11、請把你認為正確的答案填在 上.
⑴ 在底面半徑為6的圓柱內(nèi),有兩個半徑也為6的球面,其球心距為13,若作一平面與這二球面相切,且與圓柱面交成一個橢圓,則這個橢圓的長軸長與短軸長之和是 .
解:易得cosα==,于是橢圓長軸=13,短軸=12.所求和=25.
⑵ 已知f(x)=|1-2x|,x∈[0,1],那么方程
f(f(f(x)))=x
的解的個數(shù)是 .
解:f(f(x))=|1-2|1-2x||=
同樣f(f(f(x)))的圖象為8條線段,其斜率分別為±8,夾在y=0與y=1,x=0,x=
12、1之內(nèi).它們各與線段y=x (0≤x≤1)有1個交點.故本題共計8解.
⑶ 設(shè)f(x)=,那么和式f()+f()+f()+…+f()的值等于 ;
解 f(x)+f(1-x)= +=+=1. ⑴
以x=,,,…,代入⑴式,即得所求和=500.
⑷ 設(shè)x、y、z為非負實數(shù),且滿足方程4-68′2+256=0,那么x+y+z的最大值與最小值的乘積等于 ;
解:令2=t,則得,t2-68t+256=0,T(t-64)(t-4)=0,Tt=4,t=64.
=2T5x+9y+4z=4,T9(x+y+z)=4+4x+5z≥4,x+y+z≥;
4(x+y+
13、z)=4-x-5y≤4,x+y+z≤1Tx+y+z∈[,1];
=6T5x+9y+4z=36,T9(x+y+z)=36+4x+5z≥36,Tx+y+z≥4;
4(x+y+z)=36-x-5y≤36,Tx+y+z≤9.
故,所求最大值與最小值的乘積=′9=4.
第二試
1.(本題滿分17分)已知實數(shù)列a0,a1,a2,…,滿足
ai-1+ai+1=2ai,(i=1,2,3,…)
求證:對于任何自然數(shù)n,
P(x)=a0C(1-x)n+a1Cx(1-x)n-1+a2Cx2(1-
14、x)n-2+…+an-1Cxn-1(1-x)+anCxn
是一次多項式.
(本題應(yīng)增加條件:a0≠a1)
證明:由已知,得ai+1-ai=ai-ai-1,T故{ai}是等差數(shù)列.設(shè)ai-ai-1=d≠0.則ak=a0+kd.
于是P(x)=a0C(1-x)n+a1Cx(1-x)n-1+a2Cx2(1-x)n-2+…+an-1Cxn-1(1-x)+anCxn
= a0C(1-x)n+(a0+d)Cx(1-x)n-1+(a0+2d)Cx2(1-x)n-2+…+(a0+(n-1)d)Cxn-1(1-x)+(a0+nd)Cxn
=a0[C(1-x)n+Cx(
15、1-x)n-1+Cx2(1-x)n-2+…+Cxn-1(1-x)+Cxn]
+d[Cx(1-x)n-1+2Cx2(1-x)n-2+…+(n-1)Cxn-1(1-x)+nCxn] (由kC=nC)
=a0(1-x+x)n+ndx[C(1-x)n-1+Cx(1-x)n-2+…+Cxn-2(1-x)+Cxn-1]
=a0+ndx(1-x+x)n-1=a0+ndx=a0+(an-a0)x.
此為一次多項式.證畢.
2.(本題滿分17分)已知銳角三角形ABC的外接圓半徑為R,點D、E、F分別在邊BC、CA、AB上,求
16、證:AD,BE,CF是⊿ABC的三條高的充要條件是
S=(EF+FD+DE).
式中S是三角形ABC的面積.
證明 連OA,則由C、E、F、B四點共圓,得DAFE=DC,又在⊿OAB中,DOAF=(180°-2DC)/2=90°-DC,∴OA⊥EF.
∴ SOEAF=EF·=·EF,
同理,SOFBD=·DF,SODCE=·DE,故得S=(EF+FD+DE).
反之,由S=(EF+FD+DE).得OA⊥EF,OB⊥FD,OC⊥ED,否則S<(EF+FD+DE).
過A作⊙O的切線AT,則∠AFE=∠TAF=∠ACB,TB、F、E、D共圓,
同理,A、F、D、C共圓,A、E、
17、D、B共圓.T∠AFC=∠ADC,∠AEB=∠ADB.
∴ ∠AFC+∠AEB=∠ADC+∠ADB=180°.但∠BFC=∠BEC,即∠AFC=∠AEB=90°,于是F、E為垂足,同理D為垂足.故證.
3.(本題16分)平面直角坐標(biāo)系中,縱橫坐標(biāo)都是整數(shù)的點稱為整點,請設(shè)計一種染色方法將所有的整點都染色,每一個整點染成白色、紅色或黑色中的一種顏色,使得
⑴ 每一種顏色的點出現(xiàn)在無窮多條平行于橫軸的直線上;
⑵ 對任意白色A、紅點B和黑點C,總可以找到一個紅點D,使得ABCD為一平行四邊形.
證明你設(shè)計的方法符合上述要求.
證明:設(shè)任一點的坐標(biāo)為(x,y),把x+y≡1(mod
18、4)的點染白,x+y≡3(mod 4)的點染黑,x+y≡0或2(mod4)的點染紅.
顯然,這樣染色的點滿足要求.
首先,每條平行于x軸的直線上都有三種顏色的點.即每一種顏色的點出現(xiàn)在無窮多條平行于橫軸的直線上;其次,對于任一白點A(x1,y1),任一紅點B(x2,y2),與任一黑點C(x3,y3),當(dāng)點D(x4,y4)與之組成平行四邊形時,有x1+x3=x2+x4,y1+y3=y2+y4.而x1+y1+x3+y3≡0(mod 4),于是x2+y2+x4+y4≡0(mod 4),
故x4+y3≡0(當(dāng)x2+y2≡0時)或2(當(dāng)x2+y2≡2時)(mod 4).即點D為紅點.