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國(guó)家開(kāi)放大學(xué)電大本科《幾何基礎(chǔ)》網(wǎng)絡(luò)課單元五、六試題及答案

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1、國(guó)家開(kāi)放大學(xué)電大本科《幾何基礎(chǔ)》網(wǎng)絡(luò)課單元五、六試題及答案 單元五、六 綜合評(píng)測(cè)2 一、 填空題 題目1 給定無(wú)三點(diǎn)共線的5點(diǎn),可決定唯一一條二階曲線. 題目2 二階曲線x2-2xy+y2—y+2=0是拋物線. 題目3 兩個(gè)不共心的成射影對(duì)應(yīng)的線束,對(duì)應(yīng)直線的交點(diǎn)的全體是一條二階曲線. 題目4 若點(diǎn)P在二次曲線「?上,那么它的極線是「?的切線. 題目5 由配極原則可知,無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的極線一定通過(guò)中心. 二、 選擇題 題目6 極線上的點(diǎn)與極點(diǎn)(). 選擇一項(xiàng): A. 可能不共輒 B. 不共輒 C. 共輒 D. 不可判定 題目7 無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)關(guān)于二次曲線的極線

2、成為二次曲線的(). 選擇一項(xiàng): A. 漸近線 B. 直徑 C. 半徑 D. 切線 題目8 兩條平行線被第三條直線所截,同位角相等,這個(gè)命題與歐幾里得第五公設(shè)(). 選擇一項(xiàng): A. 矛盾 B. 以上都不正確 C. 等價(jià) D. 無(wú)關(guān) 題目9 兩條平行線被第三條直線所截,內(nèi)錯(cuò)角相等,這個(gè)命題在歐式幾何內(nèi)不與()等價(jià). 選擇一項(xiàng): A. 直徑對(duì)應(yīng)的圓周角是直角. B. 過(guò)直線外一點(diǎn)又無(wú)窮多條直線與已知直線平行. C. 過(guò)直線外一點(diǎn)能做而旦只能做一條直線與已知直線平行. D. 三角形內(nèi)角和等于兩直角. 題目10 三角形內(nèi)角和等于180度與(). 選擇一項(xiàng):

3、 A. 歐氏平行公設(shè)等價(jià) B. 羅氏平行公設(shè)等價(jià) C. 與橢圓幾何平行公設(shè)等價(jià) D. 不可判定 三、計(jì)算題 題目11 1.求通過(guò)點(diǎn)?』(02T),峪*#,C(L-L0),風(fēng)A2).頊紈-1)的二階曲線方程 解析:設(shè)??階曲線方程為 4 * + 5; + 白 33X; + 2al2xtx2 + 2劣3斗打 + 23% = 0 將L1知五點(diǎn)的坐標(biāo)代入上式得 +。22 —2。“ = 0 4%+%3-4外3=0 , 4a22 +。33 - 4% = 0 4% +16% +4% +5氣一4。|? 一 16% =。 4/1 + 9^22 + 4%3 +12〃[ 2 — 8。|

4、 劣一12。小=0 解方程組得 - 9 a23 =;“】】'%3 = , “12=01, a22 =aH ' a\3 =Tail f / 4 所求二階曲線的方程為 2 2 r C 9 9 汽 再 4-x; + 5x3 + 2X|X? + - x}xy + - x2xy = 0 . 2xf + 2x; + I Ox; +4X|X? + 9Xj x3 4- 9x2x3 = 0. 題目12 2. 求點(diǎn)關(guān)于、】lL°)二階曲線的3; =0 極線. ?解 將點(diǎn)(1,一1,0)的坐標(biāo)及J=l,2,3)的值代入極線方程 (G15 + Jl/2 +^il>3)X| +日“力

5、)工? ++口相,+ f 3)工3 =0 7 7 5 即(3—;+。)工1 +(— — 5+0)xi + (2 ——+0)x3 =0 G L £ 整理即得所求極線方程 . X\ +3 工,+石—0. 題目13 八 》一 “人 小偵-2.u -2i - 21 -1=01——、 3. 求二階曲線 ’” ^ 的中心. 1 1 2 』=(%)= 1 2 I 2 1 0 . ■ 于是 = -3 . = 1. = 1 因此,中心坐標(biāo)為(-3,1,1),或?qū)懗煞驱R次坐標(biāo)(-3,1). 題目14 4. 求直線3毛一 V 一 6上=注關(guān)于* +£ 一 "急十貝]歪-6x:.v3

6、= 0的極點(diǎn). ? V (f yi ? ■ Wl 解利用 。V, =人. j yi. 因?yàn)?D=|A|= 一1 1 —3,所以 A” = —9,A” = —1 .人“=0.?1“=人單= —3.Ai3 1 -3 0 =A“ = 2?A"=A”=2(\為元素j的代數(shù)余子式〉. 于是 0 yi ■ ■ 「一9 -3 2 3 -12 o yi n/V Ul s= -3 -1 2 一] = 4 Us 」2 2 0 6 ■ ■ 4 即 所求極點(diǎn)的坐標(biāo)為(-12.4.4). 題目

7、15 ,、 人皿,卜偵+E'+:M+4x + 21+1 = 0 , 一 l…, 5. 求二階曲線 ’’ ?過(guò)點(diǎn)(1, 1)的直徑. 解析:注意二次曲線站以北齊次坐標(biāo)形式給出的,其中。“=1?a22 = 2 .. .3=2. = 灼3 = 1,代入立控公式的非齊次形式 (知 X + ■ — + 角3)+ k(a2xx + a22y + %) = 0 得 ("》+ 2)"(x+2y + l) = 0 代入“齊次坐標(biāo)的點(diǎn)(1,1用 (lxl + lxl + 2) + *(lxl + 2x】 +1) = 0 于劉 * = 一1 將人二?1代入(.匚+ ^ + 2)*人(1: + 2

8、,?1)=0.每 直徑為 y-l=0. 題目16 6. 6 v* 求二次曲線f 在點(diǎn)(1, 2, 1)的切線方程. 6Xr-2'-24Xl' + llX2Xl=O 說(shuō)明點(diǎn)(1,2>1)在二次曲線上. 6 0 o ‘ > < X| 0 —1 n (1 2 1) 7 0 i 11 7 一 24 整理得 12工〕+ hi 題目17 7.求二次曲線的: lxZ -TXJ - -3x 0 故所求的切線方程為 =0 2 —26xs =0 —。漸近線. 解:..?系數(shù)行列式 2 -3 aM, 因此中心坐標(biāo) g =- —?n =— 2XPXY-3Y=O? (2X+3Y)(X-Y)=O 2X+3Y=O X-Y=0. (I) X*; Yny+;代入(I) 2x+3y+l=0 x-y=0 即為所求的漸近線方程 四、簡(jiǎn)答題 題目18 1.請(qǐng)敘述歐幾里得的第五公設(shè)? 答:L 從任意一點(diǎn)到另一點(diǎn)可以引直線 2, 每條直線都可無(wú)線延長(zhǎng) 3, 以任意點(diǎn)作為中心可以用任意半徑做圓周 4, 所有直角都相等 5, 平面上兩條直線被第三條直線所截,若截線一側(cè)的兩內(nèi)角之和小于二直角,則兩直線必相交于截線的這一側(cè)

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