考點03 圓柱、圓錐、圓臺的結(jié)構(gòu)特征 1．圓柱、圓錐、圓臺可以分別看作以矩形一邊、直角三角形的一直角邊、直角梯形中垂直于底邊的腰所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，將矩形、直角三角形、直角梯形分別旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體，旋轉(zhuǎn)軸叫做所圍成的幾何體的軸；在軸上的這條邊(或它的長度)叫做這個幾何體的高；垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面叫做這個幾何體的底面；不垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做這個幾何體的側(cè)面，無論旋轉(zhuǎn)到什么位置，這條邊都叫做側(cè)面的母線． 2．圓柱、圓錐、圓臺、球等幾何體，都是由一個平面圖形繞著一條直線旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的曲面所圍成的幾何體，這類幾何體叫做旋轉(zhuǎn)體，這條直線叫做旋轉(zhuǎn)體的軸． 【例】若邊長為5 cm的正方形EFGH是圓柱的軸截面，則從點E沿圓柱的側(cè)面到相對頂點G的最短距離是( ) A．10 cm B．5 cm C．5 cm D． cm 【答案】D 【規(guī)律總結(jié)】解決旋轉(zhuǎn)體中的距離最值問題，用側(cè)面展開圖，將問題平面化． 1．如果圓錐的側(cè)面展開圖是半圓，那么這個圓錐的頂角(圓錐軸截面中兩條母線的夾角)是( ) A．30 B．45 C．60 D．90 【答案】C 【解析】設(shè)圓錐底面半徑為r，母線長為l，則有2πr＝2πl(wèi)．∴2r＝l， 即△ABC為等邊三角形，故頂角為60． 2．下列說法： ①以直角三角形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周得到的旋轉(zhuǎn)體為圓錐； ②以直角梯形的一腰所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周得到的旋轉(zhuǎn)體為圓臺； ③圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓； ④分別以矩形兩條不相等的邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將矩形旋轉(zhuǎn)一周，所得的兩個圓柱是不同的圓柱． 其中正確的有( ) A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 【答案】B 【秒殺技】處理臺體問題常采用還臺為錐的補體思想． 3．一個圓錐的母線長為5，底面半徑為3，則該圓錐的軸截面的面積為( ) A．10 B．12 C．20 D．15 【答案】B 【解析】圓錐的軸截面是等腰三角形，兩腰為圓錐的母線，底邊為圓錐的底面圓的直徑，所以軸截面的面積S＝23＝12，故選B． 4．下列說法不正確的是（ ） A．圓柱的側(cè)面展開圖是一個矩形 B．圓錐過軸的截面是一個等腰三角形 C．直角三角形繞它的一條邊旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面圍成的幾何體是圓錐 D．圓臺平行于底面的截面是圓面 【答案】C 【解析】由圓錐的概念知直角三角形繞它的一條直角邊所在直角旋轉(zhuǎn)一周所圍成的幾何體是圓錐，即旋轉(zhuǎn)軸為直角三角形的一條直角邊所在的直線，因而C錯． 5．給出下列命題：①圓柱的底面是圓；②經(jīng)過圓柱任意兩條母線的截面是一個矩形；③連接圓柱上、下底面圓周上兩點的線段是圓柱的母線；④圓柱的任意兩條母線互相平行；⑤圓柱的側(cè)面沿母線展開的圖形是矩形；⑥圓柱的母線有且只有一條．其中正確的為 ．（只填序號） 【答案】②④⑤ 【規(guī)律方法】圓柱、圓錐、圓臺的關(guān)系如圖所示． 6．如圖所示，用一個平行于圓錐SO底面的平面截這個圓錐，截得圓臺上、下底面的半徑分別為2 cm和5 cm，圓臺的母線長是12 cm，求圓錐SO的母線長． 【解析】如圖，過圓臺的軸作截面，截面為等腰梯形ABCD，由已知可得上底半徑O1A＝2 cm，下底半徑OB＝5 cm，且腰長AB＝12 cm．設(shè)截得此圓臺的圓錐的母線長為l，則由△SAO1∽△SBO，可得＝，所以l＝20 cm，即截得此圓臺的圓錐的母線長為20 cm． 1．如上、下底面面積分別為36π和49π，母線長為5的圓臺，其兩底面之間的距離為( ) A．4 B．3 C．2 D．2 【答案】D 2．圓臺軸截面的兩條對角線互相垂直，且上下底面半徑的比為3:4，又其高為14，則圓臺的母線長是__________． 【答案】20 【解析】如圖所示，由已知有＝＝，因為OB⊥OC，所以△AOB，△DOC均為等腰直角三角形．又O1O2＝14，所以O(shè)1O＝r＝6，OO2＝R＝8，在Rt△BOC中，OB2＋OC2＝l2， 所以r2＋OO＋R2＋OO＝l2，代入數(shù)據(jù)得l＝20． 3．已一個等邊圓柱(底面直徑等于高)的軸截面面積是S，則它的底面面積是________． 【答案】S 【解析】設(shè)底面半徑為r，則4r2＝S，故底面面積為πr2＝π＝S． 4．如圓臺的上底周長是下底周長的，軸截面面積等于392，母線與底面的夾角為45，求此圓臺的高、母線長及兩底面的半徑． 【答案】R＝21，r＝7，h＝14，l＝14． 圜丘壇 圜丘壇是我國明朝建立的一個地點，在天壇南部，為皇帝冬至日祭天大典的場所，又稱祭天壇．壇面為艾葉青石，漢白玉欄板、欄柱雕成，兩道外方里圓的圍墻象征著 “天圓地方”．由于是祭天壇，圜丘的整個結(jié)構(gòu)是對數(shù)學(xué)的巧妙運用，壇面、臺階、欄桿的石制構(gòu)件，都取九或九的倍數(shù)，即陽數(shù)，用以象征天．壇中心的圓形石板，叫天心石，站在上面高喊或發(fā)出敲擊聲，周圍即起回音，自己聽起來聲音很大，好似一呼百應(yīng)．