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2019屆高三數(shù)學(xué)10月月考試題 理 (VIII)
一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)
1.已知集合A={1,2,3},B={x|(x+1)(x-2)<0,x∈Z},則A∪B等于( )
A.{1} B.{1,2}
C.{0,1,2,3} D.{-1,0,1,2,3}
2.下列命題中,真命題是( )
A.?x∈R,x2-x-1>0
B.?α,β∈R,sin(α+β)
1(a>0,a≠1)的解集是{x|x<0},命題q:函數(shù)y=lg(ax2-x+a)的定義域?yàn)镽.如果p∨q為真命題,p∧q為假命題,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為____________.
14.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的周期為2的奇函數(shù),當(dāng)01.
故a的取值范圍為a>1.
(2)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=x2-4x+a+3圖象的對(duì)稱軸是x=2,
所以y=f(x)在[-1,1]上是減函數(shù).
又y=f(x)在[-1,1]上存在零點(diǎn),
所以即
解得-8≤a≤0.
故實(shí)數(shù)a的取值范圍為-8≤a≤0.
18.解 (1)由題意知,f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),且f′(x)=+=,a>0,
顯然f′(x)>0,故f(x)在(0,+∞)上是單調(diào)遞增函數(shù).
(2)由(1)可知,f′(x)=.
①若a≥-1,則當(dāng)x∈(1,e)時(shí),x+a>0,即f′(x)>0,
故f(x)在[1,e]上為增函數(shù),
所以f(x)min=f(1)=-a=,所以a=-(舍去).
②若a≤-e,則當(dāng)x∈(1,e)時(shí),x+a<0,即f′(x)<0,
故f(x)在[1,e]上為減函數(shù),
所以f(x)min=f(e)=1-=,
所以a=-(舍去).
③若-e<a<-1,令f′(x)=0,得x=-a,
當(dāng)1<x<-a時(shí),f′(x)<0,f(x)在(1,-a)上為減函數(shù);
當(dāng)-a<x<e時(shí),f′(x)>0,f(x)在(-a,e)上為增函數(shù).
所以f(x)min=f(-a)=ln(-a)+1=,
所以a=-.
綜上所述,a=-.
19.解 (1)由已知及正弦定理得,2cos C(sin Acos B+sin Bcos A)=sin C,2cos Csin(A+B)=sin C,
故2sin Ccos C=sin C.可得cos C=,
又C∈(0,π),所以C=.
(2)由已知,absin C=,又C=,所以ab=6,由已知及余弦定理得,a2+b2-2abcos C=7,故a2+b2=13,從而(a+b)2=25.所以△ABC的周長(zhǎng)為5+.
20.解 (1)由題中圖象知,T=π-=π,
∴T=π.
由=π,得ω=2,
∴f(x)=2sin(2x+φ).
∵點(diǎn)(,2)在函數(shù)f(x)的圖象上,
∴sin(+φ)=1,即+φ=+2kπ(k∈Z),
得φ=+2kπ(k∈Z).
∵0<φ<π,∴φ=,
∴f(x)=2sin(2x+).
∵-≤x≤,∴0≤2x+≤π,
∴0≤sin(2x+)≤1,
∴0≤f(x)≤2.
故f(x)在[-,]上的值域?yàn)閇0,2].
(2)∵f(A)=2sin(2A+)=1,
∴sin(2A+)=.
∵<2A+<π,∴2A+=π,
∴A=.
在△ABC中,由余弦定理,得
BC2=9+4-232=7,
∴BC=,
由正弦定理,得=,故sin B=.
又∵AC<AB,∴∠B為銳角,∴cos B=,
∴sin 2B=2sin Bcos B=2=.
21.解 (1)∵f(x)在(2,+∞)上單調(diào)遞增,
∴f′(x)=≥0在(2,+∞)上恒成立,
即x2-(a+1)x+a≥0在(2,+∞)上恒成立,
即(1-x)a+x2-x≥0在(2,+∞)上恒成立,
即(1-x)a≥x-x2在(2,+∞)上恒成立,
即a≤x在(2,+∞)上恒成立.
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞,2].
(2)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),
f′(x)==.
①當(dāng)a>1時(shí),令f′(x)>0,結(jié)合f(x)定義域解得0<x<1或x>a,
∴f(x)在(0,1)和(a,+∞)上單調(diào)遞增,在(1,a)上單調(diào)遞減,
此時(shí)f(x)極小值=f(a)=-a2-a+aln a,
若f(x)在(0,e)內(nèi)有極小值,則1<a<e,
但此時(shí)-a2-a+aln a<0與f(x)=矛盾.
②當(dāng)a=1時(shí),此時(shí)f′(x)恒大于等于0,不可能有極小值.
③當(dāng)a<1時(shí),不論a是否大于0,f(x)的極小值只能是f(1)=--a,
令 --a=,即a=-1,滿足a<1.
綜上所述,a=-1.
22.(10分)解 (1)消去參數(shù)t,把直線 l的參數(shù)方程(t為參數(shù))化為普通方程得x-y+1=0,曲線C的極坐標(biāo)方程ρ=2sin可化為ρ2=2ρsin θ+2ρcos θ.
∴曲線C的直角坐標(biāo)方程是x2+y2=2y+2x,
即(x-1)2+(y-1)2=2.
(2)∵直線l與曲線C交于A,B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)P,把直線l的參數(shù)方程(t為參數(shù))代入曲線C的直角坐標(biāo)方程(x-1)2+(y-1)2=2中,得t2-t-1=0,∴t1+t2=1,t1t2=-1.
依據(jù)參數(shù)t的幾何意義得+=+====.
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