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課時23 圓的方程
模擬訓練（分值：60分 建議用時：30分鐘）
1．方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圓的充要條件是 ( )
A.
1 C．m< D．m>1
【答案】B
【解析】由(4m)2＋4－45m＞0知m＜或m＞1.
2．已知圓的方程為x2＋y2－6x－8y＝0，設該圓過點(3,5)的最長弦和最短弦分別為AC和BD，則四邊形ABCD的面積為( )
A．10 B．20 C．30 D．40
【答案】B
3．如果圓的方程為x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，則當圓的面積最大時，圓心為( )
A．(－1,1) B．(－1,0) C．(0，－1) D．(1，－1)
【答案】C
【解析】方程為x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0化為標準方程為2＋(y＋1)2＝1－，因為r2＝1－≤1，所以當k＝0時，r最大，圓的面積最大，此時圓心為(0，－1)．
4．當a為任意實數(shù)時，直線(a－1)x－y＋a＋1＝0恒過定點C，則以C為圓心，半徑為的圓的方程為 ( )
A．x2＋y2－2x＋4y＝0 B．x2＋y2＋2x＋4y＝0
C．x2＋y2＋2x－4y＝0 D．x2＋y2－2x－4y＝0
【答案】C
【解析】由(a－1)x－y＋a＋1＝0得(x＋1)a－(x＋y－1)＝0，∴該直線恒過點(－1,2)，∴所求圓的方程為(x＋1)2＋(y－2)2＝5.
5．方程|x|－1＝所表示的曲線是( )
A．一個圓 B．兩個圓
C．半個圓 D．兩個半圓
【答案】D
【解析】原方程即
即或
故原方程表示兩個半圓．
6．已知＝(2＋2cosα，2＋2sinα)，α∈R，O為坐標原點，向量滿足＋
＝0，則動點Q的軌跡方程是__________．
【答案】(x＋2)2＋(y＋2)2＝4
【解析】設Q(x，y)，
由＋＝(2＋2cosα＋x,2＋2sinα＋y)＝0，
∴
∴(x＋2)2＋(y＋2)2＝4.
7．若實數(shù)x、y滿足(x－2)2＋y2＝3，則的最大值為______．
【答案】
8．求經過A(4,2)，B(－1,3)兩點，且在兩坐標軸上的四個截距之和是2的圓的方程
為__________________．
【答案】 x2＋y2－2x－12＝0
【解析】設所求圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
令y＝0得x2＋Dx＋F＝0，
∴圓在x軸上的截距之和為x1＋x2＝－D，
令x＝0得y2＋Ey＋F＝0，
∴圓在y軸的截距之和為y1＋y2＝－E，
由題設x1＋x2＋y1＋y2＝－(D＋E)＝2，
∴D＋E＝－2. ①
又A(4,2)，B(－1,3)在圓上，
∴16＋4＋4D＋2E＋F＝0， ②
1＋9－D＋3E＋F＝0， ③
由①②③解得D＝－2，E＝0，F(xiàn)＝－12.
故所求圓的方程為：x2＋y2－2x－12＝0.
9．已知圓滿足：①截y軸所得弦長為2；②被x軸分成兩段圓弧，其弧長的比為3∶1；③圓心到直線l：x－2y＝0的距離為，求該圓的方程．
10．已知半徑為5的動圓C的圓心在直線l：x－y＋10＝0上．
(1)若動圓C過點(－5,0)，求圓C的方程；
(2)是否存在正實數(shù)r，使得動圓C中滿足與圓O：x2＋y2＝r2相外切的圓有且只有一個？若存在，請求出來；若不存在，請說明理由．
【解析】(1)依題意，可設動圓C的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝25，其中圓心(a，b)滿足a－b＋10＝0.
又∵動圓過點(－5,0)，故(－5－a)2＋(0－b)2＝25.
[新題訓練] （分值：10分 建議用時：10分鐘）
11．（5分）方程lg(x2＋y2－1)＝0所表示的曲線圖形是( )
【答案】D
【解析】 lg(x2＋y2－1)＝0等價于或故選項D中的圖形正確．注意其中的變量的限制條件．
12．（5分）在平面直角坐標系xOy中，已知圓x2＋y2＝4上有且僅有四個點到直線12x－5y＋c＝0的距離為1，則實數(shù)c的取值范圍是________．
【答案】(－13,13)
【解析】 直線12x－5y＋c＝0是平行直線系，當圓x2＋y2＝4上有且只有四個點到該直線的距離等于1時，需保證圓心到直線的距離小于1，即<1，故－13
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