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1、杭州師范大學(xué) 年招收攻讀碩士研究生入學(xué)考試題 考試科目代碼：721考試科目名稱：量子力學(xué) 說明：考生答題時一律寫在答題紙上，否則漏批責(zé)任自負(fù)。 一、填空題（每空3分，共30分）、根據(jù)德布羅意波粒二象性，能量為&動量為q的微觀粒子，與對應(yīng)的波動的頻率”和 波長人的關(guān)系式分別是,o完成對易關(guān)系:[x,px]=,[d"x

2、，共30分） 1. 量子力學(xué)中微觀粒子的波粒二象性與光的波粒二象性有什么區(qū)別？ 2. 敘述量子力學(xué)中物理量算符的性質(zhì)以及與力學(xué)量測量值之間的關(guān)系。 3. 說明當(dāng)勢能V（x）是偶函數(shù)時，定態(tài)薛定謂方程的解“（X）總可以寫成偶函數(shù)或者奇函數(shù) 的形式。 4. 敘述（或者通過變換關(guān)系式描述）你對量子力學(xué)中的表象變換的理解。如何理解電子的自旋？ 三、計算題（90分）（15分）質(zhì)量為〃?的粒子，在一維無限深勢阱中叩）」。，庭心 [co,x<0,x>a 中運(yùn)動。求 （1）求粒子的能量本征值和本征函數(shù)；（5分） （2）若1=°時，粒子處于-（%0）=（對-&由（x）+（x）狀態(tài)上，其中，婦

3、工）為粒子能量的第〃個本征態(tài)。求.=0時能量的可測值與相應(yīng)的取值幾率；（5分） （3）求，>°時的波函數(shù)心*）及能量可測值與相應(yīng)的取值幾率。（5分）（10分）設(shè)皿=購）丫睥饑為氫原子的能量為屬定態(tài)波函數(shù)，當(dāng)t=0時氫原子處于 狀態(tài)"（廠,0,0）=（2^/100+21Q+W211+21-\） 求：（1）氫原子能量及其幾率；（4分） （2）軌道角動量平方矛的可能值，可能值出現(xiàn)的幾率以及個的平均值；（4分） （3）z分量山的可能值，可能值出現(xiàn)的幾率以及上的平均值；（2分）I—/z 1. （15分）假設(shè)量子系統(tǒng)的基態(tài)為認(rèn)x）=[亍22”，求： （1）勢能的平均值萬=|pcoQ;（5分）

4、 （2）動能的平均值f=（5分）2// 4.m分）-維諧振子的哈密頓量寫成為以=土［ ,定義如下的算符 E) a E) a ⑶動量的幾率分布函數(shù)。（5分）（提示：「x5dx=1.3?5.???.（2/?-1） Jo a-j1(mcox+ip)\l2hmco d=.{mo)x-ip)\l2iimco=1o(4分) =1o(4分) 求（1）證明 （2）利用。和”表示H。（4分） （3）基態(tài)滿足求基態(tài)波函數(shù)化）和基態(tài)能量。 （7分） ab 5. （20分）設(shè)一量子體系的哈密頓量為：H=E2c,且俱《1,網(wǎng)《1,b*c*￡3 ld《i,利用微擾法計算二級近似下的能量本征值。 6. （15分）設(shè)家原子中的兩個電子都處于Is態(tài)，兩個電子基態(tài)的空間波函數(shù)為-0Z）=Voo（E）”ioo（W），求 （i）寫出電子四個可能的自旋波函數(shù)； （ii）寫出兩個電子交換反對稱的總波函數(shù)（同時考慮空間自由度和自旋自由度）。