專題跟蹤檢測(cè)（十二） 直線與圓 一、全練保分考法——保大分 1．過點(diǎn)(3,1)作圓(x－1)2＋y2＝r2的切線有且只有一條，則該切線的方程為(　　) A．2x＋y－5＝0　　　　　　 B．2x＋y－7＝0 C．x－2y－5＝0 D．x－2y－7＝0 解析：選B　∵過點(diǎn)(3,1)作圓(x－1)2＋y2＝r2的切線有且只有一條， ∴點(diǎn)(3,1)在圓(x－1)2＋y2＝r2上， ∵圓心與切點(diǎn)連線的斜率k＝＝， ∴切線的斜率為－2， 則圓的切線方程為y－1＝－2(x－3)， 即2x＋y－7＝0. 2．圓心在直線x＋2y＝0上的圓C與y軸的負(fù)半軸相切，圓C截x軸所得的弦長為2，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(　　) A．(x－2)2＋(y＋)2＝8 B．(x－)2＋(y＋2)2＝8 C．(x－2)2＋(y＋)2＝8 D．(x－)2＋(y＋2)2＝8 解析：選A　法一：設(shè)圓心為(r>0)，半徑為r.由勾股定理()2＋2＝r2，解得r＝2，∴圓心為(2，－)，∴圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋(y＋)2＝8. 法二：四個(gè)圓的圓心分別為(2，－)，(，－2)，(2，－)，(，－2)，將它們逐一代入x＋2y＝0，只有A選項(xiàng)滿足． 3．已知圓M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直線x＋y＝0所得線段的長度是2.則圓M與圓N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置關(guān)系是(　　) A．內(nèi)切 B．相交 C．外切 D．相離 解析：選B　由題意知圓M的圓心為(0，a)，半徑R＝a，因?yàn)閳AM截直線x＋y＝0所得線段的長度為2，所以圓心M到直線x＋y＝0的距離d＝＝(a>0)，解得a＝2，即圓M的圓心為(0,2)，又知圓N的圓心為(1,1)，半徑r＝1，所以|MN|＝，則R－r<<R＋r，所以兩圓的位置關(guān)系為相交． 4．已知直線l：x－y＋6＝0與圓x2＋y2＝12交于A，B兩點(diǎn)，過A，B分別作l的垂線與x軸交于C，D兩點(diǎn)．則|CD|＝(　　) A．2 B．4 C．6 D．4 解析：選D　法一：因?yàn)閳A心(0,0)到直線x－y＋6＝0的距離d＝＝3，所以|AB|＝2＝2，過C作CE⊥BD于E，因?yàn)橹本€l的傾斜角為30， 所以|CD|＝＝＝＝4. 法二：由x－y＋6＝0與x2＋y2＝12聯(lián)立解得A(－3，)，B(0,2)，∴AC的方程為y－＝－(x＋3)，BD的方程為y－2＝－x，可得C(－2,0)，D(2,0)，所以|CD|＝4. 5．已知A(0,3)，B，P為圓C：x2＋y2＝2x上的任意一點(diǎn)，則△ABP面積的最大值為(　　) A. B. C．2 D. 解析：選A　圓C的方程可化為(x－1)2＋y2＝1， 因?yàn)锳(0，3)，B， 所以|AB|＝＝3，直線AB的方程為x＋y＝3， 所以圓心(1,0)到直線AB的距離d＝＝.又圓C的半徑為1，所以圓C上的點(diǎn)到直線AB的最大距離為＋1，故△ABP面積的最大值為Smax＝(＋1)3＝. 6．已知等邊三角形OAB的三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線y2＝2x上，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)圓C是△OAB的外接圓(點(diǎn)C為圓心)，則圓C的方程為(　　) A．(x－4)2＋y2＝16 B．(x＋4)2＋y2＝16 C．x2＋(y－4)2＝16 D．x2＋(y＋4)2＝16 解析：選A　法一：設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，由題設(shè)知＝＝ ， 解得y＝y(tǒng)＝12，所以A(6,2)，B(6，－2)或A(6，－2)，B(6,2)． 設(shè)圓心C的坐標(biāo)為(r,0)(r>0)，則r＝6＝4， 所以圓C的方程為(x－4)2＋y2＝16. 法二：設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)(x1>0，x2>0)，由題設(shè)知x＋y＝x＋y. 又y＝2x1，y＝2x2，故x＋2x1＝x＋2x2， 即(x1－x2)(x1＋x2＋2)＝0， 由x1>0，x2>0，可知x1＝x2，故A，B兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，所以圓心C在x軸上． 設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(r,0)(r>0)，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為，于是2＝2r，解得r＝4，所以圓C的方程為(x－4)2＋y2＝16. 7．設(shè)M，N分別為圓O1：x2＋y2－12y＋34＝0和圓O2：(x－2)2＋y2＝4上的動(dòng)點(diǎn)，則M，N兩點(diǎn)間的距離的取值范圍是________． 解析：圓O1的方程可化為x2＋(y－6)2＝2，其圓心為O1(0,6)，半徑r1＝.圓O2的圓心O2(2,0)，半徑r2＝2，則|O1O2|＝＝2，則|MN|max＝2＋2＋，|MN|min＝2－2－，故M，N兩點(diǎn)間的距離的取值范圍是[2－2－，2＋2＋]． 答案：[2－2－，2＋2＋] 8．過點(diǎn)P(－3,1)，Q(a,0)的光線經(jīng)x軸反射后與圓x2＋y2＝1相切，則a的值為________． 解析：點(diǎn)P(－3,1)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)為P′(－3，－1)， 所以直線P′Q的方程為x－(a＋3)y－a＝0， 由題意得直線P′Q與圓x2＋y2＝1相切， 所以＝1， 解得a＝－. 答案：－ 9．已知圓C過點(diǎn)(1,0)，且圓心在x軸的正半軸上，直線l：y＝x－1被圓C所截得的弦長為2，則過圓心且與直線l垂直的直線的方程為________________． 解析：由題意，設(shè)所求的直線方程為x＋y＋m＝0，圓心坐標(biāo)為(a,0)(a>0)， 則由題意知2＋2＝(a－1)2， 解得a＝3或－1(舍去)， 故圓心坐標(biāo)為(3,0)， 因?yàn)閳A心(3,0)在所求的直線上， 所以3＋0＋m＝0， 解得m＝－3， 故所求的直線方程為x＋y－3＝0. 答案：x＋y－3＝0 10．(2018全國卷Ⅱ)設(shè)拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，過F且斜率為k(k>0)的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，|AB|＝8. (1)求l的方程； (2)求過點(diǎn)A，B且與C的準(zhǔn)線相切的圓的方程． 解：(1)由題意得F(1,0)，l的方程為y＝k(x－1)(k>0)． 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0. Δ＝16k2＋16>0，故x1＋x2＝. 所以|AB|＝|AF|＋|BF| ＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝. 由題設(shè)知＝8， 解得k＝1或k＝－1(舍去)． 因此l的方程為y＝x－1. (2)由(1)得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(3,2)， 所以AB的垂直平分線方程為y－2＝－(x－3)， 即y＝－x＋5. 設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為(x0，y0)， 則 解得或 因此所求圓的方程為(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144. 11．(2018成都模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線Г：y＝x2－mx＋2m(m∈R)與x軸交于不同的兩點(diǎn)A，B，曲線Г與y軸交于點(diǎn)C. (1)是否存在以AB為直徑的圓過點(diǎn)C？若存在，求出該圓的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由． (2)求證：過A，B，C三點(diǎn)的圓過定點(diǎn)． 解：由曲線Г：y＝x2－mx＋2m(m∈R)， 令y＝0，得x2－mx＋2m＝0.設(shè)A(x1,0)，B(x2,0)， 則可得Δ＝m2－8m>0， 解得m>8或m<0，x1＋x2＝m，x1x2＝2m. 令x＝0，得y＝2m，即C(0,2m)． (1)若存在以AB為直徑的圓過點(diǎn)C，則＝0， 得x1x2＋4m2＝0， 即2m＋4m2＝0， 所以m＝0(舍去)或m＝－. 所以m＝－， 此時(shí)C(0，－1)，AB的中點(diǎn)M即圓心， 半徑r＝|CM|＝， 故所求圓的方程為2＋y2＝. (2)證明：設(shè)過A，B兩點(diǎn)的圓的方程為 x2＋y2－mx＋Ey＋2m＝0， 將點(diǎn)C(0,2m)代入可得E＝－1－2m， 所以過A，B，C三點(diǎn)的圓的方程為 x2＋y2－mx－(1＋2m)y＋2m＝0， 整理得x2＋y2－y－m(x＋2y－2)＝0. 令可得或 故過A，B，C三點(diǎn)的圓過定點(diǎn)(0,1)和. 12．(2019屆高三廣州調(diào)研)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C與y軸相切，且過點(diǎn)M(1，)，N(1，－)． (1)求圓C的方程； (2)已知直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，且直線OA與直線OB的斜率之積為－2.求證：直線l恒過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)． 解：(1)因?yàn)閳AC過點(diǎn)M(1，)，N(1，－)， 所以圓心C在線段MN的垂直平分線上，即在x軸上， 故設(shè)圓心為C(a,0)，易知a>0， 又圓C與y軸相切，所以圓C的半徑r＝a， 所以圓C的方程為(x－a)2＋y2＝a2. 因?yàn)辄c(diǎn)M(1，)在圓C上， 所以(1－a)2＋()2＝a2，解得a＝2. 所以圓C的方程為(x－2)2＋y2＝4. (2)證明：記直線OA的斜率為k(k≠0)，則其方程為y＝kx. 聯(lián)立消去y，得(k2＋1)x2－4x＝0， 解得x1＝0，x2＝. 所以A. 由kkOB＝－2，得kOB＝－， 直線OB的方程為y＝－x， 在點(diǎn)A的坐標(biāo)中用－代換k，得B. 當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，＝，得k2＝2，此時(shí)直線l的方程為x＝. 當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，≠，即k2≠2， 則直線l的斜率為 ＝＝＝. 故直線l的方程為y－＝， 即y＝， 所以直線l過定點(diǎn). 綜上，直線l恒過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為. 二、強(qiáng)化壓軸考法——拉開分 1．已知圓C：x2＋y2＝1，點(diǎn)P(x0，y0)在直線l：3x＋2y－4＝0上，若在圓C上總存在兩個(gè)不同的點(diǎn)A，B，使＋＝，則x0的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 解析：選C　如圖，∵＋＝， ∴OP與AB互相垂直平分， ∴圓心到直線AB的距離 <1， ∴x＋y<4.?、? 又3x0＋2y0－4＝0， ∴y0＝2－x0， 代入①得x＋2<4， 解得0<x0<. ∴實(shí)數(shù)x0的取值范圍是. 2．已知直線y＝x＋m和圓x2＋y2＝1交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若＝，則實(shí)數(shù)m的值為(　　) A．1 B． C． D． 解析：選C　設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＝(－x1，－y1)，＝(x2－x1，y2－y1)，由消去y，整理得，2x2＋2mx＋m2－1＝0，故Δ＝4m2－8(m2－1)＝8－4m2>0，－<m<，x1＋x2＝－m，x1x2＝，y1y2＝(x1＋m)(x2＋m)＝x1x2＋m(x1＋x2)＋m2，又＝－x1x2－y1y2＋x＋y＝，故x1x2＋y1y2＝－，故2x1x2＋m(x1＋x2)＋m2＝－，即m2－1－m2＋m2＝－，得m2＝，m＝. 3．(2018荊州模擬)過點(diǎn)A(1，)的直線l將圓C：(x－2)2＋y2＝4分成兩段弧，當(dāng)劣弧所對(duì)的圓心角最小時(shí)，直線l的斜率為________． 解析：易知點(diǎn)A(1，)在圓(x－2)2＋y2＝4的內(nèi)部，圓心C的坐標(biāo)為(2,0)，要使劣弧所對(duì)的圓心角最小，只能是直線l⊥CA，所以kl＝－＝－＝. 答案： 4．已知圓O：x2＋y2＝1與x軸負(fù)半軸的交點(diǎn)為A，P為直線3x＋4y－a＝0上一點(diǎn)，過P作圓O的切線，切點(diǎn)為T，若|PA|＝2|PT|，則實(shí)數(shù)a的最大值為________． 解析：由題意知A(－1,0)，設(shè)P(x，y)，由|PA|＝2|PT|可得(x＋1)2＋y2＝4(x2＋y2－1)，化簡(jiǎn)得2＋y2＝.由3x＋4y－a＝0與圓2＋y2＝有公共點(diǎn)P，所以圓心到直線3x＋4y－a＝0的距離d＝≤，解得－≤a≤，所以實(shí)數(shù)a的最大值為. 答案： 5．已知圓O：x2＋y2＝1，圓M：(x－a)2＋(y－a＋4)2＝1.若圓M上存在點(diǎn)P，過點(diǎn)P作圓O的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，使得∠APB＝60，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_________． 解析：圓O的半徑為1，圓M上存在點(diǎn)P，過點(diǎn)P作圓O的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B， 使得∠APB＝60，則∠APO＝30. 在Rt△PAO中，|PO|＝2， 又圓M的半徑為1，圓心坐標(biāo)為M(a，a－4)， ∴|MO|－1≤|PO|≤|MO|＋1， ∵|MO|＝， ∴ －1≤2≤ ＋1， 解得2－≤a≤2＋. ∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為. 答案： 6．(2018廣州高中綜合測(cè)試)已知定點(diǎn)M(1,0)和N(2,0)，動(dòng)點(diǎn)P滿足|PN|＝|PM|. (1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程； (2)若A，B為(1)中軌跡C上兩個(gè)不同的點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．設(shè)直線OA，OB，AB的斜率分別為k1，k2，k.當(dāng)k1k2＝3時(shí)，求k的取值范圍． 解：(1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)， 因?yàn)镸(1,0)，N(2,0)，|PN|＝|PM|， 所以 ＝. 整理得，x2＋y2＝2. 所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為x2＋y2＝2. (2)設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線AB的方程為y＝kx＋ B. 由消去y，整理得(1＋k2)x2＋2bkx＋b2－2＝0.(*) 由Δ＝(2bk)2－4(1＋k2)(b2－2)>0，得b2<2＋2k2.① 由根與系數(shù)的關(guān)系，得x1＋x2＝－，x1x2＝.② 由k1k2＝＝＝3， 得(kx1＋b)(kx2＋b)＝3x1x2， 即(k2－3)x1x2＋bk(x1＋x2)＋b2＝0. ③ 將②代入③，整理得b2＝3－k2. ④ 由④得b2＝3－k2≥0，解得－≤k≤. ⑤ 由①和④，解得k<－或k>. ⑥ 要使k1，k2，k有意義，則x1≠0，x2≠0， 所以0不是方程(*)的根， 所以b2－2≠0，即k≠1且k≠－1. ⑦ 由⑤⑥⑦，得k的取值范圍為 [－，－1)∪∪∪(1， ]．