《2018-2019高中數學 第2章 圓錐曲線與方程 2.6.1 曲線與方程學案 蘇教版選修2-1.doc》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2018-2019高中數學 第2章 圓錐曲線與方程 2.6.1 曲線與方程學案 蘇教版選修2-1.doc（8頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

2.6.1　曲線與方程 學習目標　1.了解曲線上的點與方程的解之間的一一對應關系.2.初步領會“曲線的方程”與“方程的曲線”的概念.3.學會分析、判斷曲線與方程的關系，強化“形”與“數”的統(tǒng)一以及相互轉化的思想方法． 知識點　曲線與方程的概念 思考　到兩坐標軸距離相等的點的軌跡方程是什么？為什么？ 答案　y＝x.在直角坐標系中，到兩坐標軸距離相等的點M的坐標(x0，y0)滿足y0＝x0或y0＝－x0，即(x0，y0)是方程y＝x的解；反之，如果(x0，y0)是方程y＝x或y＝－x的解，那么以(x0，y0)為坐標的點到兩坐標軸距離相等． 梳理　如果曲線C上點的坐標(x，y)都是方程f(x，y)＝0的解(條件①，即純粹性)，且以方程f(x，y)＝0的解(x，y)為坐標的點都在曲線C上(條件②，即完備性)，那么，方程f(x，y)＝0叫做曲線C的方程，曲線C叫做方程f(x，y)＝0的曲線． 特別提醒：(1)曲線的方程和方程的曲線是兩個不同的概念，是從不同角度出發(fā)的兩種說法．曲線C的點集和方程f(x，y)＝0的解集之間是一一對應的關系，曲線的性質可以反映在它的方程上，方程的性質又可以反映在曲線上．定義中的條件①說明曲線上的所有點都適合這個方程；條件②說明適合方程的點都在曲線上而毫無遺漏． (2)曲線的方程和方程的曲線有著緊密的關系，通過曲線上的點與實數對(x，y)建立了一一對應關系，使方程成為曲線的代數表示，通過研究方程的性質可間接地研究曲線的性質． 1．過點A(3,0)且垂直于x軸的直線的方程為x＝3.(√) 2．到y(tǒng)軸距離為2的點的直線方程x＝－2.() 3．方程＝1表示斜率為1，在y軸上的截距是2的直線．()  類型一　曲線與方程的概念 例1　命題“曲線C上的點的坐標都是方程f(x，y)＝0的解”是正確的，下列命題中正確的是________．(填序號) ①方程f(x，y)＝0的曲線是C； ②方程f(x，y)＝0的曲線不一定是C； ③f(x，y)＝0是曲線C的方程； ④以方程f(x，y)＝0的解為坐標的點都在曲線C上． 答案?、? 解析　不論方程f(x，y)＝0是曲線C的方程，還是曲線C是方程f(x，y)＝0的曲線，都必須同時滿足兩層含義：曲線上的點的坐標都是方程的解，以方程的解為坐標的點都在曲線上，所以①，③，④錯誤． 反思與感悟　解決“曲線”與“方程”的判定這類問題(即判定方程是不是曲線的方程或判定曲線是不是方程的曲線)，只要一一檢驗定義中的“兩性”是否都滿足，并作出相應的回答即可．判斷點是否在曲線上，就是判斷點的坐標是否適合曲線的方程． 跟蹤訓練1　設方程f(x，y)＝0的解集非空，如果命題“坐標滿足方程f(x，y)＝0的點都在曲線C上”是不正確的，給出下列命題： ①坐標滿足方程f(x，y)＝0的點都不在曲線C上； ②曲線C上的點的坐標都不滿足方程f(x，y)＝0； ③坐標滿足方程f(x，y)＝0的點有些在曲線C上，有些不在曲線C上； ④一定有不在曲線C上的點，其坐標滿足f(x，y)＝0. 其中判斷正確的是________．(填序號) 答案　④ 解析　“坐標滿足方程f(x，y)＝0的點都在曲線C上”不正確，即“坐標滿足方程f(x，y)＝0的點不都在曲線C上”是正確的．“不都在”包括“都不在”和“有的在，有的不在”兩種情況，故①③錯，②顯然錯． 類型二　點與曲線的位置關系 例2　方程(x－4y－12)[(－3)＋log2(x＋2y)]＝0表示的曲線經過點A(0，－3)，B(0,4)，C，D(8,0)中的________個． 答案　2 解析　由對數的真數大于0，得x＋2y＞0， ∴A(0，－3)，C不符合要求； 將B(0,4)代入方程檢驗，符合要求；將D(8,0)代入方程檢驗，符合要求． 反思與感悟　點與實數解建立了如下關系：C上的點(x0，y0)??f(x，y)＝0的解，曲線上的點的坐標都是這個方程的解，因此要判斷點是否在曲線上只需驗證該點是否滿足方程即可． 跟蹤訓練2　證明圓心為坐標原點，半徑等于5的圓的方程是x2＋y2＝25，并判斷點M1(3，－4)，M2(－2，2)是否在這個圓上． 解　(1)設M(x0，y0)是圓上任意一點，因為點M到原點的距離等于5，所以＝5，也就是x＋y＝25，即(x0，y0)是方程x2＋y2＝25的解． (2)設(x0，y0)是方程x2＋y2＝25的解，那么x＋y＝25，兩邊開方取算術平方根，得＝5，即點M(x0，y0)到原點的距離等于5，點M(x0，y0)是這個圓上的點． 由(1)，(2)可知，x2＋y2＝25是圓心為坐標原點，半徑等于5的圓的方程． 把點M1(3，－4)的坐標代入方程x2＋y2＝25，左右兩邊相等，(3，－4)是方程的解，所以點M1在這個圓上；把點M2(－2，2)的坐標代入方程x2＋y2＝25，左右兩邊不等，(－2，2)不是方程的解，所以點M2不在這個圓上． 類型三　曲線與方程關系的應用 例3　判斷下列結論的正誤，并說明理由． (1)到x軸距離為4的點的直線方程為y＝－4； (2)到兩坐標軸的距離的乘積等于1的點的軌跡方程為xy＝1； (3)△ABC的頂點A(0，－3)，B(1,0)，C(－1,0)，D為BC的中點，則中線AD的方程為x＝0. 解　(1)因到x軸距離為4的點的直線方程還有一個y＝4，即不具備完備性．所以結論錯誤． (2)到兩坐標軸的距離的乘積等于1的點的軌跡方程為|x||y|＝1，即xy＝1.所以所給問題不具備完備性．所以結論錯誤． (3)中線AD是一條線段，而不是直線，應為x＝0(－3≤y≤0)，所以所給問題不具備純粹性．所以結論錯誤． 反思與感悟　判斷曲線與方程關系問題時，可以利用曲線與方程的定義；也可利用互為逆否關系的命題的真假性一致判斷． 跟蹤訓練3　若曲線y2－xy＋2x＋k＝0過點(a，－a)(a∈R)，求k的取值范圍． 解　∵曲線y2－xy＋2x＋k＝0過點(a，－a)， ∴a2＋a2＋2a＋k＝0. ∴k＝－2a2－2a＝－22＋. ∴k≤， ∴k的取值范圍是. 1．已知坐標滿足方程f(x，y)＝0的點都在曲線C上，那么下列說法正確的是________．(填序號) ①曲線C上的點的坐標都適合方程f(x，y)＝0； ②凡坐標不適合f(x，y)＝0的點都不在曲線C上； ③不在曲線C上的點的坐標必不適合f(x，y)＝0； ④不在曲線C上的點的坐標有些適合f(x，y)＝0，有些不適合f(x，y)＝0. 答案?、? 2．已知方程＋＝1，下列所給的點在此方程表示的曲線上的為________．(填序號) ①(－2,0)?、?1,2)?、?4,0)?、?3,1) 答案?、佗? 解析　將點(－2,0)和(4,0)代入方程后成立，而②，④代入后方程不成立，故只有①③符合題意． 3．若點M在方程x2＋(y－1)2＝10所表示的曲線上，則實數m＝________. 答案?。? 解析　依題意得2＋(－m－1)2＝10， 解得m＝2或m＝－. 所以m的值為2或－. 4．方程4x2－y2＋6x－3y＝0表示的圖形為________． 答案　兩條相交直線 解析　原方程可化為(2x－y)(2x＋y＋3)＝0， 即2x－y＝0或2x＋y＋3＝0， ∴原方程表示直線2x－y＝0和直線2x＋y＋3＝0. 5．方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示的圖形是________． 答案　4個點 解析　由題意，得 ∴或或或 ∴方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示的圖形是4個點． 1．判斷點是否在某個方程表示的曲線上，就是檢驗該點的坐標是不是方程的解，是否適合方程．若適合方程，就說明點在曲線上；若不適合，就說明點不在曲線上． 2．已知點在某曲線上，可將點的坐標代入曲線的方程，從而可研究有關參數的值或范圍問題． 一、填空題 1．方程y＝3x－2 (x≥1)表示的曲線為________．(填序號) ①一條直線 ②一條射線 ③一條線段 ④不能確定 答案?、? 解析　方程y＝3x－2表示的曲線是一條直線，當x≥1時，它表示一條射線． 2．曲線C的方程為y＝2x－1(10， 得k<1且k≠0， 故“k≠0”是“直線l與拋物線C有兩個不同交點”的必要不充分條件． 8．若直線kx－y＋3＝0與橢圓＋＝1有一個公共點，則k的值為________． 答案　 解析　聯立方程組消去y并整理，得 (4k2＋1)x2＋24kx＋20＝0，當Δ＝16(16k2－5)＝0， 即k＝時，直線與橢圓有一個公共點． 9．如果曲線C上的點滿足方程F(x，y)＝0，有以下說法： ①曲線C的方程是F(x，y)＝0； ②方程F(x，y)＝0的曲線是C； ③坐標滿足方程F(x，y)＝0的點在曲線C上； ④坐標不滿足方程F(x，y)＝0的點不在曲線C上． 其中正確的是________．(填序號) 答案?、? 10．已知兩定點A(－2,0)，B(1,0)，若動點P滿足PA＝2PB，則點P的軌跡所圍的面積為________． 答案　4π 解析　設P(x，y)，∵PA＝2PB， ∴(x＋2)2＋y2＝4(x－1)2＋4y2， ∴(x－2)2＋y2＝4. ∴點P的軌跡為以(2,0)為圓心，以2為半徑的圓， ∴所圍成的面積S＝π22＝4π. 11．下列命題正確的是________．(填序號) ①△ABC的頂點坐標分別為A(0,3)，B(－2,0)，C(2,0)，則中線AO的方程是x＝0； ②到x軸距離為5的點的軌跡方程是y＝5； ③曲線2x2－3y2－2x＋m＝0通過原點的充要條件是m＝0. 答案?、? 解析　對照曲線和方程的概念，①中“中線AO的方程是x＝0 (0≤y≤3)”；而②中，動點的軌跡方程為|y|＝5.從而只有③是正確的． 二、解答題 12．已知曲線C的方程為x＝，說明曲線C是什么樣的曲線，并求該曲線與y軸圍成的圖形的面積． 解　由x＝，得x2＋y2＝4. 又x≥0，∴方程x＝表示的曲線是以原點為圓心，2為半徑的右半圓，從而該曲線C與y軸圍成的圖形是半圓，其面積S＝π4＝2π. 所以所求圖形的面積為2π. 13．已知兩曲線f(x，y)＝0與g(x，y)＝0的一個交點為P(x0，y0)．求證：點P在曲線f(x，y)＋λg(x，y)＝0(λ∈R)上． 證明　因為P(x0，y0)是兩曲線的交點， 所以點P的坐標既滿足方程f(x，y)＝0，又滿足方程g(x，y)＝0，即f(x0，y0)＝0且g(x0，y0)＝0， 故f(x0，y0)＋λg(x0，y0)＝0，所以P(x0，y0)的坐標是方程f(x，y)＋λg(x，y)＝0的解， 故點P在曲線f(x，y)＋λg(x，y)＝0(λ∈R)上． 三、探究與拓展 14．已知方程①x－y＝0；②－＝0；③x2－y2＝0；④＝1，其中能表示直角坐標系的第一、三象限的角平分線C的方程的序號是________． 答案?、? 解析?、偈钦_的；②不正確，如點(－1，－1)在第三象限的角平分線上，但其坐標不滿足方程－＝0；③不正確．如點(－1,1)滿足方程x2－y2＝0，但它不在曲線C上；④不正確．如點(0,0)在曲線C上，但其坐標不滿足方程＝1. 15．方程(2x＋3y－5)(－1)＝0表示的曲線是什么？ 解　因為(2x＋3y－5)(－1)＝0， 所以可得或者－1＝0，即2x＋3y－5＝0(x≥3)或者x＝4，故方程表示的曲線為一條射線2x＋3y－5＝0(x≥3)和一條直線x＝4.