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1、新編高考數(shù)學復習資料 g3.1073立體幾何綜合問題2 2005全國高考立體幾何題 河北、河南、山西、安徽(全國卷I) （2）一個與球心距離為1的平面截球所得的圓面面積為，則球的表面積為 （C） （A） （B） （C） （D） （4）如圖，在多面體ABCDEF中，已知ABCD是邊長為1的正方形，且均為正三角形，EF∥AB，EF=2，則該多面體的體積為 （C） （A） （B） （C） （D） （16）在正方形中，過對角線的一個平面交于E，交于F，則 ① 四邊形一定是平行四邊形 ②

2、四邊形有可能是正方形 ③ 四邊形在底面ABCD內(nèi)的投影一定是正方形 ④ 四邊形有可能垂直于平面 以上結(jié)論正確的為 ①③④ 。（寫出所有正確結(jié)論的編號） 2005年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試理科數(shù)學（福建卷） 4．已知直線m、n與平面a、b，給出下列三個命題： ?、偃鬽∥a，n∥a，則m∥n；②若m∥a，n⊥a，則n⊥m；③若m⊥a，m∥b，則a⊥b． 其中真命題的個數(shù)是(C) A．0 B．1 C．2 D．3 8．如圖，長方體ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2， AD＝1，E、F、G分別是DD1、AB、CC1的中點， 則

3、異面直線A1E與GF所成的角是(D) A．a(chǎn)rccos B．　C．a(chǎn)rccos D． 20．（本小題滿分12分） 如圖，直二面角D-AB-E中，四邊形ABCD是邊長為2的 正方形，AE＝EB，F(xiàn)為CE上的點，且BF⊥平面ACE． （Ⅰ）求證：AE⊥平面BCE； （Ⅱ）求二面角B-AC-E的大?。? （Ⅲ）求點D到平面ACE的距離。 20、（Ⅰ）略；?。á颍?；（Ⅲ）。 2005年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試理科數(shù)學（必修+選修Ⅱ） 4．設(shè)三棱柱ABC—A1B1C1的體積為V，P、Q分別是側(cè)棱AA1、CC1上的點，且PA=QC1，則四棱錐B—APQC的體積為

4、（ C ） A． B． C． D． 11．不共面的四個定點到平面的距離都相等，這樣的平面共有 （ D ） A．3個 B．4個 C．6個 D．7個 2005年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（北京卷）數(shù)學（理工農(nóng)醫(yī)類） （6）在正四面體P－ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點，下面四個結(jié)論中不成立的是（C） （A）BC//平面PDF （B）DF⊥平面PA E （C）平面PDF⊥平面ABC （D）平面PAE⊥平面 ABC （16）（本小題共14分） 如圖, 在直四棱柱ABCD

5、－A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，DC＝2，AA1＝，AD⊥DC，AC⊥BD, 垂足為E， （I）求證：BD⊥A1C； （II）求二面角A 1－BD－C 1的大小； （III）求異面直線 AD與 BC 1所成角的大?。? （16）（共14分） （I）在直四棱柱ABCD－AB1C1D1中， ∵AA1⊥底面ABCD．∴ AC是A1C在平面ABCD上的射影． ∵BD⊥AC．∴ BD⊥A1C； （II）連結(jié)A1E，C1E，A1 C1． 與（I）同理可證BD⊥A1E，BD⊥C1E， ∴ ∠A1EC1為二面角A1－BD－C1的平面角． ∵ AD⊥

6、DC，∴ ∠A1D1C1=∠ADC＝90°， 又A1D1=AD＝2，D1C1= DC＝2，AA1=且 AC⊥BD， ∴ A1C1＝4，AE＝1，EC＝3，∴ A1E＝2，C1E＝2， 在△A1EC1中，A1C12＝A1E2＋C1E2， ∴ ∠A1EC1＝90°， 即二面角A1－BD－C1的大小為90°． （III）過B作 BF//AD交 AC于 F，連結(jié)FC1， 則∠C1BF就是AD與BC1所成的角． ∵ AB＝AD＝2， BD⊥AC，AE＝1， ∴ BF=2，EF＝1，F(xiàn)C＝2，BC＝DC，∴ FC1=，BC1＝， 在△BF

7、C1 中，,∴ ∠C1BF= 即異面直線AD與BC1所成角的大小為． 2005年高考全國卷Ⅲ數(shù)學（四川、陜西、云南等地區(qū)用） （19）(本小題滿分12分) 在四棱錐V-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)面VAD是正三角形,平面VAD⊥底面ABCD． （Ⅰ）證明AB⊥平面VAD． （Ⅱ）求面VAD與面VDB所成的二面角的大小． （19）證明：（Ⅰ）作AD的中點O，則VO⊥底面ABCD．…………………………1分 建立如圖空間直角坐標系，并設(shè)正方形邊長為1，…………………………2分 則A（，0，0），B（，1，0），C（-，1，0）

8、， D（-，0，0），V（0，0，）， , ,又AB∩AV=A∴AB⊥平面VAD （Ⅱ）由（Ⅰ）得是面VAD的法向量,設(shè)是面VDB的法向量，則 ∴，又由題意知，面VAD與面VDB所成的二面角，所以其大小為 2005年廣東省高考數(shù)學試題 (7)給出下列關(guān)于互不相同的直線和平面的四個命題: ① 則與m不共面； ② 、m是異面直線，； ③ 若； ④ 若，則 其中為假命題的是 （C） （A）① （B）② （C）③ （D）④

9、 16．如圖， PA=BC=6，AB=8，PB=AC=10， ，F(xiàn)是線段PB上一點，，點E在線段AB上，且EF⊥PB （I）求證：PB⊥平面CEF （II）求二面角B—CE—F的大?。?4分） 16．（I）證明：∵ ∴△PAC是以∠PAC為直角的直角三角形，同理可證 △PAB是以∠PAB為直角的直角三角形，△PCB是以∠PCB為直角的直角三角形。 故PA⊥平面ABC 又∵ 而 故CF⊥PB,又已知EF⊥PB ∴PB⊥平面CEF （II）由（I）知PB⊥CE, PA⊥平面ABC ∴AB是PB在平面ABC上的射影，故AB⊥CE 在平面PAB內(nèi)，過F作FF1垂直AB

10、交AB于F1，則FF1⊥平面ABC， EF1是EF在平面ABC上的射影，∴EF⊥EC 故∠FEB是二面角B—CE—F的平面角。 二面角B—CE—F的大小為 2005年普等學校招生全國統(tǒng)試一考試 天津卷（理工類） (4)設(shè)為平面，為直線，則的一個充分條件是 （D） (A) (B) (C) (D) （12）如圖，PA⊥平面ABC，∠ABC=90°且PA=AC=BC=a則異面直線PB與AC所成角的正切值等于． （19）（本小題滿分12分） 如圖，在斜三棱柱中，，側(cè)面與底面ABC所成的二面角為，E、F分別是棱的中點 （Ⅰ）求與底面

11、ABC所成的角 （Ⅱ）證明∥平面 （Ⅲ）求經(jīng)過四點的球的體積 （19）解：（Ⅰ）過作平面，垂足為． 連結(jié)，并延長交于，于是為與底面所成的角． ∵，∴為的平分線． 又∵，∴，且為的中點． 因此，由三垂線定理．∵，且，∴．于是為二面角的平面角，即．　由于四邊形為平行四邊形，得． （Ⅱ）證明：設(shè)與的交點為，則點為的中點．連結(jié)． 在平行四邊形中，因為的中點，故． 而平面，平面，所以平面． （Ⅲ）連結(jié)．在和中，由于，，，則 ≌，故．由已知得． 又∵平面，∴為的外心．設(shè)所求球的球心為，則，且球心與中點的連線．在中，．故所求球的半徑，球的體積． 2005年普通高等學校招生全國統(tǒng)一

12、考試（湖北卷） 數(shù)學試題卷（理工農(nóng)醫(yī)類） 10．如圖，在三棱柱ABC—A′B′C′中，點E、F、H、 K分 別為AC′、CB′、A′B、B′C′的中點，G為△ABC的 重心. 從K、H、G、B′中取一點作為P， 使得該棱柱恰有 2條棱與平面PEF平行，則P為 （ C ） A．K B．H C．G D．B′ 20．（本小題滿分12分） 如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為矩形，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，AB=， BC=1，PA=2，E為PD的中點. （Ⅰ）求直線AC與PB所成角的余弦值； （Ⅱ）在側(cè)面PAB內(nèi)

13、找一點N，使NE⊥面PAC，并求出N點到AB和AP的距離. 20．本小題主要考查線面關(guān)系和四棱錐等基礎(chǔ)知識，同時考查空間想象能力和推理運算能力. 解法1：（Ⅰ）建立如圖所示的空間直角坐標系， 則A、B、C、D、P、E的坐標為A（0，0，0）、 B（，0，0）、C（，1，0）、D（0，1，0）、 P（0，0，2）、E（0，，1）， 從而 設(shè)的夾角為θ，則 ∴AC與PB所成角的余弦值為. （Ⅱ）由于N點在側(cè)面PAB內(nèi)，故可設(shè)N點坐標為（x，O，z），則 ，由NE⊥面PAC可得， ∴ 即N點的坐標為，從而N點到AB、AP的

14、距離分別為1，. 解法2：（Ⅰ）設(shè)AC∩BD=O，連OE，則OE//PB， ∴∠EOA即為AC與PB所成的角或其補角. 在△AOE中，AO=1，OE= ∴ 即AC與PB所成角的余弦值為. （Ⅱ）在面ABCD內(nèi)過D作AC的垂線交AB于F，則. 連PF，則在Rt△ADF中 設(shè)N為PF的中點，連NE，則NE//DF， ∵DF⊥AC，DF⊥PA，∴DF⊥面PAC，從而NE⊥面PAC. ∴N點到AB的距離，N點到AP的距離 2005年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（遼寧卷） 4．已知m、n是兩條不重合的直線，α、β、γ是三個兩兩不重合的平面，給出下列四個命 題：①若；

15、 ②若； ③若； ④若m、n是異面直線， 其中真命題是 （ D） A．①和② B．①和③ C．③和④ D．①和④ 14．如圖，正方體的棱長為1，C、D分別是兩條棱的中點， A、B、M是頂點，那么點M到截面ABCD的距離是 . 17．（本小題滿分12分） 已知三棱錐P—ABC中，E、F分別是AC、AB的中點， △ABC，△PEF都是正三角形，PF⊥AB. （Ⅰ）證明PC⊥平面PAB； （Ⅱ）求二面角P—AB—C的平面角的余弦值； （Ⅲ）若點P、A、B、C在一個表面積為12π的 球面上，求△ABC的邊長.

16、 17．本小題主要考查空間中的線面關(guān)系，三棱錐、球的有關(guān)概念及解三角形等基礎(chǔ)知識，考 查空間想象能力及運用方程解未知量的基本方法，滿分12分. （Ⅰ）證明： 連結(jié)CF. ……4分 （Ⅱ）解法一： 為所求二面角的平面角. 設(shè)AB=a，則AB=a，則 ……………………8分 解法二：設(shè)P在平面ABC內(nèi)的射影為O. ≌≌ 得PA=PB=PC. 于是O是△ABC的中心. 為所求二面角的平面角. 設(shè)AB=a，則 …………8分 （Ⅲ）解法一：設(shè)PA=x，球半徑為R. ，的邊長為.………12分 解法二：延長PO交球面于D，那么PD是球的直徑. 連結(jié)OA、AD，可知△PA

17、D為直角三角形. 設(shè)AB=x，球半徑為R. .……12分 2005年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（重慶卷） 數(shù)學試題卷（理工農(nóng)醫(yī)類） 7．對于不重合的兩個平面與，給定下列條件： ①存在平面，使得、都垂直于；②存在平面，使得、都平行于； ③內(nèi)有不共線的三點到的距離相等；④存在異面直線l、m，使得l//，l//，m//，m//， 其中，可以判定與平行的條件有 （B ） A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 2005年全國高等學校招生統(tǒng)一考試數(shù)學（湖南卷·理）試題 A1 C B A B1 C1 D1 D O 5、如圖，正方體ABCD－A1B1

18、C1D1的棱長為1，O是底面 A1B1C1D1的中心，則O到平面AB C1D1的距離為?。˙） 　　A、　B、　C、　D、 （8）設(shè)地球的半徑為，若甲地位于北緯東經(jīng)，乙地位于南緯東經(jīng)，則甲、乙兩地的球面距離為（D ） （A） （B） （C） （D） (16)已知是不同的直線，是不重合的平面，給出下列命題： ①若則 ②若則③若，則④是兩條異面直線，若，則 上面的命題中，真命題的序號是③④（寫出所有真命題的序號） (20)(本小題滿分12分) 如圖，已知長方體 直線與平面所成的角為，垂直于 ，為的中點. （I）求異面

19、直線與所成的角； （II）求平面與平面所成的二面角； （III）求點到平面的距離. 20．(考查知識點：立體幾何) 解：在長方體中，以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，所在的直線為軸建立如圖示空間直角坐標系 由已知可得， 又平面，從而與平面所成的角為，又，，從而易得 （I）因為所以= 易知異面直線所成的角為 （II）易知平面的一個法向量設(shè)是平面的一個法向量，由 即所以即平面與平面所成的二面角的大?。ㄤJ角）為 （III）點到平面的距離，即在平面的法向量上的投影的絕對值， 所以距離=所以點到平面的距離為 作業(yè) 同步練習g3.1073 立體幾何綜合（二） 一、選擇題（本

20、題每小題5分，共60分） 1．已知平面與平面相交，直線，則 （ ） A．內(nèi)必存在直線與平行，且存在直線與垂直 B．內(nèi)不一定存在直線與平行，不一定存在直線與垂直 C．內(nèi)不一定存在直線與平行，但必存在直線與垂直 D．內(nèi)必存在直線與平行，卻不一定存在直線與垂直 2．已知直線，直線，給出下列命題中正確的序號是（ ） ①∥； ②∥m； ③∥； ④∥ A．①②③ B．②③④ C．②④ D．①③ 3．在正方體中，為的中點，為底面的中心，為棱上任意一點，則直線與直線所成的角是（ ） A． B． C． D．

21、4．等邊三角形ABC和等邊三角形ABD在兩個相互垂直的平面內(nèi)，則∠CAD= （ ） A． B． C． D． 5．如果平面的一條斜線和它在這個平面上的射影的方向向量分別是a=（1，0，1）， b=（0，1，1），那么這條斜線與平面所成的角是（ ） A．90° B．60° C．45° D．30° 6．在棱長為a的正方體ABCD-ABCD中，P、Q是對角線AC上的點，若PQ=，則三棱錐P-BDQ的體積為 （ ） A． B． C． D．不確定 7．四面體的棱長中，有兩條為，其余全為1時，它的體積（ ） A． B． C． D．以上全不正確

22、 8．如圖，正三角形P1P2P3，點A、B、C分別為邊P1P2，P2P3，P3P1的中點，沿AB、BC、CA折起，使P1、P2、P3三點重合后為點P，則折起后二面角P—AB—C的余弦值為 . 9．一個正方體的棱長為2，將八個直徑各為1的球放進去之后，正中央空間能放下的最大的球的直徑為__________________. 10．若正三棱錐的側(cè)面均為直角三角形，則它的側(cè)面與底面所成二面角的為大小為 . 11．如圖為某一幾何體的展開圖，其中ABCD是邊長為6的正方形，SD=PD=6，CR=SC，AQ=AP，點S、D、A、Q及P、D、C、R共線. （1）沿圖中

23、虛線將它們折疊起業(yè)，使P、Q、R、S四點重合，請畫出其直觀圖，試問需要幾個這樣的幾何體才能拼成一個棱長為6的正方體ABCD—A1B1C1D1？ （2）設(shè)正方體ABCD—A1B1C1D1的棱CC1的中點為E，求平面AB1E與平面ABC所成二面角（銳角）的余弦值. 12．如圖，四棱錐P—ABCD中，PB⊥底面ABCD，CD⊥PD.底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=PB=3.點E在棱PA上，且PE=2EA. （1）求異面直線PA與CD所成的角； （2）求證：PC∥平面EBD； （3）求二面角A—BE—D的大小.（用反三角函數(shù)表示

24、）. 參考答案 CDDBBA A 8、 9、 10、 arctan 11. 解： （1）它是有一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐（見右圖）， 需要3個這樣的幾何體可以拼成一個正方體.……（6分） （2）解法一：設(shè)B1E，BC的延長線交于點G，連結(jié)GA， 在底面ABC內(nèi)作BH⊥AG，垂足為H，連結(jié)HB1，由 三垂線定理知，B1H⊥AG，則∠B1HB為平面AB1E與 平面ABC所成二面角的平面角，……（8分） 在Rt△ABG中，AG=則BH=B1H=，……（10分） ，所以平面AB1E與平面ABC所成二面角的余弦值為12分 解法二：以

25、C為原點，CD、CB、CC1所在直線分別為x、y、z軸，建立直角坐標系，設(shè)棱長為6，則E（0，0，3），B1（0，6，6），A（6，6，0）.……8分 設(shè)向量n=（x，y，z），滿足n⊥，n⊥， 于是，…………10分 取z=2，得n=（2，－1，2），又=（0，0，6），則…12分 12. 解： （1）它是有一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐（見右圖）， 需要3個這樣的幾何體可以拼成一個正方體.……（6分） （2）解法一：設(shè)B1E，BC的延長線交于點G，連結(jié)GA， 在底面ABC內(nèi)作BH⊥AG，垂足為H，連結(jié)HB1，由 三垂線定理知，B1H⊥AG，則∠B1HB為平面AB1E與 平面ABC所成二面角的平面角，……（8分） 在Rt△ABG中，AG=則BH=B1H=，……（10分） ，所以平面AB1E與平面ABC所成二面角的余弦值為12分 解法二：以C為原點，CD、CB、CC1所在直線分別為x、y、z軸，建立直角坐標系，設(shè)棱長為6，則E（0，0，3），B1（0，6，6），A（6，6，0）.……8分 設(shè)向量n=（x，y，z），滿足n⊥，n⊥， 于是，…………10分 取z=2，得n=（2，－1，2），又=（0，0，6），則…12分