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第二章 隨機變量及其分布
章末檢測試卷(二)
(時間：120分鐘 滿分：150分)
一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分)
1．設由“0”“1”組成的三位數(shù)組中，若用A表示“第二位數(shù)字為‘0’的事件”，用B表示“第一位數(shù)字為‘0’的事件”，則P(A|B)等于( )
A. B. C. D.
考點 條件概率
題點 直接利用公式求條件概率
答案 C
解析 ∵P(B)＝＝，P(AB)＝＝，
∴P(A|B)＝＝.
2．10張獎券中只有3張有獎，若5個人購買，每人1張，則至少有1個人中獎的概率為( )
A. B. C. D.
考點 排列與組合的應用
題點 排列、組合在概率中的應用
答案 D
解析 設事件A為“無人中獎”，即P(A)＝＝，
則至少有1個人中獎的概率P＝1－P(A)＝1－＝.
3．張老師上數(shù)學課時，給班里同學出了兩道選擇題，他預估做對第一道題的概率是0.80，做對兩道題的概率是0.60，則預估做對第二道題的概率是( )
A．0.80 B．0.75 C．0.60 D．0.48
考點 相互獨立事件的性質(zhì)及應用
題點 獨立事件與互斥事件的綜合應用
答案 B
解析 設事件Ai(i＝1,2)表示“做對第i道題”，A1，A2相互獨立，
由已知得：P(A1)＝0.8，P(A1A2)＝0.6，
由P(A1A2)＝P(A1)P(A2)＝0.8P(A2)＝0.6，
解得P(A2)＝＝0.75.
4．設隨機變量X等可能地取值1,2,3，…，10.又設隨機變量Y＝2X－1，則P(Y<6)的值為( )
A．0.3 B．0.5 C．0.1 D．0.2
考點 離散型隨機變量分布列的性質(zhì)及應用
題點 根據(jù)分布列的性質(zhì)求概率
答案 A
解析 由Y＝2X－1<6，得X<3.5，∴P(Y<6)＝P(X<3.5)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝0.3.
5．設隨機變量X～N(μ，σ2)且P(X<1)＝，P(X>2)＝p，則P(0
2)，
所以P(02)＝－p.
6．已知離散型隨機變量X的分布列如下：
X
0
1
2
P
a
4a
5a
則均值E(X)與方差D(X)分別為( )
A．1.4,0.2 B．0.44,1.4
C．1.4,0.44 D．0.44,0.2
考點 均值、方差的綜合應用
題點 求隨機變量的均值與方差
答案 C
解析 由離散型隨機變量的性質(zhì)知a＋4a＋5a＝1，∴a＝0.1.∴P(X＝0)＝0.1，P(X＝1)＝0.4，P(X＝2)＝0.5，∴均值E(X)＝00.1＋10.4＋20.5＝1.4；方差D(X)＝(0－1.4)20.1＋(1－1.4)20.4＋(2－1.4)20.5＝0.196＋0.064＋0.18＝0.44.
7．若在甲袋內(nèi)裝有8個白球，4個紅球，在乙袋內(nèi)裝有6個白球，6個紅球，今從兩袋里各任意取出1個球，設取出的白球個數(shù)為X，則下列概率中等于的是( )
A．P(X≤1) B．P(X≤2)
C．P(X＝1) D．P(X＝2)
考點 超幾何分布
題點 利用超幾何分布求概率
答案 C
解析 P(X＝1)＝.
8．某人一周晚上值2次班，在已知他周日一定值班的條件下，他在周六晚上值班的概率為( )
A. B. C. D.
考點 條件概率的定義及計算公式
題點 直接利用公式求條件概率
答案 A
解析 設事件A為“周日值班”，事件B為“周六值班”，則P(A)＝，P(AB)＝，故P(B|A)＝＝.
9．設隨機變量X服從二項分布B，則函數(shù)f(x)＝x2＋4x＋X存在零點的概率是( )
A. B. C. D.
考點 二項分布的計算及應用
題點 利用二項分布求概率
答案 D
解析 ∵函數(shù)f(x)＝x2＋4x＋X存在零點，
∴方程x2＋4x＋X＝0存在實數(shù)根，
∴Δ＝16－4X≥0，∴X≤4，
∵隨機變量X服從二項分布B，
∴P(X≤4)＝1－P(X＝5)＝1－＝，故選D.
10．一頭豬服用某藥品后被治愈的概率是90%，則服用這種藥的5頭豬中恰有3頭被治愈的概率為( )
A．0.93 B．1－(1－0.9)3
C．C0.930.12 D．C0.130.92
考點 二項分布的計算及應用
題點 利用二項分布求概率
答案 C
解析 5頭豬中恰有3頭被治愈的概率為C0.930.12.
11．排球比賽的規(guī)則是5局3勝制(無平局)，在某次排球比賽中，甲隊在每局比賽中獲勝的概率都相等，為，前2局中乙隊以2∶0領先，則最后乙隊獲勝的概率是( )
A. B. C. D.
考點 相互獨立事件的性質(zhì)及應用
題點 獨立事件與互斥事件的綜合應用
答案 B
解析 最后乙隊獲勝事件含3種情況：(1)第三局乙勝；(2)第三局甲勝，第四局乙勝；(3)第三局和第四局都是甲勝，第五局乙勝．故最后乙隊獲勝的概率P＝＋＋2＝，故選B.
12．一個均勻小正方體的六個面中，三個面上標以數(shù)0，兩個面上標以數(shù)1，一個面上標以數(shù)2.將這個小正方體拋擲2次，則向上的面上的數(shù)之積的均值是( )
A. B. C. .D.
考點 常見的幾種均值
題點 相互獨立事件的均值
答案 D
解析 將小正方體拋擲1次，向上的面上可能出現(xiàn)的數(shù)有0,1,2，概率分別為，，，將這個小正方體拋擲2次，可以表示為下表：
0
1
2
0
1
2
令ξ為小正方體拋擲2次后向上的面上的數(shù)之積，
則積為0的概率P(ξ＝0)＝＋＋＋＋＝.
積為1的概率P(ξ＝1)＝＝.
積為2的概率P(ξ＝2)＝＋＝.
積為4的概率P(ξ＝4)＝＝，
所以向上的面上的數(shù)之積的均值E(ξ)＝0＋1＋2＋4＝.
二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)
13．已知隨機變量ξ～B(n，p)，若E(ξ)＝4，η＝2ξ＋3，D(η)＝3.2，則P(ξ＝2)＝________.
考點 二項分布的計算及應用
題點 利用二項分布的分布列求概率
答案
解析 由已知np＝4,4np(1－p)＝3.2，
∴n＝5，p＝0.8，∴P(ξ＝2)＝Cp2(1－p)3＝.
14．某處有水龍頭5個，調(diào)查表示每個水龍頭被打開的可能性均為，則3個水龍頭同時被打開的概率為________．
考點 獨立重復試驗的計算
題點 用獨立重復試驗的概率公式求概率
答案 0.008 1
解析 對5個水龍頭的處理可視為做5次獨立重復試驗，每次試驗有2種可能結果：打開或不打開，相應的概率為0.1或0.9，根據(jù)題意得3個水龍頭同時被打開的概率為C0.130.92＝0.008 1.
15．設隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，向量a＝(1,2)與向量b＝(ξ，－1)的夾角為銳角的概率是，則μ＝______.
考點 正態(tài)分布的概念及性質(zhì)
題點 求正態(tài)分布的均值或方差
答案 2
解析 由向量a＝(1,2)與向量b＝(ξ，－1)的夾角是銳角，得ab>0，即ξ－2>0，解得ξ>2，則P(ξ>2)＝.
根據(jù)正態(tài)分布密度曲線的對稱性，可知μ＝2.
16．一射手對靶射擊，直到第一次中靶或用光子彈為止．若他每次射擊中靶的概率是0.9，他有3顆子彈，則射擊結束后剩余子彈的數(shù)目X的均值E(X)＝________.
考點 常見的幾種均值
題點 相互獨立事件的均值
答案 1.89
解析 由題意知，X的可能取值是0,1,2，對應的概率分別為P(X＝2)＝0.9，P(X＝1)＝0.10.9＝0.09，P(X＝0)＝0.13＋0.120.9＝0.01，
由此可得均值E(X)＝20.9＋10.09＋00.01＝1.89.
三、解答題(本大題共6小題，共70分)
17．(10分)某同學參加科普知識競賽，需回答三個問題，競賽規(guī)則規(guī)定：答對第一、二、三個問題分別得100分，100分，200分，答錯得0分．假設這名同學答對第一、二、三個問題的概率分別為0.8,0.7,0.6，且各題答對與否相互之間沒有影響．
(1)求這名同學得300分的概率；
(2)求這名同學至少得300分的概率．
考點 互斥、對立、獨立重復試驗的綜合應用
題點 互斥事件、對立事件、獨立事件的概率問題
解 記“這名同學答對第i個問題”為事件Ai(i＝1,2,3)，則P(A1)＝0.8，P(A2)＝0.7，P(A3)＝0.6.
(1)這名同學得300分的概率
P1＝P(A12A3)＋P(1A2A3)
＝P(A1)P(2)P(A3)＋P(1)P(A2)P(A3)
＝0.80.30.6＋0.20.70.6＝0.228.
(2)這名同學至少得300分的概率
P2＝P1＋P(A1A2A3)＝0.228＋P(A1)P(A2)P(A3)＝0.228＋0.80.70.6＝0.564.
18．(12分)某迷宮有三個通道，進入迷宮的每個人都要經(jīng)過一扇智能門．首次到達此門，系統(tǒng)會隨機(即等可能)為你打開一個通道．若是1號通道，則需要1小時走出迷宮；若是2號、3號通道，則分別需要2小時、3小時返回智能門．再次到達智能門時，系統(tǒng)會隨機打開一個你未到過的通道，直至走出迷宮為止．令ξ表示走出迷宮所需的時間．
(1)求ξ的分布列；
(2)求ξ的均值．
考點 均值與方差的綜合應用
題點 離散型隨機變量的分布列及均值
解 (1)ξ的所有可能取值為1,3,4,6.
P(ξ＝1)＝，
P(ξ＝3)＝＝，
P(ξ＝4)＝＝，
P(ξ＝6)＝21＝，
ξ的分布列為
ξ
1
3
4
6
P
(2)E(ξ)＝1＋3＋4＋6＝.
19．(12分)從1,2,3，…，9這9個自然數(shù)中，任取3個數(shù)．
(1)求這3個數(shù)恰有1個偶數(shù)的概率；
(2)記X為3個數(shù)中兩數(shù)相鄰的組數(shù)，例如取出的數(shù)為1,2,3，則有兩組相鄰的數(shù)1,2和2,3，此時X的值為2，求隨機變量X的分布列及均值E(X)．
考點 均值與方差的綜合應用
題點 離散型隨機變量的分布列及均值
解 (1)設Y表示“任取的3個數(shù)中偶數(shù)的個數(shù)”，
則Y服從N＝9，M＝4，n＝3的超幾何分布，
∴P(Y＝1)＝＝.
(2)X的取值為0,1,2，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝0)＝1－P(X＝1)－P(X＝2)＝.
∴X的分布列為
X
0
1
2
P
∴E(X)＝0＋1＋2＝.
20．(12分)某食品企業(yè)一個月內(nèi)被消費者投訴的次數(shù)用ξ表示，據(jù)統(tǒng)計，隨機變量ξ的分布列如下表：
ξ
0
1
2
3
P
0.1
0.3
2a
a
(1)求a的值和ξ的均值；
(2)假設一月份與二月份被消費者投訴的次數(shù)互不影響，求該企業(yè)在這兩個月內(nèi)共被消費者投訴2次的概率．
考點 互斥、對立、獨立重復試驗的概率問題
題點 互斥事件、對立事件、獨立事件的概率問題
解 (1)由分布列的性質(zhì)得0.1＋0.3＋2a＋a＝1，
解得a＝0.2，
∴ξ的分布列為
ξ
0
1
2
3
P
0.1
0.3
0.4
0.2
∴E(ξ)＝00.1＋10.3＋20.4＋30.2＝1.7.
(2)設事件A表示“兩個月內(nèi)共被投訴2次”；事件A1表示“兩個月內(nèi)有一個月被投訴2次，另一個月被投訴0次”；事件A2表示“兩個月均被投訴1次”．
則由事件的獨立性得
P(A1)＝CP(ξ＝2)P(ξ＝0)＝20.40.1＝0.08，
P(A2)＝[P(ξ＝1)]2＝0.32＝0.09.
∴P(A)＝P(A1)＋P(A2)＝0.08＋0.09＝0.17.
故該企業(yè)在這兩個月內(nèi)共被消費者投訴2次的概率為0.17.
21．(12分)已知2件次品和3件正品混放在一起，現(xiàn)需要通過檢測將其區(qū)分，每次隨機檢測一件產(chǎn)品，檢測后不放回，直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時檢測結束．
(1)求第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品的概率；
(2)已知每檢測一件產(chǎn)品需要費用100元，設X表示直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時所需要的檢測費用(單位：元)，求X的分布列和均值．
考點 均值與方差的應用
題點 離散型隨機變量的分布列及均值
解 (1)記“第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品”為事件A.
P(A)＝＝.
(2)X的可能取值為200,300,400.
P(X＝200)＝＝，
P(X＝300)＝＝，
P(X＝400)＝1－P(X＝200)－P(X＝300)
＝1－－＝＝.
故X的分布列為
X
200
300
400
P
E(X)＝200＋300＋400＝350.
22．(12分)某單位招聘面試，每次從試題庫中隨機調(diào)用一道試題，若調(diào)用的是A類型試題，則使用后該試題回庫，并增補一道A類型試題和一道B類型試題入庫，此次調(diào)題工作結束；若調(diào)用的是B類型試題，則使用后該試題回庫，此次調(diào)題工作結束．試題庫中現(xiàn)共有(n＋m)道試題，其中有n道A類型試題和m道B類型試題，以X表示兩次調(diào)題工作完成后，試題庫中A類型試題的數(shù)量．
(1)求X＝n＋2的概率；
(2)設m＝n，求X的分布列和均值．
解 以Ai表示第i次調(diào)題調(diào)用到A類型試題，i＝1,2.
(1)P(X＝n＋2)＝P(A1A2)＝
＝.
(2)X的可能取值為n，n＋1，n＋2.
P(X＝n)＝P(12)＝＝，
P(X＝n＋1)＝P(A12)＋P(1A2)＝＋＝，
P(X＝n＋2)＝P(A1A2)＝＝.
從而X的分布列為
X
n
n＋1
n＋2
P
所以E(X)＝n＋(n＋1)＋(n＋2)＝n＋1.
2018-2019版高中數(shù)學 第二章 隨機變量及其分布章末檢測試卷 新人教A版選修2-3.doc
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