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1、 課時規(guī)范練20　解三角形的應(yīng)用舉例 一、選擇題 1.有一長為1的斜坡,它的傾斜角為20°,現(xiàn)高不變,將傾斜角改為10°,則斜坡長為(　　) A.1 B.2sin 10° C.2cos 10° D.cos 20° 答案:C 2.如圖,兩座相距60 m的建筑物AB,CD的高度分別為20 m,50 m,BD為水平面,則從建筑物AB的頂端A看建筑物CD的張角為(　　) A.30° B.45° C.60° D.75° 答案:B 3.在某次測量中,在A處測得同一平面方向的B點的仰角是50°,且到A的距離為2,C點的俯角為70°,且到A的距離為3,則B,C間的距

2、離為(　　) A. B. C. D. 答案:D 解析:∵∠BAC=120°,AB=2,AC=3, ∴BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos∠BAC=4+9-2×2×3×cos 120°=19. ∴BC=. 4.在地上畫了一個角∠BDA=60°,某人從角的頂點D出發(fā),沿角的一邊DA行走10米后,拐彎往另一邊的方向行走14米正好到達∠BDA的另一邊BD上的一點,我們將該點記為點N,則N與D之間的距離為(　　) A.14米 B.15米 C.16米 D.17米 答案:C 解析:如圖,設(shè)DN=x米, 則142=102+x2-2×10×xcos 60°, ∴x2-10x-

3、96=0. ∴(x-16)(x+6)=0. ∴x=16或x=-6(舍去). ∴N與D之間的距離為16米.[來源:] 5.如圖,為測得河對岸塔AB的高,先在河岸上選一點C,使C在塔底B的正東方向上,測得點A的仰角為60°,再由點C沿北偏東15°方向走10米到位置D,測得∠BDC=45°,則塔AB的高是(　　) A.10米 B.10米 C.10米 D.10米 答案:D 解析:在△BCD中,CD=10,∠BDC=45°,∠BCD=15°+90°=105°,∠DBC=30°,,BC==10. 在Rt△ABC中,tan 60°=, AB=BCtan 60°=10. 6.一個大型

4、噴水池的中央有一個強力噴水柱,為了測量噴水柱噴出的水柱的高度,某人在噴水柱正西方向的點A測得水柱頂端的仰角為45°,沿點A向北偏東30°前進100 m到達點B,在B點測得水柱頂端的仰角為30°,則水柱的高度是(　　) A.50 m B.100 m C.120 m D.150 m[來源:] 答案:A 解析:設(shè)水柱高度是h m,水柱底端為C,則在△ABC中,A=60°,AC=h,AB=100,BC=h, 根據(jù)余弦定理得(h)2=h2+1002-2·h·100·cos 60°,即h2+50h-5 000=0, 即(h-50)(h+100)=0,即h=50,故水柱的高度是50 m. 二

5、、填空題 7.一船以每小時15 km的速度向東航行,船在A處看到一個燈塔M在北偏東60°方向,行駛4 h后,船到達B處,看到這個燈塔在北偏東15°方向,這時船與燈塔的距離為　　　　　km.? 答案:30 解析:如圖所示,依題意有AB=15×4=60(km),∠MAB=30°,∠AMB=45°,在△AMB中,由正弦定理得,解得BM=30(km). 8.如圖,在坡角為15°的體育場看臺上,某一列座位所在直線AB與旗桿所在直線MN共面,在該列的第一個座位A和最后一個座位B測得旗桿頂端N的仰角分別為60°和30°,且座位A,B的距離為10米,則旗桿的高度為　　　　　米.? 答案:30

6、 解析:由題可知∠BAN=105°,∠BNA=30°,由正弦定理得,解得AN=20(米).在Rt△AMN中,MN=20sin 60°=30(米).故旗桿的高度為30米. 9.如圖,在坡度一定的山坡A處測得山頂上一建筑物CD的頂端C對于山坡的斜度為15°,向山頂前進100米到達B后,又測得C對于山坡的斜度為45°,若CD=50米,山坡對于地平面的坡角為θ,則cos θ=　　　　　.? 答案:-1 解析:在△ABC中,BC==50(), 在△BCD中,sin∠BDC=-1, 由圖知cos θ=sin∠ADE=sin∠BDC=-1. 10.在平面直角坐標系xOy中,已知△ABC的頂

7、點A(-5,0)和C(5,0),頂點B在橢圓=1上,則=　　　　　.? 答案: 解析:由正弦定理知,其中a,b,c是△ABC的三邊長,由題易知b=10,a+c=12, 所以. 11.如圖,一船在海上自西向東航行,在A處測得某島M的方位角為北偏東α角,前進m海里后在B處測得該島的方位角為北偏東β角,已知該島周圍n海里范圍內(nèi)(包括邊界)有暗礁,現(xiàn)該船繼續(xù)東行,當α與β滿足條件　　　　　時,該船沒有觸礁危險.? 答案:mcos αcos β>nsin(α-β) 解析:由題可知,在△ABM中,根據(jù)正弦定理得,解得BM=,要使該船沒有觸礁危險需滿足BMsin(90°-β)=>n,所以當α

8、與β的關(guān)系滿足mcos αcos β>nsin(α-β)時,該船沒有觸礁危險. 三、解答題 12.一艘海輪從A處出發(fā),以每小時40海里的速度沿東偏南50°方向直線航行,30分鐘后到達B處,在C處有一座燈塔,海輪在A處觀察燈塔,其方向是東偏南20°,在B處觀察燈塔,其方向是北偏東65°,求B,C兩點間的距離. 解:如圖所示,由已知條件可得∠CAB=30°,∠ABC=105°,即AB=40×=20(海里). 故∠BCA=45°. 又由正弦定理可得, 因此,BC==10(海里). 13.如圖所示,某海域內(nèi)一觀測站A,如圖所示,某時刻測得一艘勻速直線行駛的船只位于點A北偏東50°且與

9、A相距80海里的位置B,經(jīng)過1小時又測得該船已行駛到點A北偏東50°+θ,0°<θ<90°且與A相距60海里的位置C. (1)求該船的行駛速度; (2)若該船不改變航行方向繼續(xù)向前行駛,求船在行駛過程中離觀測站A的最近距離. 解:(1)如圖,AB=80海里,AC=60海里,∠BAC=θ,sin θ=. 由于0°<θ<90°, 所以cos θ=. 由余弦定理得BC==40(海里), 所以船的行駛速度為40海里/時.[來源:] (2)在△ABC中,由正弦定理得, 所以sin B=, 過A作BC的垂線,交BC的延長線于點D,則AD的長是船離觀測站的最近距離. 在Rt△A

10、BD中,AD=AB·sin B=80×=15(海里). 故船在行駛過程中離觀測站A的最近距離為15海里.[來源:] 14.如圖,攝影愛好者在某公園A處,發(fā)現(xiàn)正前方B處有一立柱,測得立柱頂端O的仰角和立柱底部B的俯角均為30°,已知攝影愛好者的身高約為米(將眼睛S距地面的距離SA按米處理). (1)求攝影愛好者到立柱的水平距離AB和立柱的高度OB. (2)立柱的頂端有一長為2米的彩桿MN,且MN繞其中點O在攝影愛好者與立柱所在的平面內(nèi)旋轉(zhuǎn).在彩桿轉(zhuǎn)動的任意時刻,攝影愛好者觀察彩桿MN的視角∠MSN(設(shè)為θ)是否存在最大值?若存在,請求出∠MSN取最大值時cos θ的值;若不存在,請說

11、明理由. 解:(1)如圖,作SC⊥OB于C,依題意∠CSB=30°,∠ASB=60°. 又SA=,故在Rt△SAB中,可求得AB==3(米), 即攝影愛好者到立柱的水平距離AB為3米. 在Rt△SCO中,SC=3米,∠CSO=30°,OC=SC·tan 30°=米, 又BC=SA=米,故OB=2米,即立柱的高度OB為2米. (2)存在.∵cos∠MOS=-cos∠NOS, ∴=-. 于是得SM2+SN2=26,從而cos θ=. 又∠MSN為銳角,故當視角∠MSN取最大值時,cos θ=. 四、選做題 1.如圖所示,當甲船位于A處時獲悉,在其正東方向相距20海里的

12、B處有一艘漁船遇險等待營救,甲船立即前往營救,同時把消息告知在甲船的南偏西30°相距10海里C處的乙船,乙船立即朝北偏東θ角的方向沿直線前往B處營救,則sin θ的值為(　　) A. B. C. D. 答案:D 解析:連接BC.在△ABC中,AC=10,AB=20,∠BAC=120°,由余弦定理,得BC2=AC2+AB2-2AB·AC·cos 120°=700,∴BC=10,再由正弦定理,得,∴sin∠ACB=.∴cos∠ACB=.[來源:] ∴sin θ=sin(∠ACB+30°)=. 2.如圖,在某點B處測得建筑物AE的頂端A的仰角為θ,沿BE方向前進30米至C處測得頂端A

13、的仰角為2θ,再繼續(xù)前進10米至D處,測得頂端A的仰角為4θ,則θ的值為　　　　　.? 答案:15° 解析:由條件知△ADC中,∠ACD=2θ,∠ADC=180°-4θ, AC=BC=30,AD=CD=10, 則由正弦定理得,∴, ∴cos 2θ=.∵2θ為銳角,∴2θ=30°,∴θ=15°. 3.某人在塔的正東沿著南偏西60°的方向前進40米后,望見塔在東北方向,若沿途測得塔的最大仰角為30°,求塔高. 解:依題意畫出圖, 某人在C處,AB為塔高,他沿CD前進,CD=40米,此時∠DBF=45°, 從C到D沿途測塔的仰角,只有B到測試點的距離最短時,仰角才最大,這是因為tan∠AEB=,AB為定值,BE最小時,仰角最大.要求出塔高AB,必須先求BE,而要求BE,需先求BD(或BC). 在△BCD中,CD=40,∠BCD=30°,∠DBC=135°. 由正弦定理,得, ∴BD==20. 在Rt△BED中,∠BDE=180°-135°-30°=15°, BE=BDsin 15°=20=10(-1)(米). 在Rt△ABE中,∠AEB=30°, ∴AB=BEtan 30°=(3-)(米). ∴所求的塔高為(3-)米.