2.6.1　曲線(xiàn)與方程 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.了解曲線(xiàn)上的點(diǎn)與方程的解之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.2.初步領(lǐng)會(huì)“曲線(xiàn)的方程”與“方程的曲線(xiàn)”的概念.3.學(xué)會(huì)分析、判斷曲線(xiàn)與方程的關(guān)系，強(qiáng)化“形”與“數(shù)”的統(tǒng)一以及相互轉(zhuǎn)化的思想方法． 知識(shí)點(diǎn)　曲線(xiàn)與方程的概念 思考　到兩坐標(biāo)軸距離相等的點(diǎn)的軌跡方程是什么？為什么？ 答案　y＝x.在直角坐標(biāo)系中，到兩坐標(biāo)軸距離相等的點(diǎn)M的坐標(biāo)(x0，y0)滿(mǎn)足y0＝x0或y0＝－x0，即(x0，y0)是方程y＝x的解；反之，如果(x0，y0)是方程y＝x或y＝－x的解，那么以(x0，y0)為坐標(biāo)的點(diǎn)到兩坐標(biāo)軸距離相等． 梳理　如果曲線(xiàn)C上點(diǎn)的坐標(biāo)(x，y)都是方程f(x，y)＝0的解(條件①，即純粹性)，且以方程f(x，y)＝0的解(x，y)為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線(xiàn)C上(條件②，即完備性)，那么，方程f(x，y)＝0叫做曲線(xiàn)C的方程，曲線(xiàn)C叫做方程f(x，y)＝0的曲線(xiàn)． 特別提醒：(1)曲線(xiàn)的方程和方程的曲線(xiàn)是兩個(gè)不同的概念，是從不同角度出發(fā)的兩種說(shuō)法．曲線(xiàn)C的點(diǎn)集和方程f(x，y)＝0的解集之間是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，曲線(xiàn)的性質(zhì)可以反映在它的方程上，方程的性質(zhì)又可以反映在曲線(xiàn)上．定義中的條件①說(shuō)明曲線(xiàn)上的所有點(diǎn)都適合這個(gè)方程；條件②說(shuō)明適合方程的點(diǎn)都在曲線(xiàn)上而毫無(wú)遺漏． (2)曲線(xiàn)的方程和方程的曲線(xiàn)有著緊密的關(guān)系，通過(guò)曲線(xiàn)上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)對(duì)(x，y)建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，使方程成為曲線(xiàn)的代數(shù)表示，通過(guò)研究方程的性質(zhì)可間接地研究曲線(xiàn)的性質(zhì)． 1．過(guò)點(diǎn)A(3,0)且垂直于x軸的直線(xiàn)的方程為x＝3.(√) 2．到y(tǒng)軸距離為2的點(diǎn)的直線(xiàn)方程x＝－2.() 3．方程＝1表示斜率為1，在y軸上的截距是2的直線(xiàn)．()  類(lèi)型一　曲線(xiàn)與方程的概念 例1　命題“曲線(xiàn)C上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程f(x，y)＝0的解”是正確的，下列命題中正確的是________．(填序號(hào)) ①方程f(x，y)＝0的曲線(xiàn)是C； ②方程f(x，y)＝0的曲線(xiàn)不一定是C； ③f(x，y)＝0是曲線(xiàn)C的方程； ④以方程f(x，y)＝0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線(xiàn)C上． 答案　② 解析　不論方程f(x，y)＝0是曲線(xiàn)C的方程，還是曲線(xiàn)C是方程f(x，y)＝0的曲線(xiàn)，都必須同時(shí)滿(mǎn)足兩層含義：曲線(xiàn)上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解，以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線(xiàn)上，所以①，③，④錯(cuò)誤． 反思與感悟　解決“曲線(xiàn)”與“方程”的判定這類(lèi)問(wèn)題(即判定方程是不是曲線(xiàn)的方程或判定曲線(xiàn)是不是方程的曲線(xiàn))，只要一一檢驗(yàn)定義中的“兩性”是否都滿(mǎn)足，并作出相應(yīng)的回答即可．判斷點(diǎn)是否在曲線(xiàn)上，就是判斷點(diǎn)的坐標(biāo)是否適合曲線(xiàn)的方程． 跟蹤訓(xùn)練1　設(shè)方程f(x，y)＝0的解集非空，如果命題“坐標(biāo)滿(mǎn)足方程f(x，y)＝0的點(diǎn)都在曲線(xiàn)C上”是不正確的，給出下列命題： ①坐標(biāo)滿(mǎn)足方程f(x，y)＝0的點(diǎn)都不在曲線(xiàn)C上； ②曲線(xiàn)C上的點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿(mǎn)足方程f(x，y)＝0； ③坐標(biāo)滿(mǎn)足方程f(x，y)＝0的點(diǎn)有些在曲線(xiàn)C上，有些不在曲線(xiàn)C上； ④一定有不在曲線(xiàn)C上的點(diǎn)，其坐標(biāo)滿(mǎn)足f(x，y)＝0. 其中判斷正確的是________．(填序號(hào)) 答案　④ 解析　“坐標(biāo)滿(mǎn)足方程f(x，y)＝0的點(diǎn)都在曲線(xiàn)C上”不正確，即“坐標(biāo)滿(mǎn)足方程f(x，y)＝0的點(diǎn)不都在曲線(xiàn)C上”是正確的．“不都在”包括“都不在”和“有的在，有的不在”兩種情況，故①③錯(cuò)，②顯然錯(cuò)． 類(lèi)型二　點(diǎn)與曲線(xiàn)的位置關(guān)系 例2　方程(x－4y－12)[(－3)＋log2(x＋2y)]＝0表示的曲線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(0，－3)，B(0,4)，C，D(8,0)中的________個(gè)． 答案　2 解析　由對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0，得x＋2y＞0， ∴A(0，－3)，C不符合要求； 將B(0,4)代入方程檢驗(yàn)，符合要求；將D(8,0)代入方程檢驗(yàn)，符合要求． 反思與感悟　點(diǎn)與實(shí)數(shù)解建立了如下關(guān)系：C上的點(diǎn)(x0，y0)??f(x，y)＝0的解，曲線(xiàn)上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解，因此要判斷點(diǎn)是否在曲線(xiàn)上只需驗(yàn)證該點(diǎn)是否滿(mǎn)足方程即可． 跟蹤訓(xùn)練2　證明圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑等于5的圓的方程是x2＋y2＝25，并判斷點(diǎn)M1(3，－4)，M2(－2，2)是否在這個(gè)圓上． 解　(1)設(shè)M(x0，y0)是圓上任意一點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)M到原點(diǎn)的距離等于5，所以＝5，也就是x＋y＝25，即(x0，y0)是方程x2＋y2＝25的解． (2)設(shè)(x0，y0)是方程x2＋y2＝25的解，那么x＋y＝25，兩邊開(kāi)方取算術(shù)平方根，得＝5，即點(diǎn)M(x0，y0)到原點(diǎn)的距離等于5，點(diǎn)M(x0，y0)是這個(gè)圓上的點(diǎn)． 由(1)，(2)可知，x2＋y2＝25是圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑等于5的圓的方程． 把點(diǎn)M1(3，－4)的坐標(biāo)代入方程x2＋y2＝25，左右兩邊相等，(3，－4)是方程的解，所以點(diǎn)M1在這個(gè)圓上；把點(diǎn)M2(－2，2)的坐標(biāo)代入方程x2＋y2＝25，左右兩邊不等，(－2，2)不是方程的解，所以點(diǎn)M2不在這個(gè)圓上． 類(lèi)型三　曲線(xiàn)與方程關(guān)系的應(yīng)用 例3　判斷下列結(jié)論的正誤，并說(shuō)明理由． (1)到x軸距離為4的點(diǎn)的直線(xiàn)方程為y＝－4； (2)到兩坐標(biāo)軸的距離的乘積等于1的點(diǎn)的軌跡方程為xy＝1； (3)△ABC的頂點(diǎn)A(0，－3)，B(1,0)，C(－1,0)，D為BC的中點(diǎn)，則中線(xiàn)AD的方程為x＝0. 解　(1)因到x軸距離為4的點(diǎn)的直線(xiàn)方程還有一個(gè)y＝4，即不具備完備性．所以結(jié)論錯(cuò)誤． (2)到兩坐標(biāo)軸的距離的乘積等于1的點(diǎn)的軌跡方程為|x||y|＝1，即xy＝1.所以所給問(wèn)題不具備完備性．所以結(jié)論錯(cuò)誤． (3)中線(xiàn)AD是一條線(xiàn)段，而不是直線(xiàn)，應(yīng)為x＝0(－3≤y≤0)，所以所給問(wèn)題不具備純粹性．所以結(jié)論錯(cuò)誤． 反思與感悟　判斷曲線(xiàn)與方程關(guān)系問(wèn)題時(shí)，可以利用曲線(xiàn)與方程的定義；也可利用互為逆否關(guān)系的命題的真假性一致判斷． 跟蹤訓(xùn)練3　若曲線(xiàn)y2－xy＋2x＋k＝0過(guò)點(diǎn)(a，－a)(a∈R)，求k的取值范圍． 解　∵曲線(xiàn)y2－xy＋2x＋k＝0過(guò)點(diǎn)(a，－a)， ∴a2＋a2＋2a＋k＝0. ∴k＝－2a2－2a＝－22＋. ∴k≤， ∴k的取值范圍是. 1．已知坐標(biāo)滿(mǎn)足方程f(x，y)＝0的點(diǎn)都在曲線(xiàn)C上，那么下列說(shuō)法正確的是________．(填序號(hào)) ①曲線(xiàn)C上的點(diǎn)的坐標(biāo)都適合方程f(x，y)＝0； ②凡坐標(biāo)不適合f(x，y)＝0的點(diǎn)都不在曲線(xiàn)C上； ③不在曲線(xiàn)C上的點(diǎn)的坐標(biāo)必不適合f(x，y)＝0； ④不在曲線(xiàn)C上的點(diǎn)的坐標(biāo)有些適合f(x，y)＝0，有些不適合f(x，y)＝0. 答案?、? 2．已知方程＋＝1，下列所給的點(diǎn)在此方程表示的曲線(xiàn)上的為_(kāi)_______．(填序號(hào)) ①(－2,0)?、?1,2)　③(4,0)?、?3,1) 答案?、佗? 解析　將點(diǎn)(－2,0)和(4,0)代入方程后成立，而②，④代入后方程不成立，故只有①③符合題意． 3．若點(diǎn)M在方程x2＋(y－1)2＝10所表示的曲線(xiàn)上，則實(shí)數(shù)m＝________. 答案?。? 解析　依題意得2＋(－m－1)2＝10， 解得m＝2或m＝－. 所以m的值為2或－. 4．方程4x2－y2＋6x－3y＝0表示的圖形為_(kāi)_______． 答案　兩條相交直線(xiàn) 解析　原方程可化為(2x－y)(2x＋y＋3)＝0， 即2x－y＝0或2x＋y＋3＝0， ∴原方程表示直線(xiàn)2x－y＝0和直線(xiàn)2x＋y＋3＝0. 5．方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示的圖形是________． 答案　4個(gè)點(diǎn) 解析　由題意，得 ∴或或或 ∴方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示的圖形是4個(gè)點(diǎn)． 1．判斷點(diǎn)是否在某個(gè)方程表示的曲線(xiàn)上，就是檢驗(yàn)該點(diǎn)的坐標(biāo)是不是方程的解，是否適合方程．若適合方程，就說(shuō)明點(diǎn)在曲線(xiàn)上；若不適合，就說(shuō)明點(diǎn)不在曲線(xiàn)上． 2．已知點(diǎn)在某曲線(xiàn)上，可將點(diǎn)的坐標(biāo)代入曲線(xiàn)的方程，從而可研究有關(guān)參數(shù)的值或范圍問(wèn)題． 一、填空題 1．方程y＝3x－2 (x≥1)表示的曲線(xiàn)為_(kāi)_______．(填序號(hào)) ①一條直線(xiàn) ②一條射線(xiàn) ③一條線(xiàn)段 ④不能確定 答案　② 解析　方程y＝3x－2表示的曲線(xiàn)是一條直線(xiàn)，當(dāng)x≥1時(shí)，它表示一條射線(xiàn)． 2．曲線(xiàn)C的方程為y＝2x－1(1<x<5)，則下列四個(gè)點(diǎn)中在曲線(xiàn)C上的是________．(填序號(hào)) ① (0,0)?、?7,15)?、?2,3)　④(4,4) 答案?、? 解析　由y＝2x－1(1<x<5)得①，②的橫坐標(biāo)不滿(mǎn)足題意，④中坐標(biāo)代入后不滿(mǎn)足方程，故只有③符合題意． 3．方程|x|＋|y|＝1表示的曲線(xiàn)所圍成的平面圖形的面積為_(kāi)_______． 答案　2 解析　由題得該曲線(xiàn)所圍成平面圖形如下圖所示， 故其面積為2. 4．下列方程對(duì)應(yīng)的曲線(xiàn)是同一條曲線(xiàn)的是________．(填序號(hào)) ①y＝alogax；②y＝；③y＝logaax；④y＝. 答案?、邰? 解析　由y＝logaax＝x，y＝＝x，得③④表示同一條曲線(xiàn)． 5．方程(x－1)2＋＝0表示的是____________． 答案　點(diǎn)(1,2) 解析　由(x－1)2＋＝0，知(x－1)2＝0，且＝0，即x＝1且y＝2，所以(x－1)2＋＝0表示的是點(diǎn)(1,2)． 6．若點(diǎn)M到兩坐標(biāo)軸的距離的積為2016，則點(diǎn)M的軌跡方程是________． 答案　xy＝2016 解析　設(shè)M(x，y)，則由題意得|x||y|＝2016， 所以xy＝2016. 7．直線(xiàn)l：y＝kx＋1，拋物線(xiàn)C：y2＝4x，則“k≠0”是“直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)C有兩個(gè)不同交點(diǎn)”的________條件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”) 答案　必要不充分 解析　由(kx＋1)2＝4x，得k2x2＋2(k－2)x＋1＝0， 則當(dāng)k≠0時(shí)，Δ＝[2(k－2)]2－4k2＝16(1－k)>0， 得k<1且k≠0， 故“k≠0”是“直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)C有兩個(gè)不同交點(diǎn)”的必要不充分條件． 8．若直線(xiàn)kx－y＋3＝0與橢圓＋＝1有一個(gè)公共點(diǎn)，則k的值為_(kāi)_______． 答案　 解析　聯(lián)立方程組消去y并整理，得 (4k2＋1)x2＋24kx＋20＝0，當(dāng)Δ＝16(16k2－5)＝0， 即k＝時(shí)，直線(xiàn)與橢圓有一個(gè)公共點(diǎn)． 9．如果曲線(xiàn)C上的點(diǎn)滿(mǎn)足方程F(x，y)＝0，有以下說(shuō)法： ①曲線(xiàn)C的方程是F(x，y)＝0； ②方程F(x，y)＝0的曲線(xiàn)是C； ③坐標(biāo)滿(mǎn)足方程F(x，y)＝0的點(diǎn)在曲線(xiàn)C上； ④坐標(biāo)不滿(mǎn)足方程F(x，y)＝0的點(diǎn)不在曲線(xiàn)C上． 其中正確的是________．(填序號(hào)) 答案　④ 10．已知兩定點(diǎn)A(－2,0)，B(1,0)，若動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足PA＝2PB，則點(diǎn)P的軌跡所圍的面積為_(kāi)_______． 答案　4π 解析　設(shè)P(x，y)，∵PA＝2PB， ∴(x＋2)2＋y2＝4(x－1)2＋4y2， ∴(x－2)2＋y2＝4. ∴點(diǎn)P的軌跡為以(2,0)為圓心，以2為半徑的圓， ∴所圍成的面積S＝π22＝4π. 11．下列命題正確的是________．(填序號(hào)) ①△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(0,3)，B(－2,0)，C(2,0)，則中線(xiàn)AO的方程是x＝0； ②到x軸距離為5的點(diǎn)的軌跡方程是y＝5； ③曲線(xiàn)2x2－3y2－2x＋m＝0通過(guò)原點(diǎn)的充要條件是m＝0. 答案?、? 解析　對(duì)照曲線(xiàn)和方程的概念，①中“中線(xiàn)AO的方程是x＝0 (0≤y≤3)”；而②中，動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為|y|＝5.從而只有③是正確的． 二、解答題 12．已知曲線(xiàn)C的方程為x＝，說(shuō)明曲線(xiàn)C是什么樣的曲線(xiàn)，并求該曲線(xiàn)與y軸圍成的圖形的面積． 解　由x＝，得x2＋y2＝4. 又x≥0，∴方程x＝表示的曲線(xiàn)是以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的右半圓，從而該曲線(xiàn)C與y軸圍成的圖形是半圓，其面積S＝π4＝2π. 所以所求圖形的面積為2π. 13．已知兩曲線(xiàn)f(x，y)＝0與g(x，y)＝0的一個(gè)交點(diǎn)為P(x0，y0)．求證：點(diǎn)P在曲線(xiàn)f(x，y)＋λg(x，y)＝0(λ∈R)上． 證明　因?yàn)镻(x0，y0)是兩曲線(xiàn)的交點(diǎn)， 所以點(diǎn)P的坐標(biāo)既滿(mǎn)足方程f(x，y)＝0，又滿(mǎn)足方程g(x，y)＝0，即f(x0，y0)＝0且g(x0，y0)＝0， 故f(x0，y0)＋λg(x0，y0)＝0，所以P(x0，y0)的坐標(biāo)是方程f(x，y)＋λg(x，y)＝0的解， 故點(diǎn)P在曲線(xiàn)f(x，y)＋λg(x，y)＝0(λ∈R)上． 三、探究與拓展 14．已知方程①x－y＝0；②－＝0；③x2－y2＝0；④＝1，其中能表示直角坐標(biāo)系的第一、三象限的角平分線(xiàn)C的方程的序號(hào)是________． 答案?、? 解析?、偈钦_的；②不正確，如點(diǎn)(－1，－1)在第三象限的角平分線(xiàn)上，但其坐標(biāo)不滿(mǎn)足方程－＝0；③不正確．如點(diǎn)(－1,1)滿(mǎn)足方程x2－y2＝0，但它不在曲線(xiàn)C上；④不正確．如點(diǎn)(0,0)在曲線(xiàn)C上，但其坐標(biāo)不滿(mǎn)足方程＝1. 15．方程(2x＋3y－5)(－1)＝0表示的曲線(xiàn)是什么？ 解　因?yàn)?2x＋3y－5)(－1)＝0， 所以可得或者－1＝0，即2x＋3y－5＝0(x≥3)或者x＝4，故方程表示的曲線(xiàn)為一條射線(xiàn)2x＋3y－5＝0(x≥3)和一條直線(xiàn)x＝4.