【備戰(zhàn)20xx高考高三數(shù)學(xué)全國(guó)各地一模試卷分項(xiàng)精品】 專題八 立體幾何 一、選擇題 【20xx云南師大附中月考】某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（ ） A. 8 B. 62 C. 42 D. 4 【答案】A 【20xx云南師大附中月考】三棱錐A-BCD內(nèi)接于半徑為5的球中，AB=CD=4，則三棱錐A-BCD的體積的最大值為（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 如圖，過(guò)CD作平面ECD，使AB⊥平面ECD，交AB于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)到CD的距離為EF，當(dāng)球心在EF上時(shí)，EF最大，此時(shí)E,F分別為AB，CD的中點(diǎn)，且球心為EF的中點(diǎn)，所以EF=2，所以，故選C． 【20xx山東菏澤上學(xué)期期末】已知偽,尾是兩個(gè)不同平面，直線，則“偽//尾”是“l(fā)//偽”的（ ） A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件 【答案】A 【解析】 依題意，兩平面平行，則一個(gè)平面內(nèi)的直線與另一個(gè)平面平行，反之若直線和平面平行，兩個(gè)平面可能相交，個(gè)為充分不必要條件. 【20xx山東菏澤上學(xué)期期末】某幾何體的三視圖如圖所示，在該幾何體的各個(gè)面中，面積最小的面與底面的面積之比為（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【20xx山東菏澤上學(xué)期期末】一塊硬質(zhì)材料的三視圖如圖所示，正視圖和俯視圖都是邊長(zhǎng)為10cm的正方形，將該木料切削、打磨，加工成球，則能得到的最大球的半徑最接近 （ ） A. 3cm B. 4cm C. 5cm D. 6cm 【答案】A 【20xx吉林二調(diào)】某幾何體的三視圖如下圖，若該幾何體的所有頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則該球面的表面積為（ ） A. 4蟺 B. 28蟺3 C. 44蟺3 D. 20蟺 【答案】B 【解析】 由三視圖，可得該幾何體是一個(gè)正三棱柱（如圖所示），其中底面是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，側(cè)棱長(zhǎng)為2，由題意可知該幾何體的外接球的球心為，半徑為R=OC，為底面正三角形的中心，則R=OG2+CG2=1+43=213，則該球面的表面積為.故選B. 【20xx江西師大附中、臨川一中聯(lián)考】某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為( ) A. B. 8-蟺3 C. D. 7-蟺3 【答案】B 【20xx湖北重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考】如圖所示，在四邊形ABCD中，,將螖ABD沿BD折起，使得平面平面BCD，構(gòu)成四面體A-BCD，則在四面體中，下列說(shuō)法正確的是（ ） A. 平面平面ABC B. 平面平面BCD C. 平面平面BCD D. 平面平面ABC 【答案】D 【20xx湖北重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考】一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的外接球的表面積為（ ） A. 36蟺 B. 8蟺 C. D. 27蟺8 【答案】B 【解析】 從題設(shè)中三視圖所提供的圖形信息與數(shù)據(jù)信息可知該幾何體是棱長(zhǎng)為2,2,2的長(zhǎng)方體的一角所在三棱錐，其外接球與該長(zhǎng)方體的外接球相同，其直徑是該長(zhǎng)方體的對(duì)角線l=22+(2)2+(2)2=22，故球的半徑為R=2，所以該外接球的表面面積，應(yīng)選答案B。 【20xx河北衡水六調(diào)】已知一個(gè)底面為正六邊形，側(cè)棱長(zhǎng)都相等的六棱錐的正視圖與俯視圖如圖所示，若該幾何體的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為7，則該幾何體的側(cè)視圖可能是 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【20xx江西上饒一?！磕硯缀误w的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（ ） A．5 B． C． D． 【答案】 【解析】 幾何體如下圖，幾何體為底面為直角梯形的直四棱柱，截去陰影表示的三棱錐，所以體積為 ,故選D. 【20xx內(nèi)蒙包頭十校聯(lián)考】如圖，某幾何體的正視圖、側(cè)視圖和俯視圖分別是等邊三角形、等腰三角形和菱形，則該幾何體的體積為（ ） A． 3 B． 4 C. D． 【答案】 【20xx內(nèi)蒙包頭十校聯(lián)考】在正方體中，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，則異面直線與所成角S的取值范圍是（ ） A． B． C. D． 【答案】 【解析】 如下圖： ,所有異面直線所成的角為,當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求的取值范圍，點(diǎn)不能與重合，與點(diǎn)重合時(shí)，最大，最大為 ，的取值范圍是 所以異面直線所成角的取值范圍是，故選D. 【20xx山西五校聯(lián)考】某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（ ） A． B． C． D． 【答案】 【20xx山西五校聯(lián)考】已知三棱錐內(nèi)接與球，且，若三棱錐體積的最大值為，則球的表面積為（ ） A． B． C． D． 【答案】 【點(diǎn)睛】本題考查了球與幾何體的問(wèn)題，是高考中的重點(diǎn)問(wèn)題，要有一定的空間想象能力，這樣才能找準(zhǔn)關(guān)系，得到結(jié)果，一般外接球需要求球心和半徑，首先應(yīng)確定球心的位置，借助于外接球的性質(zhì)，球心到各頂點(diǎn)距離相等，這樣可先確定幾何體中部分點(diǎn)組成的多邊形的外接圓的圓心，過(guò)圓心且垂直于多邊形所在平面的直線上任一點(diǎn)到多邊形的頂點(diǎn)的距離相等，然后同樣的方法找到另一個(gè)多邊形的各頂點(diǎn)距離相等的直線（這兩個(gè)多邊形需有公共點(diǎn)），這樣兩條直線的交點(diǎn)，就是其外接球的球心，再根據(jù)半徑，頂點(diǎn)到底面中心的距離，球心到底面中心的距離，構(gòu)成勾股定理求解，有時(shí)也可利用補(bǔ)體法得到半徑，例：三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐，可以補(bǔ)成長(zhǎng)方體，它們是同一個(gè)外接球. 【20xx廣東深圳一?！恳阎忾L(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1，球與該正方體的各個(gè)面相切，則平面ACB1截此球所得的截面的面積為（ ） A. 8蟺3B. 5蟺3C. 4蟺3D. 2蟺3 【答案】D 【解析】 因?yàn)榍蚺c各面相切，所以直徑為2，且AC,AB1,CB1的中點(diǎn)在所求的切面圓上，所以所求截面為此三點(diǎn)構(gòu)成的邊長(zhǎng)為2正三角形的外接圓，由正弦定理知R=63，所以面積S=2蟺3，選D． 【20xx荊、荊、襄、宜四地七校聯(lián)考】某幾何體的三視圖如圖所示，圖中的四邊形都是邊長(zhǎng)為的正方形，兩條虛線互相垂直，則該幾何體的體積是 A. B. C. D. 【答案】B 【點(diǎn)睛】 1.解答此類題目的關(guān)鍵是由多面體的三視圖想象出空間幾何體的形狀并畫出其直觀圖．2．三視圖中“正側(cè)一樣高、正俯一樣長(zhǎng)、俯側(cè)一樣寬”，因此，可以根據(jù)三視圖的形狀及相關(guān)數(shù)據(jù)推斷出原幾何圖形中的點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系及相關(guān)數(shù)據(jù)． 二、填空題 【20xx湖北武漢武昌區(qū)調(diào)研】若四面體ABCD的三組對(duì)棱分別相等，即AB=CD，AC=BD，AD=BC，給出下列結(jié)論： ①四面體ABCD每組對(duì)棱相互垂直； ②四面體ABCD每個(gè)面的面積相等； ③從四面體ABCD每個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱兩兩夾角之和大于900 而小于1800 ； ④連結(jié)四面體ABCD每組對(duì)棱中點(diǎn)的線段相互垂直平分； ⑤從四面體ABCD每個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱的長(zhǎng)可作為一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)； 其中正確結(jié)論的序號(hào)是__________．（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)） 【答案】②④⑤ 【解析】 把四面體補(bǔ)形為平行六面體,由三組對(duì)棱分別相等可知此平行六面體為長(zhǎng)方體,如圖所示,只有長(zhǎng)方體為正方體時(shí)①才正確,故①不正確. 在長(zhǎng)方體中,有△BAC≌△DCA. △ABC≌△DCB,△CBD≌△ADB. ∴四面體ABCD每個(gè)面的面積都相等,故②正確. 對(duì)于③,以∠BAC,∠CAD,∠BAD為例說(shuō)明. ∵△BAC≌△DCA,∴∠CAD=∠ACB. 又∵△DAB≌△CBA, ∴∠BAD=∠ABC. ∴∠BAC+∠CAD+∠BAD=∠BAC+∠ACB+∠ABC=180°,故③不正確. 對(duì)于④,連接四面體ABCD對(duì)棱中點(diǎn)的線段即是連接長(zhǎng)方體對(duì)面中心的線段,顯然相互垂直平分,故④正確. 對(duì)于⑤,以AB、AC、AD為例進(jìn)行說(shuō)明. ∵AD=BC,AB、AC、BC三邊長(zhǎng)可構(gòu)成△ABC, ∴AB、AC、AD可以作為一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng).同理可得從其他頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱的長(zhǎng)也可以作為一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng).故⑤正確. 【20xx河北衡水六調(diào)】已知三棱錐平面BOC，其中AB=10，BC=13，AC=5,O,A,B,C四點(diǎn)均在球的表面上，則球的表面積為_(kāi)_________． 【答案】14蟺 【點(diǎn)睛】本題考查球的體積與表面積，考查球與長(zhǎng)方體之間的關(guān)系，考查三棱錐與長(zhǎng)方體之間的關(guān)系，本題考查幾何中常用的一種叫補(bǔ)全圖形的方法來(lái)完成；本題在解答時(shí)，首先根據(jù)且平面BOC，得到三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，以三條側(cè)棱為棱長(zhǎng)得到一個(gè)長(zhǎng)方體，由圓的對(duì)稱性知長(zhǎng)方體的各個(gè)頂點(diǎn)都在這個(gè)球上，長(zhǎng)方體的體積就是圓的直徑，求出直徑，得到圓的面積． 三、解答題 【20xx安徽合肥一?！咳鐖D所示，在四棱臺(tái)ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD，四邊形ABCD為菱形，，AB=AA1=2A1B1=2. （Ⅰ）若M為CD中點(diǎn)，求證：平面AA1B1B； （Ⅱ）求直線DD1與平面A1BD所成角的正弦值. 【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）. 【解析】 （Ⅰ）四邊形為菱形，，連結(jié)AC，則為等邊三角形， 又為CD中點(diǎn)，，由CD//AB 得， , 底面ABCD，底面ABCD，，又 , 平面AA1B1B 【點(diǎn)睛】立體幾何中計(jì)算涉及兩個(gè)內(nèi)容一個(gè)是面積體積問(wèn)題，一個(gè)是空間的角與距離問(wèn)題，其中空間角與距離問(wèn)題可通過(guò)空間向量法簡(jiǎn)化思維量． （1）若兩條異面直線和的方向向量分別為，兩條異面直線和所成的角為，則； （2）若直線的方向向量為，平面的法向量為，直線與平面所成的角為，則； （3）設(shè)分別為二面角的兩個(gè)半平面的法向量，其二面角大小為，則或，其中． 【20xx云南師大附中月考】如圖，三棱錐P-ABC中，平面ABC，，PA=AC=2，是PA的中點(diǎn)，是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)在PB上，. （1）證明：EF//平面ABC； （2）若，求二面角B-CD-A的余弦值. 【答案】（Ⅰ）證明過(guò)程見(jiàn)解析；（Ⅱ）64. （Ⅱ）作BO⊥AC于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作OH//PA， 以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB，OC，OH所在直線為x軸、y軸、z軸建立如圖6所示的空間直角坐標(biāo)系， 則 ∴， 則平面CDA的一個(gè)法向量為 設(shè)平面CDB的一個(gè)法向量為 則 可取，所以， 所以二面角B?CD?A的余弦值為64． 【20xx湖北武漢武昌區(qū)調(diào)研】如圖，四棱錐中，AB//CD ，BC鈯D，側(cè)面為等邊三角形，AB=BC=2 ,CD=SD=1 . （Ⅰ）證明：平面SAB; （Ⅱ）求AB與平面SBC所成角的正弦值. 【答案】（Ⅰ）證明過(guò)程見(jiàn)解析；（Ⅱ）AB與平面SBC所成角的正弦值為217 【解析】 方法一：空間向量法 （Ⅰ）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線CD為軸正半軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C-xyz，則D(1,0,0),A(2,2,0),B(0,2,0) , 設(shè)S(x,y,z)，則x>0,y>0,z>0 ， 且， ， ， 由,得(x-2)2+(y-2)2+z2=x2+(y-2)2+z2 ， 解得：x=1 ， 由,得y2+z2=1 ① 由,得y2+z2-4y+1=0 ② 解①②，得y=12,z=32 ， 鈭碨(1,12,32) , , , , , , 鈭碊S鈯S,DS鈯S , 平面SAB …………………6分 方法二：綜合法 （Ⅰ） 解：如下圖，取AB的中點(diǎn)，連結(jié)DE，SE，則四邊形BCDE為矩形， 鈭碊E=CB=2 , 側(cè)面SAB為等邊三角形，AB=2, ,且SE=3, 又鈭礢D=1 , 鈭碨A2+SD2=AD2,SE2+SD2=ED2 , 鈭碨D鈯A,SD鈯E,.Com] 平面SAB. （Ⅱ）過(guò)點(diǎn)作SG鈯E于， 因?yàn)锳B鈯E，AB鈯E，所以平面平面SDE 所以平面平面ABCD, 由平面與平面垂直的性質(zhì)，知平面ABCD,.Com] 在Rt螖DSE中，由，得，所以SG=32. 過(guò)點(diǎn)作平面SBC于，連結(jié)BH，則鈭燗BH為AB與平面SBC所成角的角， 因?yàn)镃D//AB ，平面SDE, 所以平面SDE，所以CD鈯D, 在Rt螖CDS中，由CD=SD=1，求得SC=2. 在鈻砈BC中，SB=BC=2,SC=2 ,所以 , 由VA-SBC=VS-ABC，得 ， 即，解得AH=2217, 所以, 故AB與平面SBC所成角的正弦值為217. 【點(diǎn)晴】本題考查的是線面垂直的判定和直線與平面所成的角，本題中（1）問(wèn)的關(guān)鍵是結(jié)合線面垂直的判定定理證明線和平面內(nèi)的兩條相交直線垂直即可得證；（2）求直線和平面所成角時(shí)找到平面的垂線是問(wèn)題的關(guān)鍵，斜線和斜線在平面的射影所成的角即為直線和平面所成的角，轉(zhuǎn)到直角三角形中求解即可. 【20xx山東菏澤上學(xué)期期末】如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC，AC=BC=2,AB=22,CC1=4，M是棱CC1上一點(diǎn). （1）求證：BC鈯M； （2）若CM=52，求二面角A-MB1-C的大小. 【答案】（1）證明過(guò)程見(jiàn)解析；（2）二面角A-MB1-C的大小為. （2）以為原點(diǎn)，CA,CB,CC1分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz.因?yàn)镃M=52， 所以C(0,0,0),A(2,0,0),B1(0,2,4),M(0,0,52)，. 設(shè)平面AMB1的一個(gè)法向量，則，即，令x=5，則y=-3,z=4，即，又平面MB1C的一個(gè)法向量， ∴，由圖可知二面角A-MB1-C為銳角，∴二面角A-MB1-C的大小為. 【20xx四川資陽(yáng)上學(xué)期期末】如圖，矩形ACEF和等邊三角形ABC中，AC=2,CE=1，平面平面ACEF． （1）在EF上找一點(diǎn)M，使BM鈯C，并說(shuō)明理由； （2）在（1）的條件下，求平面ABM與平面CBE所成銳二面角余弦值． 【答案】（1）證明過(guò)程見(jiàn)解析；（2）平面MAB與平面BCE所成銳二面角的余弦值為77. （2）由（1）知OA,OB,OM兩兩互相垂直，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz如圖所示，AC=2,CE=1，三角形ABC為等邊三角形，O(0,0,0),B(0,3,0),C(-1,0,0),E(-1,0,1),A(1,0,0),F(1,0,1)． 于是， 設(shè)面BCE的法向量，所以，得{x+3y=0z=0， 則面BCE的一個(gè)法向量，又M是線段EF的中點(diǎn)， 則M的坐標(biāo)為M(0,0,1)，于是，且， 又設(shè)面ABM的法向量， 由，得{-a+c=0-a+3b=0，取a=3，則b=1,c=3， 平面ABM的一個(gè)法向量m0=(3,1,3)， 所以， 平面MAB與平面BCE所成銳二面角的余弦值為77． 【20xx吉林二調(diào)】如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，且，點(diǎn)是棱PC的中點(diǎn)，平面ABE與棱PD交于點(diǎn). （1）求證：AB鈭F； （2）若PA=PD=AD=2，平面平面ABCD，求平面PAF與平面AEF所成的二面角的余弦值. 【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）. 【解析】 （1）證明：∵ABCD是菱形，∴AB鈭D， 又平面PCD，平面PCD， ∴平面PCD， ∵四點(diǎn)共面，且面面PCD=EF， ∴AB鈭F. （2）解：取AD中點(diǎn)，連接PG，GB， ∵PA=PD，∴PG鈯D， ∵平面平面ABCD，平面平面ABCD=AD， ∴面ABCD， ∴PG鈯B，在菱形ABCD中，∵AB=AD，，是AD中點(diǎn)， ∴AD鈯B， 如圖，以為原點(diǎn)，GA、GB、GP所在直線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系G-xyz， 由PA=PD=AD=2得，，，，， ，. 又∵AB鈭F，點(diǎn)是棱PC中點(diǎn)，∴點(diǎn)是棱PD中點(diǎn)， ∴，，， 設(shè)平面AFE的法向量為， 則有，{-32x+32z=0-x+3y=0，取z=-1，則. ∵平面PAD，∴是平面PAF的一個(gè)法向量， ，二面角P-AF-E的余弦值為-1313， ∴平面PAF與平面AEF所成的二面角的余弦值為. 【20xx江西師大附中、臨川一中聯(lián)考】如圖1，在螖ABC中，是AB邊的中點(diǎn)，現(xiàn)把螖ACP沿CP折成如圖2所示的三棱錐A-BCP，使得AB=10． （1）求證：平面平面BCP； （2）求平面ABC與平面ABP夾角的余弦值． 【答案】(1詳見(jiàn)解析，(2) 6513 （2）因?yàn)槠矫鍯PB，且OC鈯E，故可如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則 O(0,0,0),C(1,0,0),A(0,0,3),P(-1,0,0),B(-2,3,0)，， 設(shè)平面ABC的法向量為m=(x,y,z)，則由得； 同理可求得平面ABP的法向量為， 故所求角的余弦值. 【20xx湖北重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考】如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，平面?zhèn)让鍭BB1A1，且AA1=AB=2. （1）求證：AB鈯C; （2）若直線AC與平面A1BC所成的角為，請(qǐng)問(wèn)在線段A1C上是否存在點(diǎn)，使得二面角A-BE-C的大小為，請(qǐng)說(shuō)明理由. 【答案】(1)詳見(jiàn)解析， (2) （2）由（1），則鈭燗CD直線AC與平面A1BC所成的角 所以鈭燗CD=蟺6，又AD=2，所以AC=22 假設(shè)在線段A1C上是否存在一點(diǎn)，使得二面角A-BE-C的大小為 由ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以以點(diǎn)為原點(diǎn)，以所在直線分別為x,z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，如圖所示，且設(shè)，則由A1(0,0,2)，C(22,0,0)，得 所以， 設(shè)平面EAB的一個(gè)法向量，由， 得： ，取 由（1）知，所以平面CEB的一個(gè)法向量 所以，解得位=12 ∴點(diǎn)為線段A1C中點(diǎn)時(shí)，二面角A-BE-C的大小為 【20xx河北衡水六調(diào)】四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，，BC=2,CD=3，，且平面平面ABCD． （1）求證：AD鈯B； （2）在線段PA上是否存在一點(diǎn)M，使二面角M-BC-D的大小為，若存在，求出PMPA的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）6-36． 【解析】 (1)過(guò)點(diǎn)作BO//CD，交AD于，連接OP． ∵， ∴四邊形OBCD是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴OP2+OD2=PD2，∴OP鈯D， 又平面平面， ∴平面OPB，∵平面OPB， ∴AD鈯B； 【點(diǎn)睛】利用空間向量法求二面角的一般方法，設(shè)二面角的平面角為，設(shè)分別為平面?zhèn)?尾的法向量，二面角偽-l-尾的大小為，向量的夾角為，則有（圖1）或 胃=蠅（圖2）其中. 圖1 圖2 【20xx江西上饒一?！吭谌庵?，已知側(cè)面是菱形，側(cè)面是正方形，點(diǎn)在底面的投影為的中點(diǎn)． （1）證明：平面平面； （2）設(shè)為上一點(diǎn)，且，求二面角的正弦值． 【答案】(1)詳見(jiàn)解析；（2）. （2）如圖所示，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系， 不妨設(shè)菱形邊長(zhǎng)為2，易知，，，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)且有，所以， 又因?yàn)槠矫鏋榱庑?，所以為等邊三角形? 從而，從而， 所以點(diǎn)的坐標(biāo)為， 因?yàn)椋裕? 又因?yàn)?，所以? 設(shè)平面的法向量為， ，， 所以即 令，則，，所以， 易知平面的法向量， 所以， 所以， 從而二面角的正弦值為． 【20xx內(nèi)蒙包頭十校聯(lián)考】如圖，四邊形為正方形，平面, （1）證明：平面平面； （2）求二面角的正弦值. 【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）. （2）依題意，,設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，即， 因此可取……7分 設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，即， 因此可取……9分 所以，……11分 故二面角的正弦值為……12分 【20xx山西五校聯(lián)考】如圖，在四棱錐中，平面． （1）在線段上確定一點(diǎn)，使得平面平面，并說(shuō)明理由； （2）若二面角的大小為，求二面角的余弦值． 【答案】(1) 點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，平面平面;(2). 【解析】 （1）如圖，當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，平面平面， 1分 理由如下： 因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)， 所以，所以四邊形為平行四邊形，所以， 因?yàn)?，所以? 因?yàn)槠矫妫矫?，所以，又因?yàn)椋? 所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面? 所點(diǎn)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，平面平面． 5分 （2）分別以所在的直線為軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系， 其中軸，易得平面，所以， 所以是二面角的平面角，大小為，所以， 7分 設(shè)，則， 所以， 所以， 8分 設(shè)平面的法向量為，則，即， 令，則，所以， 10分 因?yàn)槠矫?，所以是平面的一個(gè)法向量， 設(shè)二面角的大小為，由圖可知為銳角， 則． 12分 【20xx廣東深圳一?！咳鐖D，四邊形ABCD為菱形，四邊形ACEF為平行四邊形，設(shè)BD與AC相交于點(diǎn)，． （1）證明：平面平面ABCD；.Com] （2）若AE與平面ABCD所成角為60°，求二面角B-EF-D的余弦值． 【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）． 【解析】 （1）證明：連接EG， ∵四邊形ABCD為菱形， ∵， 在和中， AD=AB,AE=AE，， ∴， ∴ED=EB， ∴， ∵， ∴平面ACFE， ∵平面ABCD， ∴平面平面ABCD； （2） 解法二：如圖，在平面ABCD內(nèi)，過(guò)作AC的垂線，交EF于M點(diǎn)，由（1）可知，平面平面ABCD， ∴平面ABCD， ∴直線GM,GA,GB兩兩互相垂直， 分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系G-xyz， 易得為AE與平面ABCD所成的角，∴， 則D(0,-1,0),B(0,1,0),E(32,0,32),F(-332,0,32)， ， 設(shè)平面BEF的一個(gè)法向量為，則.Com] 且， ∴x=0，且32x-y+32z=0 取z=2，可得平面BEF的一個(gè)法向量為， 同理可求得平面DEF的一個(gè)法向量為， ∴， ∴二面角B-EF-D的余弦值為． 【20xx荊、荊、襄、宜四地七校聯(lián)考】如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，側(cè)面底面，，， 分別為的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上． （Ⅰ）求證：平面； （Ⅱ）如果直線與平面所成的角和直線與平面所成的角相等，求的值． 【答案】（Ⅰ）詳見(jiàn)解析（Ⅱ） 【解析】 （Ⅰ）證明：在平行四邊形中，因?yàn)?，? 所以．由分別為的中點(diǎn)，得， 所以． …………2分 因?yàn)閭?cè)面底面，且，所以底面． 又因?yàn)榈酌?，所以?…………4分 又因?yàn)?，平面，平面? 所以平面． ………………6分 【點(diǎn)睛】利用法向量求解空間線面角的關(guān)鍵在于“四破”：第一，破“建系關(guān)”，構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；第二，破“求坐標(biāo)關(guān)”，準(zhǔn)確求解相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；第三，破“求法向量關(guān)”，求出平面的法向量；第四，破“應(yīng)用公式關(guān)”.