2018-2019學年高中數(shù)學 第1部分 第2章 圓錐曲線與方程 2.6 曲線與方程 2.6.2 求曲線的方程講義(含解析)蘇教版選修2-1.doc
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2.6.2 求曲線的方程 在平面直角坐標系中,A、B兩點的坐標分別為(2,-3),(4,-1). 問題1:求平面上任一點M(x,y)到A點的距離. 提示:MA=. 問題2:試列出到點A、B距離相等的點滿足的方程. 提示:MA=MB, 即 =. 求曲線方程的一般步驟 正確認識求曲線方程的一般步驟: (1)“建立適當?shù)淖鴺讼怠彼^“適當”是指若曲線是軸對稱圖形,則可以選它的對稱軸為坐標軸;其次,可以選曲線上的特殊點作為原點. (2)“設曲線上任意一點M的坐標為(x,y)”.這一步實際上是在挖掘形成曲線的條件中所含的等量關系. (3)“列出符合p(M)的方程f(x,y)=0.”這里就是等量關系的坐標化,完成這一步需要使用解析幾何的基本公式及平面幾何、三角等基礎知識. (4)“化方程f(x,y)=0為最簡形式”.化簡時需要使用代數(shù)中的恒等變形的方法. (5)“說明以化簡后的方程的解為坐標的點都在曲線上”.這一步的證明是必要的.從教材內(nèi)容看,這一步不作要求,可以省略,但在完成第(4)步時,所用的變形方法應都是可逆的,否則要作適當說明. 直接法求曲線方程 [例1] △ABC中,角A、B、C所對的邊分別為a,b,c,a>c>b,且a,c,b成等差數(shù)列,AB=2,求頂點C的軌跡方程. [思路點撥] 由a,c,b成等差數(shù)列可得a+b=2c;由a>c>b可知所求軌跡方程是整個軌跡方程的一部分;由AB=2可建立適當?shù)淖鴺讼担谑强砂辞笄€方程的一般步驟求解. [精解詳析] 以AB所在直線為x軸,AB的垂直平分線為y軸, 建立平面直角坐標系,則A(-1,0), B(1,0),設C點坐標為(x,y), 由已知得AC+BC=2AB. 即 +=4, 整理化簡得3x2+4y2-12=0,即+=1. 又∵a>c>b,∴x<0且x≠-2. 所以頂點C的軌跡方程為 +=1(x<0且x≠-2). [一點通] 1.“直接法”求曲線方程遵循求曲線方程的五個步驟,在實際求解時可簡化為三大步,即:建系、設點→根據(jù)條件列方程→化簡; 2.其中“建系”是指建立適當?shù)闹苯亲鴺讼担^“適當”應使計算量較小,且所得的方程形式較簡單.若坐標系建立不當,計算量就會大大增加,有時很可能得不到正確的結果. 1.若將本例已知條件“a>c>b且a,c,b成等差數(shù)列”改為“△ABC的周長為6且AB=2”,求頂點C的軌跡方程. 解:以AB所在直線為x軸,AB的垂直平分線為y軸,建立如圖所示的平面直角坐標系. 則A(-1,0),B(1,0),設C(x,y), 由已知得AC+BC+AB=6. 即+=4. 化簡整理得3x2+4y2-12=0,即+=1. ∵A、B、C三點不能共線, ∴x≠2. 綜上,點C的軌跡方程為+=1(x≠2). 2.已知三點O(0,0),A(-2,1),B(2,1),曲線C上任意一點M(x,y)滿足|+ |=(+)+2.求曲線C的方程. 解:由=(-2-x,1-y),=(2-x,1-y),得 |+|=, 又(+)=(x,y)(0,2)=2y, 由已知得 =2y+2, 化簡得曲線C的方程是x2=4y. 定義法求曲線方程 [例2] 已知圓A:(x+2)2+y2=1與定直線l:x=1,且動圓P和圓A外切并與直線l相切,求動圓的圓心P的軌跡方程. [思路點撥] 利用平面幾何的知識,分析點P滿足的條件為拋物線,可用定義法求解. [精解詳析] 如圖,作PK垂直于直線x=1,垂足為K,PQ垂直于直線x=2,垂足為Q,則KQ=1,所以PQ=r+1,又AP=r+1, 所以AP=PQ, 故點P到圓心A(-2,0)的距離和到定直線x=2的距離相等,所以點P的軌跡為拋物線, A(-2,0)為焦點,直線x=2為準線. ∴=2,∴p=4, ∴點P的軌跡方程為y2=-8x. [一點通] 若動點運動的幾何條件滿足某種已知曲線的定義,可以設出其標準方程,然后用待定系數(shù)法求解,這種求軌跡的方法稱為定義法,利用定義法求軌跡要善于抓住曲線的定義的特征. 3.點P與定點F(2,0)的距離和它到定直線x=8的距離的比是1∶2,求點P的軌跡方程,并說明軌跡是什么圖形. 解:設d是點F到直線x=8的距離, 根據(jù)題意,得=. 由圓錐曲線的統(tǒng)一定義可知,點P的軌跡是以F(2,0)為焦點,x=8為準線的橢圓,則解得 ∴b2=a2-c2=16-4=12. 故點P的軌跡方程為+=1. 4.如圖所示,已知點C為圓(x+)2+y2=4的圓心,點A(,0),P是圓上的動點,點Q在圓的半徑CP上,且=0,=2.當點P在圓上運動時,求點Q的軌跡方程. 解:圓(x+)2+y2=4的圓心為C(-,0),半徑r=2,∵=0,=2, ∴MQ⊥AP,點M為AP的中點,即QM垂直平分AP. 連結AQ, 則AQ=QP, ∴|QC-QA|=|QC-QP|=CP=r=2. 又|AC|=2>2,根據(jù)雙曲線的定義,點Q的軌跡是以C(-,0),A(,0)為焦點,實軸長為2的雙曲線, 由c=,a=1,得b2=1, 因此點Q的軌跡方程為x2-y2=1. 代入法求曲線方程 [例3] 動點M在曲線x2+y2=1上移動,M和定點B(3,0)連線的中點為P,求P點的軌跡方程. [思路點撥] 設出點P、M的坐標,用M的坐標表示P的坐標,再借助M滿足的關系即可得到P的坐標所滿足的關系. [精解詳析] 設P(x,y),M(x0,y0), ∵P為MB的中點,∴ 即 又∵M在曲線x2+y2=1上, ∴(2x-3)2+(2y)2=1. ∴P點的軌跡方程為(2x-3)2+4y2=1. [一點通] 代入法:利用所求曲線上的動點與某一已知曲線上的動點的關系,把所求動點轉換為已知動點.具體地說,就是用所求動點的坐標(x,y)來表示已知動點的坐標,并代入已知動點滿足的曲線方程,由此即可求得所求動點坐標的軌跡方程. 5.已知圓C的方程為x2+y2=4,過圓C上的一動點M作平行于x軸的直線m,設直線m與y軸的交點為N,若=+,求動點Q的軌跡方程. 解:設點Q的坐標為(x,y),點M的坐標為(x0,y0)(y0≠0),則點N的坐標為(0,y0). 因為=+, 即(x,y)=(x0,y0)+(0,y0)=(x0,2y0), 則x0=x,y0=. 又因為點M在圓C上,所以x+y=4. 即x2+=4(y≠0). 所以動點Q的軌跡方程是+=1(y≠0). 6.已知曲線C:y2=x+1,定點A(3,1),B為曲線C上的任意一點,點P在線段AB上,且有BP∶PA=1∶2,當B點在曲線C上運動時,求點P的軌跡方程. 解:設P點坐標為(x,y),B點坐標為(x0,y0), 由BP∶PA=1∶2,得=2, 即(3-x,1-y)=2(x-x0,y-y0). ∴ ∴ ∵點B(x0,y0)在曲線y2=x+1上, ∴2=+1. 化簡得:2=. 即點P的軌跡方程為2=. 1.求曲線的方程時,若題設條件中無坐標系,則需要恰當建系,要遵循垂直性和對稱性的原則,即借助圖形中互相垂直的直線建系,借助圖形的對稱性建系.一方面讓盡量多的點落在坐標軸上,另一方面能使求出的軌跡方程形式簡捷. 2.求曲線的方程常用的方法. (1)直接法; (2)定義法; (3)相關點代入法; (4)待定系數(shù)法等. [對應課時跟蹤訓練(十六)] 1.到兩坐標軸距離相等的點的軌跡方程是________. 解析:設動點M(x,y),到兩坐標軸的距離為|x|,|y|. 則|x|=|y|,∴x2=y(tǒng)2. 答案:x2=y(tǒng)2 2.等腰三角形底邊的兩個頂點是B(2,1),C(0,-3),則另一頂點A的軌跡方程是________. 解析:設點A的坐標為(x,y). 由已知得AB=AC, 即=. 化簡得 x+2y+1=0. ∵點A不能在直線BC上,∴x≠1, ∴頂點A的軌跡方程為x+2y+1=0(x≠1). 答案:x+2y+1=0(x≠1) 3.已知兩定點A(-1,0),B(2,0),動點P滿足=,則P點的軌跡方程是________. 解析:設P(x,y),由已知得=, 化簡得:x2+4x+y2=0. 即(x+2)2+y2=4. 答案:(x+2)2+y2=4 4.已知兩定點A(-2,0),B(1,0),如果動點P滿足PA=2PB,則點P的軌跡所包圍的圖形的面積等于________. 解析:設P(x,y),由題知(x+2)2+y2=4[(x-1)2+y2],整理得x2-4x+y2=0,配方得(x-2)2+y2=4,可知圓的面積為4π. 答案:4π 5.已知直線l:2x+4y+3=0,P為l上的動點,O為坐標原點,點Q分線段OP為1∶2兩部分,則Q點的軌跡方程是________. 解析:據(jù)題意,=3,設P(x′,y′),Q(x,y), 則又∵P(x′,y′)在2x+4y+3=0上, ∴2(3x)+4(3y)+3=0,即2x+4y+1=0, 即點Q的軌跡方程為2x+4y+1=0. 答案:2x+4y+1=0 6.若動點P在曲線y=2x2+1上移動,求點P與Q(0,-1)連線中點M的軌跡方程. 解:設P(x0,y0),中點M(x,y), 則∴ 又P(x0,y0)在曲線y=2x2+1上, ∴2y+1=2(2x)2+1,即y=4x2. ∴點M的軌跡方程為y=4x2. 7.已知雙曲線2x2-2y2=1的兩個焦點為F1、F2,P為動點,若PF1+PF2=6,求動點P的軌跡E的方程. 解:依題意雙曲線方程可化為-=1, 則F1F2=2. ∴PF1+PF2=6>F1F2=2, ∴點P的軌跡是以F1,F(xiàn)2為焦點的橢圓,其方程可設為+=1(a>b>0). 由2a=6,2c=2得a=3,c=1. ∴b2=a2-c2=8. 則所求橢圓方程為+=1. 故動點P的軌跡E的方程為+=1. 8.如圖所示,A(m,m)和B(n,-n)兩點分別在射線OS,OT上移動,且=-,O為坐標原點,動點P滿足=+. (1)求mn的值; (2)求動點P的軌跡方程,并說明它表示什么曲線? 解:(1)由=(m,m)(n,-n)=-2mn. 得-2mn=-,即mn=. (2)設P(x,y)(x>0),由=+, 得(x,y)=(m,m)+(n,-n)=(m+n,m-n), ∴ 整理得x2-=4mn, 又mn=, ∴P點的軌跡方程為x2-=1(x>0). 它表示以原點為中心,焦點在x軸上,實軸長為2,焦距為4的雙曲線x2-=1的右支.- 配套講稿:
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- 關 鍵 詞:
- 2018-2019學年高中數(shù)學 第1部分 第2章 圓錐曲線與方程 2.6 曲線與方程 2.6.2 求曲線的方程講義含解析蘇教版選修2-1 2018 2019 學年 高中數(shù)學 部分 圓錐曲線 方程 曲線
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