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第1講 簡單的二次方程組的解法 在初中我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元一次方程、一元二次方程及二元一次方程組的解法，掌握了用消元法解二元一次方程組．高中學(xué)習(xí)圓錐曲線時，需要用到二元二次方程組的解法．因此，本講講介紹簡單的二元二次方程組的解法． 【知識梳理】 1.含有兩個未知數(shù)、且含有未知數(shù)的項的最高次數(shù)是2的整式方程，叫做二元二次方程． 2.由一個二元一次方程和一個二元二次方程組成的方程組，或由兩個二元二次方程組組成的方程組， 叫做二元二次方程組。 3.解二元二次方程組的基本思想是“轉(zhuǎn)化”，這種轉(zhuǎn)化包含“消元”和 “降次”將二元轉(zhuǎn)化為一元是消元，將二次轉(zhuǎn)化為一次是降次，這是轉(zhuǎn)化的基本方法。因此，掌握好消元和降次的一些方法和技巧是解二元二次方程組的關(guān)鍵。 【高效演練】 1.下列方程組是二元二次方程組的是（　?。? A． B． C． D． 2．方程組有兩組不同的實數(shù)解，則（ ） A、≥ B、＞ C、＜＜ D、以上答案都不對 【解析】方程組有兩組不同的實數(shù)解，兩個方程消去y得，， 需要△＞0，即1+4m＞0，所以＞. 【答案】B 3.請你寫出一個以和為解的二元二次方程組，這個方程組可以是　?。? 【分析】根據(jù)兩方程知x和y的值相等且平方和為2，據(jù)此可得． 【解析】解：這個方程組可以是， 故答案為：． 【點評】本題主要考查列方程組的能力，根據(jù)已知方程得出x、y間滿足的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵． 4.閱讀材料，解答問題： 我們可以利用解二元一次方程組的代入消元法解形如的二元二次方程組， 實質(zhì)是將二元二次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程或一元二次方程來求解．其解法如下： 解：由②得：y=2x﹣5 ③ 將③代入①得：x2+（2x﹣5）2=10 整理得：x2﹣4x+3=0，解得x1=1，x2=3 將x1=1，x2=3代入③得y1=12﹣5=﹣3，y2=23﹣5=1 ∴原方程組的解為，． （1）請你用代入消元法解二元二次方程組：； （2）若關(guān)x，y的二元二次方程組有兩組不同的實數(shù)解，求實數(shù)a的取信范圍． 【分析】（1）先消去一個未知數(shù)再解關(guān)于另一個未知數(shù)的次方程，把求得結(jié)果代入一個較簡單的方程中即可； （2）先消去一個未知數(shù)，得到關(guān)于另一個未知數(shù)的一元二次方程，根據(jù)一元二次方程根的判別式解答即可． （2）由①得，y=1﹣2x③， 把③代入②得，ax2+（1﹣2x）2+2x+1=0， 整理得，（a+4）x2﹣2x+2=0， 由題意得，4﹣42（a+4）＞0， 解得a＜﹣， ∵a+4≠0， ∴a≠﹣4， ∴a＜﹣且a≠﹣4． 【點評】本題考查的是高次方程的解法，掌握代入消元法的一般步驟和一元二次方程根的判別式的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵． 5.解下列方程組 （2）； （3）； 【解析】（1） (1) +(2)得：， (1) -(2)得：． 解此四個方程組，得原方程組的解是： ． （2）∵方程①是x與2y的和,方程②是x與2y的積, ∴x與2y是方程z2-4z-21=0的兩個根解此方程得:z1=-3,z2=7, ∴ ∴原方程組的解是 （3）(用代入法) 由②得: ③　　　　　　　　　　　　　 把③代入①得:　 x2-+4()2+x--2=0. 整理得:4x2-21x+27=0 ∴x1=3　 x2=. 把x=3代入③　得:y=1 把x=代入④　得:y=. ∴原方程組的解為: 6.k為何值時，方程組 （1）有兩組相等的實數(shù)解； （2）有兩組不相等的實數(shù)解； （3）沒有實數(shù)解。 【分析】分析：先用代入法消去未知數(shù)y，可得到關(guān)于x的一元方程，如果這個一元方程是一元二次方程，那么就可以根據(jù)根的判別式來討論。 【解析】（1）將(2)代入(1)，整理得k2x2+(2k-4)x+1=0..................(3) 當時，方程(3)有兩個相等的實數(shù)根。 即 解得：　k=1。 ∴ 當k=1時，原方程組有兩組相等的實數(shù)根。 （2）當時，方程(3)有兩個不相等的實數(shù)根。 　即 　解得： k<1且k≠0. ∴當k<1且k≠0時，原方程組有兩組不等實根。 （3）因為在（1）、（2）中已知方程組有兩組解，可以確定方程(3)是一元二次方程， 但在此問中不能確定方程(3)是否是二次方程，所以需兩種情況討論。 (i)若方程(3)是一元二次方程，無解條件是，， 即；解得：　k>1。 (ii)若方程(3)不是二次方程，則k=0，此時方程(3)為-4x+1=0，它有實數(shù)根. 綜合(i)和(ii)兩種情況可知，當k>1時，原方程組沒有實數(shù)根。 【點評】使用判別式“Δ”的前提條件是能確定方程為一元二次方程，不是一元二次方程不能使用Δ。 7.二元二次方程組有兩個實數(shù)解和，其中y1=2，且， 求常數(shù)n，t的值． 【分析】將y1=2，y1=2，代入原方程組可以得到x與n的關(guān)系，然后代入，可以求得y2的值，再將方程組中的x消去即可得到關(guān)于y的一元二次方程，然后根據(jù)韋達定理即可求得n和t的值． 由方程組，消去x， 得（n2+4）y2+4n2y+4（n2﹣t）=0， 由韋達定理，得， 解得． 【點評】本題考查高次方程，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．