(diǎn)M是邊AB的一個(gè)三等分點(diǎn),則△AOE與△BMF的面積比為　　　　. 圖D4-9 三、解答題(共52分) 13.(12分)如圖D4-10,在四邊形ABCD中,AD∥BC,連接AC,且AC=BC,在對(duì)角線AC上取點(diǎn)E,使CE=AD,連接BE. (1)求證:△DAC≌△ECB; (2)若CA平分∠BCD,且AD=3,求BE的長. 圖D4-10 14.(15分)如圖D4-11,點(diǎn)P是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn),將△APC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△BDC,連接PD. (1)求證:△DPC是等邊三角形; (2)當(dāng)∠APC=150時(shí),試判斷△DPB的形狀,并說明理由; (3)當(dāng)∠APB=100且△DPB是等腰三角形時(shí),求∠APC的度數(shù). 圖D4-11 15.(14分)如圖D4-12,在銳角三角形ABC中,點(diǎn)D,E分別在邊AC,AB上,AG⊥BC于點(diǎn)G,AF⊥DE于點(diǎn)F,∠EAF=∠GAC. (1)求證:△ADE∽△ABC; (2)若AD=3,AB=5,求AFAG的值. 圖D4-12 16.(11分)如圖D4-13是放在水平地面上的一把椅子的側(cè)面圖,椅子高為AC,椅面寬為BE,椅腳高為ED,且AC⊥BE,AC⊥CD,AC∥ED.從點(diǎn)A測得點(diǎn)D,E的俯角分別為64和53.已知ED=30 cm,椅子的高AC約為多少? 參考數(shù)據(jù):tan53≈43,sin53≈45,tan64≈2,sin64≈910 圖D4-13 參考答案 1.C　2.D　3.D　4.C　5.C　6.C 7.D　[解析] ∵AB⊥CD,CE⊥AD,BF⊥AD,∴∠AFB=∠CED=90,∠A+∠D=90,∠C+∠D=90.∴∠A=∠C.又∵AB=CD,∴△ABF≌△CDE.∴AF=CE=a,DE=BF=b.∵EF=c,∴AD=AF+DF=a+(b-c)=a+b-c.故選D. 8.A　[解析] 由已知,得AC=2AB,AD=2AE.∴ACAB=ADAE.∵∠BAC=∠EAD,∴∠BAE=∠CAD.∴△BAE∽△CAD,①正確. ∵△BAE∽△CAD,∴∠BEA=∠CDA.∵∠PME=∠AMD,∴△PME∽△AMD.∴MPMA=MEMD.∴MPMD=MAME,②正確. ∵∠BEA=∠CDA,∠PME=∠AMD,∴∠MPE=∠MAD,P,E,D,A四點(diǎn)共圓.∴∠APD=∠AED=90.∵∠CAE=180-∠BAC-∠EAD=90,∴△CAP∽△CMA.∴AC2=CPCM.∵AC=2BC,∴2CB2=CPCM,③正確.故選A. 9.35 10.3 11.52或152　[解析] 如圖,在Rt△AOB中,OB=62+82=10.①當(dāng)△AOB在第四象限時(shí),MM=52;②當(dāng)△A″OB″在第二象限時(shí),MM″=152.故答案為52或152. 12.3∶4　[解析] 設(shè)AB=AC=m,則BM=13m.∵O是兩條對(duì)角線的交點(diǎn),∴OA=OC=12AC=12m.∵∠B=30,AB=AC,∴∠ACB=∠B=30.∵EF⊥AC,∴cos∠ACB=OCFC,即cos30=12mFC.∴FC=33m.∵AE∥FC,∴∠EAC=∠FCA.又∵∠AOE=∠COF,AO=CO,∴△AOE≌△COF.∴AE=FC=33m.∴OE=12AE=36m.∴S△AOE=12OAOE=1212m36m=324m2.如圖,過點(diǎn)A作AN⊥BC于點(diǎn)N,∵AB=AC,∴BN=CN=12BC.∴BN=32AB=32m.∴BC=3m,∴BF=BC-FC=3m-33m=233m.過點(diǎn)M作MH⊥BC于點(diǎn)H.∵∠B=30,∴MH=12BM=16m.∴S△BMF=12BFMH=12233m16m=318m2.∴S△AOES△BMF=324m2318m2=34.故答案為3∶4. 13.解:(1)證明:∵AD∥BC,∴∠DAC=∠ECB. 在△DAC和△ECB中,AD=CE,∠DAC=∠ECB,AC=BC, ∴△DAC≌△ECB(SAS). (2)∵CA平分∠BCD,∴∠ECB=∠DCA. 由(1)可知∠DAC=∠ECB, ∴∠DAC=∠DCA.∴CD=DA=3. 又由(1)可得△DAC≌△ECB,∴BE=CD=3. 14.解:(1)證明:由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),得△APC≌△BDC,PC=DC,∠PCD=∠ACB.∵在等邊三角形ABC中,∠ACB=60,∴∠PCD=60.∴△DPC是等邊三角形. (2)△DPB是直角三角形.理由:由旋轉(zhuǎn)得∠BDC=∠APC=150,又由(1)知△DPC是等邊三角形,∴∠PDC=60.∴∠BDP=∠BDC-∠PDC=90.∴△DPB是直角三角形. (3)設(shè)∠APC=x,則∠BPD=200-x,∠BDP=x-60.①若PD=PB,則(200-x)+2(x-60)=180,x=100;②若PD=DB,則2(200-x)+(x-60)=180,x=160;③若PB=DB,則200-x=x-60,x=130. 15.解:(1)證明:∵AG⊥BC,AF⊥DE, ∴∠AFE=∠AGC=90. ∵∠EAF=∠GAC,∴∠AED=∠ACB. 又∵∠EAD=∠BAC,∴△ADE∽△ABC. (2)由(1)可知,△ADE∽△ABC, ∴∠ADE=∠B. 又∵∠AFD=∠AGB=90, ∴△AFD∽△AGB.∴AFAG=ADAB. 又∵AD=3,AB=5,∴AFAG=35. 16.解:∵AC⊥BE,AC⊥CD, ∴∠ACD=∠ABE=90.∵AC∥DE, ∴∠CDE=180-∠ACD=180-90=90. ∴四邊形BCDE是矩形. ∴BC=DE=30,BE=CD. 在Rt△ABE中,∠AEB=53, ∴BE=ABtan∠AEB=AC-BCtan53≈AC-3043=34(AC-30). 在Rt△ACD中,∠ADC=64, ∴CD=ACtan∠ADC=ACtan64≈AC2. ∴AC2=3(AC-30)4.解得AC=90. 答:椅子的高AC約為90 cm.