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8.1 坐標系與參數方程 【課時作業(yè)】 A級 1．已知圓O1和圓O2的極坐標方程分別為ρ＝2，ρ2－2ρcos＝2. (1)把圓O1和圓O2的極坐標方程化為直角坐標方程； (2)求經過兩圓交點的直線的極坐標方程． 解析：　(1)ρ＝2?ρ2＝4，所以x2＋y2＝4； 因為ρ2－2ρcos＝2， 所以ρ2－2ρ＝2， 所以x2＋y2－2x－2y－2＝0. (2)將兩圓的直角坐標方程相減，得經過兩圓交點的直線方程為x＋y＝1.化為極坐標方程為ρcos θ＋ρsin θ＝1， 即ρsin＝. 2．(2018西安市八校聯考)以平面直角坐標系的坐標原點O為極點，以x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系．已知直線l的參數方程為(t為參數)，曲線C的極坐標方程為ρsin2θ＝4cos θ. (1)求曲線C的直角坐標方程； (2)設直線l與曲線C相交于A，B兩點，求|AB|. 解析：　(1)由ρsin2θ＝4cos θ，可得ρ2sin2θ＝4ρcos θ， ∴曲線C的直角坐標方程為y2＝4x. (2)將直線l的參數方程代入y2＝4x，整理得4t2＋8t－7＝0， ∴t1＋t2＝－2，t1t2＝－， ∴|AB|＝|t1－t2|＝＝＝. 3．(2018合肥市第一次教學質量檢測)在直角坐標系xOy中，曲線C1：(θ為參數)，在以O為極點．x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C2：ρ－2cos θ＝0. (1)求曲線C2的直角坐標方程； (2)若曲線C1上有一動點M，曲線C2上有一動點N，求|MN|的最小值． 解析：　(1)由ρ－2cos θ＝0得ρ2－2ρcos θ＝0. ∵ρ2＝x2＋y2，ρcos θ＝x，∴x2＋y2－2x＝0. 即曲線C2的直角坐標方程為(x－1)2＋y2＝1. (2)由(1)可知，圓C2的圓心為C2(1,0)，半徑為1. 設曲線C1上的動點M(3cos θ，2sin θ)， 由動點N在圓C2上可得|MN|min＝|MC2|min－1. ∵|MC2|＝＝， ∴當cos θ＝時，|MC2|min＝， ∴|MN|min＝|MC2|min－1＝－1. 4．在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數方程為(α為參數)，直線C2的方程為y＝x，以O為極點，以x軸正半軸為極軸建立極坐標系． (1)求曲線C1和直線C2的極坐標方程； (2)若直線C2與曲線C1交于A，B兩點，求＋. 解析：　(1)曲線C1的參數方程為(α為參數)，普通方程為(x－2)2＋(y－2)2＝1，即x2＋y2－4x－4y＋7＝0，極坐標方程為ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋7＝0， 直線C2的方程為y＝x，極坐標方程為θ＝. (2)直線C2與曲線C1聯立，可得ρ2－(2＋2)ρ＋7＝0， 設A，B兩點對應的極徑分別為ρ1，ρ2，則ρ1＋ρ2＝2＋2，ρ1ρ2＝， 所以＋＝＝. 5．(2018全國卷Ⅲ)在平面直角坐標系xOy中，⊙O的參數方程為(θ為參數)，過點(0，－)且傾斜角為α的直線l與⊙O交于A，B兩點． (1)求α的取值范圍； (2)求AB中點P的軌跡的參數方程． 解析：　(1)⊙O的直角坐標方程為x2＋y2＝1. 當α＝時，l與⊙O交于兩點． 當α≠時，記tan α＝k，則l的方程為y＝kx－.l與⊙O交于兩點當且僅當<1，解得k<－1或k>1，即α∈或α∈. 綜上，α的取值范圍是. (2)l的參數方程為 (t為參數，<α<)． 設A，B，P對應的參數分別為tA，tB，tP， 則tP＝，且tA，tB滿足t2－2tsin α＋1＝0. 于是tA＋tB＝2sin α，tP＝sin α. 又點P的坐標(x，y)滿足 所以點P的軌跡的參數方程是 . 6．在平面直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為(α為參數)，在以原點為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，直線l的極坐標方程為ρsin＝. (1)求C的普通方程和l的傾斜角； (2)設點P(0,2)，l和C交于A，B兩點，求|PA|＋|PB|. 解析：　(1)由消去參數α，得＋y2＝1， 即C的普通方程為＋y2＝1. 由ρsin＝，得ρsin θ－ρcos θ＝2，(*) 將代入(*)，化簡得y＝x＋2， 所以直線l的傾斜角為. (2)由(1)知，點P(0,2)在直線l上，可設直線l的參數方程為(t為參數)，即(t為參數)， 代入＋y2＝1并化簡，得5t2＋18t＋27＝0， Δ＝(18)2－4527＝108>0， 設A，B兩點對應的參數分別為t1，t2， 則t1＋t2＝－<0，t1t2＝>0，所以t1<0，t2<0， 所以|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝－(t1＋t2)＝. B級 1．(2018全國卷Ⅰ)選修4－4：坐標系與參數方程 在直角坐標系xOy中，曲線C1的方程為y＝k|x|＋2.以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρ2＋2ρcos θ－3＝0. (1)求C2的直角坐標方程； (2)若C1與C2有且僅有三個公共點，求C1的方程． 解析：　(1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ得C2的直角坐標方程為(x＋1)2＋y2＝4. (2)由(1)知C2是圓心為A(－1,0)，半徑為2的圓． 由題設知，C1是過點B(0,2)且關于y軸對稱的兩條射線．記y軸右邊的射線為l1，y軸左邊的射線為l2. 由于點B在圓C2的外面，故C1與C2有且僅有三個公共點等價于l1與C2只有一個公共點且l2與C2有兩個公共點，或l2與C2只有一個公共點且l1與C2有兩個公共點． 當l1與C2只有一個公共點時，點A到l1所在直線的距離為2，所以＝2，故k＝－或k＝0. 經檢驗，當k＝0時，l1與C2沒有公共點； 當k＝－時，l1與C2只有一個公共點，l2與C2有兩個公共點． 當l2與C2只有一個公共點時，點A到l2所在直線的距離為2，所以＝2，故k＝0或k＝. 經檢驗，當k＝0時，l1與C2沒有公共點； 當k＝時，l2與C2沒有公共點． 綜上，所求C1的方程為y＝－|x|＋2. 2．以坐標原點為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系．曲線C1的極坐標方程是ρ＝2.矩形ABCD內接于曲線C1，A，B兩點的極坐標分別為和.將曲線C1上所有點的橫坐標不變，縱坐標縮短為原來的一半，得到曲線C2. (1)寫出C，D的直角坐標及曲線C2的參數方程； (2)設M為C2上任意一點，求|MA|2＋|MB|2＋|MC|2＋|MD|2的取值范圍． 解析：　(1)曲線C1的極坐標方程是ρ＝2，矩形ABCD內接于曲線C1，A，B兩點的極坐標分別為和，利用對稱性可得C，D.將C，D兩點的極坐標分別化為直角坐標為C(－，－1)，D(，－1)． 曲線C1的極坐標方程是ρ＝2，將其化為直角坐標方程為x2＋y2＝4. 設曲線C2上的任意一點P(x，y)，曲線C1上的任意一點P′(x′，y′)，則可得 將其代入曲線C1的直角坐標方程，得x2＋(2y)2＝4， ∴曲線C2的直角坐標方程為x2＋4y2＝4. 故曲線C2的參數方程為 (2)由題意，知A(，1)，B(－，1)． 設M(2cos θ，sin θ)，則|MA|2＋|MB|2＋|MC|2＋|MD|2＝(2cos θ－)2＋(sin θ－1)2＋(2cos θ＋)2＋(sin θ－1)2＋(2cos θ＋)2＋(sin θ＋1)2＋(2cos θ－)2＋(sin θ＋1)2＝12cos2θ＋20∈[20,32]． 即取值范圍為[20,32]．