2019年高考數(shù)學(xué) 考點(diǎn)分析與突破性講練 專題37 隨機(jī)事件、古典概型和幾何概型 理.doc
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專題37 隨機(jī)事件、古典概型和幾何概型 一、考綱要求： 1.了解隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，了解概率的意義及頻率與概率的區(qū)別. 2.了解兩個(gè)互斥事件的概率加法公式． 3.理解古典概型及其概率計(jì)算公式.2.會(huì)計(jì)算一些隨機(jī)事件所包含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率． 4.了解隨機(jī)數(shù)的意義，能運(yùn)用模擬方法估計(jì)概率. 5.了解幾何概型的意義． 二、概念掌握及解題上的注意點(diǎn)： 1.概率與頻率的關(guān)系 概率是常數(shù)，是頻率的穩(wěn)定值，頻率是變量，是概率的近似值.有時(shí)也用頻率來作為隨機(jī)事件概率的估計(jì)值. 2.隨機(jī)事件概率的求法 利用概率的統(tǒng)計(jì)定義求事件的概率，即通過大量的重復(fù)試驗(yàn)，事件發(fā)生的頻率會(huì)逐漸趨近于某一個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)就是概率. 3.復(fù)雜事件的概率的兩種求法 (1）)直接求法，將所求事件分解為一些彼此互斥的事件，運(yùn)用互斥事件的概率求和公式計(jì)算. (2）)間接求法，先求此事件的對(duì)立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P()求解(正難則反)，特別是“至多”“至少”型題目，用間接求法就比較簡(jiǎn)便. 4.求古典概型概率的步驟 (1）判斷本試驗(yàn)的結(jié)果是否為等可能事件，設(shè)出所求事件A； (2）分別求出基本事件的總數(shù)n與所求事件A中所包含的基本事件個(gè)數(shù)m； (3）利用公式P(A)＝，求出事件A的概率. 5.確定基本事件個(gè)數(shù)的方法： (1）基本事件較少的古典概型，用列舉法寫出所有基本事件時(shí)，可借助“樹狀圖”列舉，以便做到不重、不漏. (2）利用計(jì)數(shù)原理、排列與組合的有關(guān)知識(shí)計(jì)算基本事件. 6.與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型 如果試驗(yàn)結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域可用長(zhǎng)度度量，則其概率的計(jì)算公式為P(A)＝ . 7.與角度有關(guān)的幾何概型 當(dāng)涉及射線的轉(zhuǎn)動(dòng)、扇形中有關(guān)落點(diǎn)區(qū)域問題時(shí)，應(yīng)以角的大小作為區(qū)域度量來計(jì)算概率，且不可用線段的長(zhǎng)度代替，這是兩種不同的度量手段. 三、高考考題題例分析： 例1.（2018全國(guó)卷I）如圖來自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形．此圖由三個(gè)半圓構(gòu)成，三個(gè)半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC，直角邊AB，AC．△ABC的三邊所圍成的區(qū)域記為I，黑色部分記為Ⅱ，其余部分記為Ⅲ．在整個(gè)圖形中隨機(jī)取一點(diǎn)，此點(diǎn)取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分別記為p1，p2，p3，則（ ） A．p1=p2 B．p1=p3 C．p2=p3 D．p1=p2+p3 【答案】A 例2.（2018全國(guó)卷II）我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果．哥德巴赫猜想是“每個(gè)大于2的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和”，如30=7+23．在不超過30的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于30的概率是（ ?。? A． B． C． D． 【答案】C 例3.(2016天津高考)甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是，甲獲勝的概率是，則甲不輸?shù)母怕蕿? ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】：事件“甲不輸”包含“和棋”和“甲獲勝”這兩個(gè)互斥事件，所以甲不輸?shù)母怕蕿椋? 例4.(2017全國(guó)卷Ⅲ)某超市計(jì)劃按月訂購(gòu)一種酸奶，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本每瓶4元，售價(jià)每瓶6元，未售出的酸奶降價(jià)處理，以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完．根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn)，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位：℃)有關(guān)．如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間[20,25)，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶．為了確定六月份的訂購(gòu)計(jì)劃，統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表： 最高氣溫 [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40) 天數(shù) 2 16 36 25 7 4 以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計(jì)最高氣溫位于該區(qū)間的概率． (1)估計(jì)六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率； (2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤(rùn)為Y(單位：元)．當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量為450瓶時(shí)，寫出Y的所有可能值，并估計(jì)Y大于零的概率． 【答案】(1) 0.6；(2) Y的所有可能值為900,300，－100. Y大于零的概率的估計(jì)值為0.8. 【解析】： (1)這種酸奶一天的需求量不超過300瓶，當(dāng)且僅當(dāng)最高氣溫低于25，由表格數(shù)據(jù)知，最高氣溫低于25的頻率為＝0.6，所以這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率的估計(jì)值為0.6. (2)當(dāng)這種酸奶一天的進(jìn)貨量為450瓶時(shí)， 若最高氣溫不低于25，則Y＝6450－4450＝900； 若最高氣溫位于區(qū)間[20,25)，則Y＝6300＋2(450－300)－4450＝300； 若最高氣溫低于20，則Y＝6200＋2(450－200)－4450＝－100. 所以，Y的所有可能值為900,300，－100. Y大于零當(dāng)且僅當(dāng)最高氣溫不低于20，由表格數(shù)據(jù)知，最高氣溫不低于20的頻率為＝0.8，因此Y大于零的概率的估計(jì)值為0.8. 3．圍棋盒子中有多粒黑子和白子，已知從中取出2粒都是黑子的概率為，都是白子的概率是.則從中任意取出2粒恰好是同一色的概率是( ) A． B． C． D．1 【答案】C 4．下面三行三列的方陣中有九個(gè)數(shù)aij(i＝1,2,3；j＝1,2,3)，從中任取三個(gè)數(shù)，則至少有兩個(gè)數(shù)位于同行或同列的概率是( ) A． B． C． D． 【答案】D 5．在正六邊形的6個(gè)頂點(diǎn)中隨機(jī)選擇4個(gè)頂點(diǎn)，則構(gòu)成的四邊形是梯形的概率為( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】： 如圖，在正六邊形ABCDEF的6個(gè)頂點(diǎn)中隨機(jī)選擇4個(gè)頂點(diǎn)，共有15種選法，其中構(gòu)成的四邊形是梯形的有ABEF，BCDE，ABCF，CDEF，ABCD，ADEF，共6種情況，故構(gòu)成的四邊形是梯形的概率P＝＝. 6．一對(duì)年輕夫婦和其兩歲的孩子做游戲，讓孩子把分別寫有“1”“3”“1”“4”的四張卡片隨機(jī)排成一行，若卡片按從左到右的順序排成“1314”，則孩子會(huì)得到父母的獎(jiǎng)勵(lì)，那么孩子受到獎(jiǎng)勵(lì)的概率為( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】：先從4個(gè)位置中選一個(gè)排4，再?gòu)氖Ｏ碌奈恢弥羞x一個(gè)排3，最后剩下的2個(gè)位置排1. ∴共有431＝12種不同排法． 又卡片排成“1314”只有1種情況， 故所求事件的概率P＝. 7.某車間共有12名工人，隨機(jī)抽取6名作為樣本，他們某日加工零件個(gè)數(shù)的莖葉圖如圖1053所示，其中莖為十位數(shù)，葉為個(gè)位數(shù)，日加工零件個(gè)數(shù)大于樣本均值的工人為優(yōu)秀工人．要從這6人中，隨機(jī)選出2人參加一項(xiàng)技術(shù)比賽，選出的2人至少有1人為優(yōu)秀工人的概率為( ) 圖1053 A． B． C． D． 【答案】C 8．設(shè)實(shí)數(shù)a∈(0,1)，則函數(shù)f(x)＝x2－(2a＋1)x＋a2＋1有零點(diǎn)的概率為( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】： 由函數(shù)f(x)＝x2－(2a＋1)x＋a2＋1有零點(diǎn)，可得Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋1)＝4a－3≥0，解得a≥，即有≤a<1，結(jié)合幾何概型的概率計(jì)算公式可得所求的概率為P＝＝，故選D. 9．已知圓C：x2＋y2＝4，直線l：y＝x，則圓C上任取一點(diǎn)A到直線l的距離小于1的概率為( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】：如圖所示，設(shè)與y＝x平行的兩直線AD，BF交圓C于點(diǎn)A，D，B，F(xiàn)，且它們到直線y＝x的距離相等，過點(diǎn)A作AE垂直于直線y＝x，垂足為E，當(dāng)點(diǎn)A到直線y＝x的距離為1時(shí)，AE＝1，又CA＝2，則∠ACE＝，所以∠ACB＝∠FCD＝，所以所求概率P＝＝，故選D. 10．安排甲、乙、丙、丁四人參加周一至周六的公益活動(dòng)，每天只需一人參加，其中甲參加三天活動(dòng)，乙、丙、丁每人參加一天，那么甲連續(xù)三天參加活動(dòng)的概率為( ) A． B． C． D． 【答案】B 11．?dāng)S一個(gè)骰子的試驗(yàn)，事件A表示“出現(xiàn)小于5的偶數(shù)點(diǎn)”，事件B表示“出現(xiàn)小于5的點(diǎn)數(shù)”，若表示B的對(duì)立事件，則一次試驗(yàn)中，事件A＋發(fā)生的概率為( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】：擲一個(gè)骰子的試驗(yàn)有6種可能結(jié)果． 依題意P(A)＝＝，P(B)＝＝， ∴P()＝1－P(B)＝1－＝. ∵表示“出現(xiàn)5點(diǎn)或6點(diǎn)”的事件， ∴事件A與互斥， 從而P(A＋)＝P(A)＋P()＝＋＝. 12．設(shè)復(fù)數(shù)z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)，若|z|≤1，則y≥x的概率為( ) A．＋π B．＋ C．－ D．－ 【答案】D 二、填空題 13．一只袋子中裝有7個(gè)紅玻璃球，3個(gè)綠玻璃球，從中無放回地任意抽取兩次，每次只取一個(gè)，取得兩個(gè)紅球的概率為，取得兩個(gè)綠球的概率為，則取得兩個(gè)同顏色的球的概率為________；至少取得一個(gè)紅球的概率為________. 【答案】 【解析】：由于“取得兩個(gè)紅球”與“取得兩個(gè)綠球”是互斥事件，取得兩個(gè)同色球，只需兩互斥事件有一個(gè)發(fā)生即可，因而取得兩個(gè)同色球的概率為P＝＋＝. 由于事件A“至少取得一個(gè)紅球”與事件B“取得兩個(gè)綠球”是對(duì)立事件，則至少取得一個(gè)紅球的概率為P(A)＝1－P(B)＝1－＝. 14．某城市2017年的空氣質(zhì)量狀況如表所示： 污染指數(shù)T 30 60 100 110 130 140 概率P 其中污染指數(shù)T≤50時(shí)，空氣質(zhì)量為優(yōu)；50下載提示(請(qǐng)認(rèn)真閱讀)
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